二階系統(tǒng)時域響應

3.1典型輸入信號3.2控制系統(tǒng)的時域性能指標3.3一階系統(tǒng)的時域響應3.4二階系統(tǒng)的時域響應3.5高階系統(tǒng)的時域分析3.6線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章時域分析法2021/5/912021/5/922021/5/93

閉環(huán)傳遞函數：

閉環(huán)特征方程：

系統(tǒng)結構圖：

為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數，為阻尼系數，為無阻尼自然振蕩角頻率或固有頻率。2021/5/94RLCur(t)uc(t)例1：RLC電路的傳遞函數為可見：二階系統(tǒng)的參數與標準式的參數之間有著對應的關系。2021/5/952021/5/96①當時，零阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個共軛虛根：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩角頻率。2021/5/97

二階系統(tǒng)兩個共軛復根：②當時，欠阻尼系統(tǒng)：阻尼角阻尼振蕩角頻率2021/5/98s域輸出響應：2021/5/99時域響應：2021/5/910

欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應（

0<ζ<1

）系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量為振幅隨時間按指數函數規(guī)律衰減的周期函數，其振蕩頻率為：③當

=1時，臨界阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個負實重根：

臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(

=1)

輸出響應無振蕩和超調。ζ=1時系統(tǒng)的響應速度比ζ>1

時快。④當時：過阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個不等負實根：過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(

>1)系統(tǒng)輸出無振蕩和超調，輸出響應最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數、特征根（閉環(huán)極點）、特征根分布和單位階躍響應如下表所示：單位階躍響應特征根分布特征根阻尼系數單調上升兩個互異負實根單調上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅振蕩一對共軛虛根

2021/5/914隨著阻尼系數ζ的增加，y(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當ζ>1時y(t)呈現單調上升運動(無振蕩)。★最佳阻尼比，系統(tǒng)響應較快、超調不大。二階系統(tǒng)的阻尼響應曲線ζ值越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好；ζ值越小，輸出響應振蕩越強。2021/5/915閉環(huán)極點坐標與阻尼比的關系：2021/5/9162021/5/917(1)上升時間trtr

d-z

n

n2021/5/918(2)峰值時間tptp峰值時間=阻尼振蕩周期的一半ζ一定時，ωn越大，tp越小；ωn一定時，ζ越大，tp越大。(3)超調量

%tp2021/5/921%的大小完全取決于ζ，ζ越小，%越大；反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性,ζ越大，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。ζ=0.4~0.8

%=25.4%~1.5%。2021/5/922(4)調整時間ts包絡線按定義：或當ζ由零增大時，ωnts先減小后增大，?=5%，ωnts的最小值出現在ζ＝0.69處；?=2%，ωnts的最小值出現在ζ＝0.78處；出現最小值后，ωnts隨ζ幾乎線性增加。2021/5/924結論：當ζ增加到0.69或0.78時，調整時間ts為最小。設計二階系統(tǒng)，一般選ζ=0.707(β=45°),為最佳阻尼比,此時不但調整時間ts為最小,而且超調量也不大。ζ=0.707

%=4.32%≈5%。ts

≈3/(ζωn)。2021/5/925典型二階系統(tǒng)的調節(jié)時間ts與阻尼比和自然振蕩頻率ωn的乘積成反比。閉環(huán)極點離虛軸越遠，ts越短，系統(tǒng)響應越快。2021/5/926(5)振蕩次數NN僅與

有關:

越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。阻尼振蕩周期2021/5/927(6)穩(wěn)態(tài)誤差ess根據穩(wěn)態(tài)誤差的定義欠阻尼二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:2021/5/9281、二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ζ決定。2、增加ζ

降低振蕩，減小超調量%和振蕩次數N，

系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；3、ζ一定，ωn越大，系統(tǒng)響應快速性越好，tr、tp、ts越小。4、%

、N僅與ζ有關，而tr、tp、與ζ、ωn有關，通常根據允許的最大超調量來確定ζ。ζ一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應時間。[總結]2021/5/929阻尼系數是二階系統(tǒng)的一個重要參數，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質。在的情況下瞬態(tài)特性為單調變化曲線，無超調和振蕩，但長。當時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調量大，振蕩次數多，調節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質差。注意到與有關，所以一般根據來選擇。

越大，（當一定時）為了限制超調量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調量在25%~1.5%之間。2021/5/930過阻尼二階系統(tǒng)其性能指標只有調節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差。(2)穩(wěn)態(tài)誤差的計算：(1)調節(jié)時間是根據特征根中絕對值小的來近似計算：±5%誤差帶±2%誤差帶2.過阻尼二階系統(tǒng)的性能指標設當時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似。2021/5/931四、二階系統(tǒng)對其他典型輸入信號的響應若y(t)為單位階躍響應，則系統(tǒng)r(t)y(t)單位脈沖響應單位速度（斜坡）響應單位加速度（拋物線）響應過阻尼：

>1欠阻尼：0<<1臨界阻尼：

=1無阻尼：

=0二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(t0)2021/5/933由以上分析歸納出二階系統(tǒng)性能分析要點：主要由ζ決定。1）平穩(wěn)性：超調量

%振蕩次數Nζ↑→σ%↓,N↓→平穩(wěn)性↑。ζ一定時，ωn↑→ωd↑→平穩(wěn)性↓。ζ=0時，等幅振蕩，不能穩(wěn)定工作。2021/5/934ωn一定時，若ζ較小，ζ↓→

ts↑→快速性↓；ζ>0.707之后，ζ↑→

ts↑→快速性↓。所以ζ太小或太大，快速性均變差。2）快速性：由ζ和ωn決定。(1)上升時間tr(2)峰值時間tp(3)調整時間ts綜合考慮系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性，一般取ζ=0.707為最佳。2021/5/9353）準確性：由ζ和ωn決定。穩(wěn)態(tài)誤差ess單位階躍響應：穩(wěn)態(tài)誤差ess單位速度響應：ζ的增加和ωn的減小雖然對系統(tǒng)的平穩(wěn)性有利，但使得系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差增加。以欠阻尼為例。2021/5/936例1.

已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數，當K=2,K=4

時，求系統(tǒng)的單位階躍響應和性能指標σ%,ts

。Ф(s)=s2+3s+KK解：(1)K=2ζ=1.06>1C(s)=2s(s+1)(s+2)Ф(s)=s2+3s+222=2ωn2ωnζ=3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系統(tǒng)性能指標ts=3T1=3(2)K=4Ф(s)=s2+3s+44ζ=0.75<12=4ωn2ωnζ=3c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(β=1-1.5e-1.5tsin(1.32t+41.4o)σ%=100%e-ζζπ1-2=2.8%ts=ζ4ωn=2.6732.672021/5/937例2.

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為(1)二階系統(tǒng)的參數ζ和ωn；若K=16,T=0.25,試求：(3)欲使σ%=16%,當T不變時K應取何值？(2)暫態(tài)性能指標σ%,ts

；2021/5/938例3：求如下隨動系統(tǒng)的特征參數,分析與性能指標的關系。+n-電壓放大器+-+-功放C-K1K2R若假設電樞電感La=0，則Ta=0，方程為當只考慮Ua時，電動機的微分方程方程為電動機傳遞函數為電壓放大器和功放的傳遞函數分別為K1和K2，可得方框圖因所以2021/5/939瞬態(tài)過程的性能指標例子閉環(huán)傳遞函數為：⒈T不變，K↑下面分析瞬態(tài)性能指標和系統(tǒng)參數之間的關系(假設):→N↑?！鷝↓→

%↑→wn↑→wd↑→zwn=1/2T不變，ts幾乎不變總之，K增大振蕩加??；⒉K不變，T↑→N↑?！鷝↓→

%↑→wn↓→wd↓→zwn=1/2T↓→ts↑實際系統(tǒng)中T往往不能變，要使系統(tǒng)性能好，則K↓，這對控制精度不利。2021/5/9402021/5/941由圖可見:c2(t)使得c(t)比c1(t)響應迅速且有較大超調量。2021/5/9422021/5/943

系統(tǒng)參數間的關系:2021/5/944可求得系統(tǒng)的性能指標:增加零點后,上升時間和峰值時間縮短,系統(tǒng)的初始響應加快,系統(tǒng)的超調量增大，振蕩性增加。c(t)t01二階系統(tǒng)帶零點系統(tǒng)2021/5/945為了定量說明附加零點對二階系統(tǒng)性能的影響，用參數α表示附加零點與典型二階系統(tǒng)復數極點至虛軸距離之比，即零點從極點左側向極點越靠近，影響越大；當零點距離虛軸很遠時(α>5)，零點的影響可以忽略。2021/5/9462021/5/9471．誤差信號比例-微分控制(PD)

比例微分控制二階系統(tǒng)結構圖開環(huán)傳遞函數:閉環(huán)傳遞函數:得R(s)C(s)比例微分控制使系統(tǒng)阻尼比增大,超調量將減少。若傳遞函數中增加的零點合適，將使得系統(tǒng)響應加快。2021/5/948對二階系統(tǒng)性能的改善c(t)t01二階系統(tǒng)加比例微分2021/5/949比例-微分控制的實現RC比例-微分網絡運算放大器比例-微分網絡2021/5/950

比例微分控制二階系統(tǒng)結構圖開環(huán)傳遞函數:閉環(huán)傳遞函數:得R(s)C(s)2．輸出量微分(測速)負反饋控制-加入微分負反饋，系統(tǒng)的阻尼比增大，超調量減少。2021/5/951c(t)t01二階系統(tǒng)加微分負反饋對二階系統(tǒng)性能的改善2021/5/952(3)比例+微分控制與速度反饋控制的關系--比例+微分控制相當于分別對輸入信號和反饋信號進行比例+微分。其中對反饋信號進行比例+微分相當于速度反饋。所以誤差的比例+微分控制相當于輸出的速度反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-2021/5/9531、從物理本質上講，測速反饋控制相當于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調量減??；比例-微分控制是一種早期控制，微分信號有超前性，相當于系統(tǒng)的調節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調。對于理想的線性控制系統(tǒng)來說，兩種方法均可改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。然而，實際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率等。比例微分控制與測速反饋控制的比較2、對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響：比例-微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條