第10講 三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）（原卷版）

第10講三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）【知識梳理】一、全等三角形判定——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.二、全等三角形判定——“角角邊”1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【考點(diǎn)剖析】題型一：用“角邊角”直接證明三角形全等例1.如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．求證：△AEC≌△BED；【變式1】如圖，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求證：△ABC≌△ADE．【變式2】如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊【變式3】（2022?長安區(qū)一模）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．題型二：用“角邊角”間接證明三角形全等例2.如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【變式1】已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求證：AE＝CF．【變式2】如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：BD＝CE.【變式3】如圖，要測量河兩岸相對兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點(diǎn)間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【變式4】如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時(shí)，DE＝BF.【變式5】已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【變式6】如圖，已知，平分，且于點(diǎn)D，則________．【變式7】（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．題型三：用“角角邊”直接證明三角形全等例3.如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【變式】（2022秋?泗陽縣期中）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．題型四：用“角角邊”間接證明三角形全等例4、已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【變式】已知：如圖，，，是經(jīng)過點(diǎn)的一條直線，過點(diǎn)、B分別作、，垂足為E、F，求證：.題型五：“邊角邊”與“角角邊”綜合應(yīng)用例5．如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．【變式】如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．題型六：尺規(guī)作圖——利用角邊角或角角邊做三角形例6、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.例7.已知：角α，β和線段a，如圖4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.圖4－4－29【變式】（2022春·陜西·七年級陜西師大附中校考期中）尺規(guī)作圖已知：，和線段a，求作，使，，．要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去2．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，在用尺規(guī)作圖得到過程中，先作，再作，從而得到，其中運(yùn)用的三角形全等的判定方法是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，平分，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，若，則的長度不可能是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，若，則點(diǎn)P到與的距離之和為（

）

A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·福建福州·七年級福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，且，則點(diǎn)到線段的最小距離為（）

A． B． C． D．6．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E在外部，點(diǎn)D在的邊上，交于F，若，，則（

）．

A． B． C．D．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊）你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去8．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┤鐖D，的兩條高和相交于點(diǎn)E，，，，則的長為（

）

A． B． C． D．139．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個(gè)辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)B；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時(shí)視線落在了我軍陣地的點(diǎn)E上；最后，他用步測的辦法量出自己與E點(diǎn)的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．10．（2023春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積（

）

A． B． C． D．不能確定二、填空題11．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

12．（2023春·廣東揭陽·七年級期末）如圖，在中，，AD平分，則的根據(jù)是______．

13．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，且，連接，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，，則的長為________．14．（2023春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B兩個(gè)建筑物分別位于河的兩岸，為了測量它們之間的距離，可以沿河岸作射線，且使，在上截取，過D點(diǎn)作，使在一條直線上，測得米，則A，B之間的距離為______米．15．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，添加一個(gè)條件，使，這個(gè)條件可以是______．（只需寫一種情況）

16．（2023春·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤鐖D，有一種簡易的測距工具，為了測量地面上的點(diǎn)M與點(diǎn)O的距離（兩點(diǎn)之間有障礙無法直接測量），在點(diǎn)O處立豎桿PO，并將頂端的活動桿PQ對準(zhǔn)點(diǎn)M，固定活動桿與豎桿的角度后，轉(zhuǎn)動工具至空曠處，標(biāo)記活動桿的延長線與地面的交點(diǎn)N，測量點(diǎn)N與點(diǎn)O的距離，該距離即為點(diǎn)M與點(diǎn)O的距離．此種工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

17．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）直線經(jīng)過的頂點(diǎn)，．、分別是直線上兩點(diǎn)，且．若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且、在射線上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若，，則____（填“”，“”或“”號）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應(yīng)滿足的關(guān)系是_________________．

18．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，，為的角平分線，過點(diǎn)作交的延長線與點(diǎn)，若，則的長為______．

三、解答題19．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，過點(diǎn)C作，垂足為D．在射線上截取，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，，求的長．20．（2023春·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，A，C，D三點(diǎn)共線，和落在的同側(cè)，，，．求證：．

21．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）已知和線段a（下圖），用直尺和圓規(guī)作，使．22．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，請根據(jù)“ASA”作出，使．23．（2023春·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，已知，，，試說明：．

24．（2020秋·廣東廣州·八年級海珠外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：，，．求證：．

25．（2023春·福建寧德·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能直接測量），點(diǎn)A，D在l異側(cè)，測得，，．

(1)求證：；(2)若，，求的長度．26．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，連接，，且．

(1)求證：；(2)若，，試求的長．27．（2023春·江西鷹潭·七年級校考階段練習(xí)）將兩個(gè)三角形紙板和按如圖所示的方式擺放，連接．已知，，．