累計期權(quán)定價與風(fēng)險估值研究-以中信泰富為例

累計期權(quán)定價與風(fēng)險估值研究——以中信泰富為例1研究背景從2007年起，中信泰富開始購買澳元的累計外匯期權(quán)合約進(jìn)行對沖（Accumulator）。2008年10月20日，中信泰富發(fā)布公告稱，為對沖澳大利亞鐵礦項目匯率風(fēng)險，該公司自2007年底起簽訂了多份累計杠桿式外匯買賣合約，該澳元累計目標(biāo)可贖回遠(yuǎn)期合約，因澳元大幅貶值，已經(jīng)確認(rèn)155億港元虧損。此項虧損將達(dá)其凈資產(chǎn)600億港元的近1/4。公告一出，市場嘩然，投資者紛紛拋售該股票。到10月29日，由于澳元的進(jìn)一步貶值，該合約虧損已接近200億港元。11月12日，中信泰富再次發(fā)布公告，與母公司中信集團(tuán)達(dá)成初步重組協(xié)議，其一是中信集團(tuán)以強制性可轉(zhuǎn)債方式，向中信泰富注資15億美元。其二是以“外科手術(shù)”般的方式將部分衍生品交易合約從上市公司剔除，中信集團(tuán)將協(xié)助中信泰富分兩步重組現(xiàn)存的87億澳元合約。按照公告，中信集團(tuán)希望在12月30日前完成重組。此次衍生產(chǎn)品巨額虧損事件階段性地告一段落。2008年12月2日，中信泰富在港交所發(fā)布的股東通函首次披露公司與花旗銀行、匯豐銀行等13家銀行簽訂的外匯累計期權(quán)合約細(xì)節(jié)。通函顯示，中信泰富2007年8月至2008年8月間，分別與匯豐銀行、花旗銀行、摩根士丹利資本、美國銀行、巴克萊銀行、瑞信國際、法國巴黎銀行等13家銀行簽訂24份外匯累計期權(quán)合約，合約幣種涉及澳元、歐元及人民幣。股東通函還顯示，由于澳元進(jìn)一步走低，中信泰富外匯衍生合約變現(xiàn)虧損及公平價定值虧損總額已由11月12日公告中的168億港元，擴(kuò)大至186億港元。2累計期權(quán)定價原理由于奇異期權(quán)本身結(jié)算方式的復(fù)雜性，目前很難、甚至不能給出它定價的理論表達(dá)式，不能用布萊克-斯科爾斯公式求出解析解。此時利用計算機編程進(jìn)行數(shù)值計算是目前為這樣的奇異期權(quán)定價的最有效的方法，而蒙特卡羅方法(MonteCarlomethod)是應(yīng)用最廣泛的方法。此外還有離散化方法(Discretizationmethod)以及馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法(Markovchain-MonteCarlomethod)等也有重要應(yīng)用。蒙特卡羅法是一種通過將所求解的問題在大量歷史數(shù)據(jù)中建立統(tǒng)計模型，然后應(yīng)用概率統(tǒng)計原理，同時假設(shè)未來發(fā)生的某一情況的概率和歷史數(shù)據(jù)一樣，最后應(yīng)用計算機生成隨機數(shù)（或偽隨機數(shù)）對未來情形進(jìn)行多次模擬以此來求得模型的近似解的計算方法。在計算期權(quán)價格時，蒙特卡洛模擬同樣進(jìn)行了風(fēng)險中性假設(shè)。在風(fēng)險中性的世界中，我們隨機模擬生成資產(chǎn)價格變化的不同節(jié)點，并計算不同節(jié)點上的收益值的期望，再以無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求期權(quán)價值。應(yīng)用蒙特卡洛方法時，假設(shè)利率為常數(shù)，對于某個市場變量X進(jìn)行模擬時首先對變量X的路徑進(jìn)行抽樣，對于抽樣的每一條路徑，我們都可以模擬出期權(quán)在該節(jié)點上的價值。然后重復(fù)上一步取得許多該期權(quán)不同模擬的節(jié)點上的價值并計算這些價值的期望值，該期望值就是期權(quán)在風(fēng)險中性世界里未來價值期望的估計值。最后用無風(fēng)險利率對期權(quán)的未來期望價值進(jìn)行貼現(xiàn)，所得結(jié)果即為期權(quán)價值的估計值。蒙特卡洛模擬對累計期權(quán)定價過程如下：由于金融界以幾何布朗運動來描述股價、油價、匯率等金融上重要變量的時間序列，并因此與許多物理學(xué)上的模型與定律存在顯著的聯(lián)系。在此，我們假設(shè)澳元對美元的匯率服從幾何布朗運動。則有滿足以下公式：dS=其中，S為澳元兌美元匯率，μ為澳元兌美元匯率的對數(shù)收益率的期望值，σ為澳元兌美元匯率的對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。z為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，即：dz=令G=lnS，由伊藤引理可以得到如下公式：dG=其中，?G?S=1S，?dG=因此，可以推導(dǎo)出如下關(guān)系：ln通過上式可以看出澳元對美元匯率的模型，假定匯率數(shù)據(jù)每個月變化一次，對dG進(jìn)行積分可推出如下關(guān)系式：S由于從2008年6月開始至2010年10月止，總計28個月，即t的取值范圍為0至27,其中的μ即為匯率對數(shù)收益率的期望值，可以通過歷史數(shù)據(jù)的收益率平均值得到；σ為匯率對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，σ是蒙特卡羅模擬中最重要的一個變量，對于模擬結(jié)果具有非常大的影響。計算標(biāo)準(zhǔn)差的方法有兩種：（1）歷史波動率：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)根據(jù)可以得到：s其中，r表示匯率的對數(shù)收益率。（2）GARCH模型：在建立GARCH模型之前，需要對匯率的對數(shù)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。在平穩(wěn)的序列下，澳元兌美元的對數(shù)收益率的條件均值和條件波動率服從條件異方差模型GARCH（1,1）過程，即：均值方程：μ方差方程：σ其中，w=δVL，VL表示長期平均方差，δ是長期平均方差VL權(quán)重，α是μt-12項的權(quán)重，β是σt-12項的權(quán)重，且δσ利用上面的匯率計算的式子可以模擬得到澳元兌美元模擬的匯率值。輸入?yún)?shù)：（1）初始價格：S0=0.958，2008年6月底的澳元兌美元價格（2）對數(shù)期望收益率：μ=0.000802，過去20年的月收益率的平均值（3）波動率：σ=0.027811，過去20年的月收益率的標(biāo)準(zhǔn)差（4）模擬次數(shù)：20000次圖8：澳元對美元模擬的未來28個月的預(yù)測值每月?lián)p益計算由于該累計期權(quán)合約需要根據(jù)每月月底的匯率市場價格與履約價格進(jìn)行對比，如果市場價格高于執(zhí)行價格，則買入一倍的數(shù)量，如果市場價格低于執(zhí)行價格，則買入2.5倍的數(shù)量。當(dāng)匯率價格大于執(zhí)行價格0.87時，需要接收1000萬澳元；當(dāng)匯率價格小于執(zhí)行價格0.87時，需要接收2500萬澳元。其每月的損益可以表示為：RRit表示第i條路徑上第t添加障礙上式計算了每月的損益，接下來添加障礙期權(quán)：根據(jù)中信泰富披露信息，收益的障礙價格為150萬至700萬；在此分別150萬和700萬為障礙條件；將每月的損益矩陣分別對每月的損益向后累加，將每月的損益加和與障礙價格作比較，如果收益之和大于障礙價格，則后續(xù)月份損益全部置為0。為了更全面的觀察累計期權(quán)的損益情況，可以做出模擬的累計期權(quán)損益分布的概率密度以及期望收益值。圖9：累計期權(quán)損益分布的概率密度貼現(xiàn)求解期權(quán)價格添加了障礙期權(quán)之后，再對28個月的損益按照無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)到期初求和即得到累計期權(quán)的價格，即：P其中，Pt表示累計期權(quán)的價格，τ為累計期權(quán)的時間展望期，Rit為第i條路徑上第t期累計期權(quán)的損益，r由于澳元的價格是以美元計價的，因此我們選取一年期美國國債的收益率作為無風(fēng)險利率。查詢美國財政部網(wǎng)站，找到在2008年6月累計期權(quán)簽訂時一年期美國國債的收益率為2.36%，折算為每月的無風(fēng)險收益率。得到的累計期權(quán)價格為134.87萬。由于該累積期權(quán)在簽訂時中信泰富并未支付任何費用，因此，從蒙特卡羅模擬來看，該期權(quán)在簽訂時對中信泰富來說是有利的3累計期權(quán)風(fēng)險管理——VaR模型（1）風(fēng)險管理的方法選擇對于標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)：Delta、Gamma、Vega、Theta等風(fēng)險因子，標(biāo)的資產(chǎn)價格、到期時間、無風(fēng)險利率、波動率等的變化對于期權(quán)價格的影響程度都是不一樣的，而且呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，對于評估標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)敏感性系數(shù)有較大的作用。對于奇異期權(quán)的風(fēng)險因子也是同樣離不開這幾種因子，但是由于奇異期權(quán)的不規(guī)則性，這幾種風(fēng)險因子的變化規(guī)律及代表的意義在不同情況下是不一致的，只能根據(jù)具體期權(quán)的性質(zhì)分析影響程度及敏感性。VaR（ValueatRisk），即為風(fēng)險在險價值，指的是在正常的條件下，一項投資決策或投資組合在一定的置信水平和投資期限內(nèi)預(yù)計面臨的最大損失值。目前金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域己經(jīng)得到了廣泛的運用，主要適用了計算企業(yè)面臨的市場風(fēng)險及信用風(fēng)險，可作為一種重要方法用于各經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)監(jiān)控和事后的風(fēng)險評估VaR模型可將復(fù)雜的金融衍生品組合或一組復(fù)雜的投資決策所面臨的風(fēng)險計算成一個數(shù)字，以清晰明了的方式展示投資決策所面臨的風(fēng)險值，幫助決策者能夠更加理性的進(jìn)行決策。（2）VaR值計算方法歷史模擬法是一種比較簡單的計算VaR值的方法，不需要預(yù)測標(biāo)的資產(chǎn)未來價格走勢或者市場因子的分布函數(shù)，只需要知道大量的歷史數(shù)據(jù)即可。對于一些沒有足夠歷史數(shù)據(jù)的標(biāo)的資產(chǎn)，可Ｗ先找出影響標(biāo)的資產(chǎn)價格的主要影響因子，取出影響因子歷史數(shù)據(jù)，再根據(jù)歷史數(shù)據(jù)因子計算標(biāo)的資產(chǎn)歷史數(shù)據(jù)，有了歷史數(shù)據(jù)就可以先對進(jìn)行排序，再根據(jù)給定的置信水平，計算VaR值。由于歷史模擬法不需要預(yù)測分布，因而可計算處理一些非常規(guī)分布。歷史模擬法也有一定的局限性，如果要使用，必須要求有大量的歷史數(shù)據(jù)作支撐，只要這樣才能夠預(yù)測出極端情況下的風(fēng)險值，比如99%的置信水平下的損失值，而且歷史數(shù)據(jù)中能涉及到的極端損失的概率要低于正常損失的概率，數(shù)據(jù)量的大小就顯得格外重要。歷史模擬法假設(shè)未來的風(fēng)險因子與歷史的風(fēng)險因子是一致的，而未來是處于不同的時間節(jié)點，風(fēng)險因子發(fā)生變化的可能性極大，這樣就導(dǎo)致計算出的VaR值不準(zhǔn)確。數(shù)據(jù)的選取有一定的難度，如果數(shù)據(jù)量太大，時間久遠(yuǎn)會造成數(shù)據(jù)喪失了代表性，如果數(shù)據(jù)量太少又可能遺失過去的市場信息，因此這個數(shù)據(jù)長度的選擇需要很強的市場判斷能力方差－協(xié)方差法是VaR計算中最為常用的方法。該方法假設(shè)各投資組合服從正態(tài)分布（以歷史數(shù)據(jù)計處波動性，協(xié)方差等數(shù)據(jù)），這樣就可Ｗ根據(jù)正態(tài)分布的均值和方差，結(jié)合置信水平求出分位數(shù)，進(jìn)一步計算VaR值。由于此種方法計算量相對較小，成為最常用的方法。而由于假設(shè)了組合服從正態(tài)分布，這樣就有了較大的局限性，比如，在計算正態(tài)分布時，各投資組合的相關(guān)性、協(xié)方差等原本就不太準(zhǔn)確，這樣導(dǎo)致計算出的VaR值也有一定失真，再對于像期權(quán)這種復(fù)雜的金融衍生品，方差－協(xié)方差法就無法有效處理了，對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)是股票，根據(jù)伊藤引理，股價是服從是對數(shù)正態(tài)分布的，而就無法假設(shè)期權(quán)是服從正態(tài)分布了。蒙特卡羅模擬法即一種隨機模擬法，利用歷史數(shù)據(jù)估計歷史數(shù)據(jù)期望及波動率參數(shù)，根據(jù)一定概率分布規(guī)律，模擬Ｎ條標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑，核也是利用資產(chǎn)價格的隨機模擬模型來估計在未來某一時間內(nèi)資產(chǎn)的價格，然后利用得到的未來資產(chǎn)價格來估計投資或投資組合的風(fēng)險價值。與歷史模擬法相比，該方法無需大量歷史數(shù)據(jù)，而且也無需像方差－協(xié)方差法那樣假定資產(chǎn)組合需要服從正態(tài)分布，可以解決非正態(tài)分布，非線性變化等多種問題，同時也由于計算機發(fā)展越來越快，大量的蒙特卡羅模擬運算成為可能，使具有更為廣泛的運用。通過上面澳元對美元匯率價格研究可以得出蒙特卡羅模擬２萬次的匯率價格，同時也計算出期權(quán)價格，現(xiàn)就計算出來的累積期權(quán)收益數(shù)據(jù)，模擬出累計期權(quán)收益分布的概率密度函數(shù)。圖10：累計期權(quán)的第28個月的累計收益排序分布表1：蒙特卡洛模擬的VaR值分析置信水平VaR值99%5907.695%3267.190%1797也就是說在99%的可能性損失不會超過5907.6萬；在95%的可能性損失不會超過3267.1萬。4敏感性分析敏感性分析對于評估企業(yè)風(fēng)險關(guān)鍵因子有著至關(guān)重要的作用，通過敏感性分析有助于企業(yè)在分析風(fēng)險時進(jìn)行關(guān)鍵因子的假設(shè)及分析，得出相關(guān)的風(fēng)險參數(shù)，更方便進(jìn)行風(fēng)險決策。表2：不同波動率水平下的VaR值置信水平10%25%99%223703962695%179213537890%1454332203由表中可看出，隨著收益率的波動率增加，合約面臨的VaR值不斷增大，可中信泰富的風(fēng)險敞口與波動率的變化有較緊密的關(guān)系。通過中信泰富2008年財務(wù)報表顯示累計期權(quán)合約虧損147億港元，現(xiàn)通過wind數(shù)據(jù)庫取2008年7月至2008年12月外匯市場價格數(shù)據(jù)，取出對數(shù)收益率的波動率，并計算相應(yīng)的VaR值；如下圖描述了2008年7月至12月的外匯價格趨勢，可看出匯率價格波動較大。通過程序可計算出這段時間的波動率為11.87%。圖11：澳元兌美元2008年6月到12月實際走勢5從累計期權(quán)定價與風(fēng)險角度的案例小結(jié)本文中的中信泰富公司為在澳大利亞建設(shè)鐵礦石項目，而有買入澳元的需求。以當(dāng)時的情況來看，美國正處于次貸危機當(dāng)中，美國經(jīng)濟(jì)疲弱外加美聯(lián)儲的量化寬松貨幣政策，市場普遍認(rèn)為美元處于貶值的周期之中，投資者紛紛開始拋售美元買入其他堅挺貨幣。而當(dāng)時的澳元兌美元匯率已經(jīng)累計了一定漲幅，并且從趨勢上看還將繼續(xù)上漲，加之澳元利率高達(dá)7%以上，澳元成為了匯市上熱門貨幣。而中信泰富因為在未來數(shù)年中有澳元需求，為了對沖澳元可能出現(xiàn)的持續(xù)升值的匯率風(fēng)險，中信泰富對澳元進(jìn)行套期保值是合理的需求。雖然中信泰富有對澳元進(jìn)行套期保值的需求，但是中信泰富并沒