2022-2023學(xué)年江蘇八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題精練專題03-軸對(duì)稱應(yīng)用-最短距離問題(解析版)

2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編專題03軸對(duì)稱應(yīng)用—最短距離問題考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2020八上·喀喇沁旗期末）如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【完整解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，故答案為：A．【思路引導(dǎo)】連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCB=∠PBC=30°，即可解決問題。2．（2分）（2020八上·霍林郭勒期末）如圖，，C為OB上的定點(diǎn)，M，N分別為射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【完整解答】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M，∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，根據(jù)垂線段最短，EN最短，∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故答案為：B．【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M，此時(shí)CM+MN=EM+MN=EN，最短，進(jìn)而根據(jù)∠AOB=35°，和直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解。3．（2分）（2021八上·長(zhǎng)沙期末）如圖，在ABC中，，AD是其角平分線，E是邊AB的中點(diǎn)，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于的最小值是（）A．BC B．CE C．AD D．AC【答案】B【完整解答】解：如圖，連接PC，∵，AD是其角平分線，∴AD⊥BC，BD=CD，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PC+PE≥CE，∴P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】連接PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD=CD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得PB=PC，從而得出PB+PE=PC+PE，當(dāng)P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度.4．（2分）（2021八上·撫順期末）如圖，點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，小東同學(xué)想通過作圖在直線l上確定一點(diǎn)Q，使MQ與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】作點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′，再連接M′N交l于點(diǎn)Q，則MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知點(diǎn)Q即為所求.故答案為：C【思路引導(dǎo)】先作點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交l于點(diǎn)Q，即可.5．（2分）（2021八上·綿陽期末）如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【完整解答】作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'交AB于P，P即為所求，此時(shí)PC+PD=PC+PD'=CD'，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)PC+PD最小.作D'E⊥BC于E，則EB=D'A=AD.∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C.∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'.∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值為8.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】由軸對(duì)稱的性質(zhì)并結(jié)合題意作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'交AB于P，P即為所求，此時(shí)PC+PD=PC+PD'=CD'，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)PC+PD最小，所以在Rt△D'CE中，只需求出D'C的值即可求解.6．（2分）（2021八上·長(zhǎng)沙期末）如圖，等邊中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的點(diǎn)，，，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則的最小值為（）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【完整解答】解：如圖，是等邊三角形，，∵D為AC中點(diǎn)，∴，

∵，，，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，，，，，，，是等邊三角形，，∴PE+QE的最小值為10.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，進(jìn)而判斷△APQ'是等邊三角形，即可解決問題.7．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn).若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5【答案】D【完整解答】解：如圖，連接AM、AD∵EF垂直平分線段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即當(dāng)A、M、D三點(diǎn)在一直線上且與AD重合時(shí)，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長(zhǎng)∵△CMD的周長(zhǎng)=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周長(zhǎng)的最小值為AD+CD∵D為BC的中點(diǎn)，AB=AC∴，AD⊥BC∴∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周長(zhǎng)的最小值為13.5故答案為：D.【思路引導(dǎo)】連接AM、AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CM=AM，當(dāng)A、M、D三點(diǎn)在一直線上且與AD重合時(shí)，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長(zhǎng)；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，AD⊥BC，利用△ABC的面積可求出AD的長(zhǎng)，從而求出此時(shí)△CDM的周長(zhǎng)即可.8．（2分）（2021八上·崇川期末）如圖，中，，垂足為D，，P為直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積等于的面積的，則當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【完整解答】解：∵S△PBC＝S△ABC，，∴P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，如圖，∴l(xiāng)∥BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，則BB'⊥l，PB＝PB'，此時(shí)點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，∵AD⊥BC，AD＝BC，∴BB'＝BC，BB'⊥BC，∴△BB'C是等腰直角三角形，∴∠B'＝45°，∵PB＝PB'，∴∠PBB'＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝90°?45°＝45°；故答案為：B.【思路引導(dǎo)】P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，此時(shí)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，進(jìn)而得到△BB'C是等腰直角三角形，據(jù)此解答即可.9．（2分）（2020八上·三臺(tái)期中）如圖，正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（）．A． B． C． D．【答案】C【完整解答】連接、、關(guān)于AC對(duì)稱．∴．∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線得最小．∴，選C．【思路引導(dǎo)】連接、，由于關(guān)于對(duì)稱，可得PB=PD，由于，可得當(dāng)、、三點(diǎn)共線得最小，最小值等于BE的長(zhǎng)，據(jù)此解答即可.10．（2分）（2020八上·寧晉期末）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【完整解答】解：如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)C作，垂足為H.∵平分，∴根據(jù)對(duì)稱可知.∵，∴.∵，∴當(dāng)點(diǎn)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小，最小值為.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】在上取點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)C作，垂足為H.由平分及對(duì)稱性，可得，由求出CH，當(dāng)點(diǎn)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小，最小值為CH的長(zhǎng).二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·龍沙期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝8cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PN+PM+MN的最小值是8cm，則∠AOB的度數(shù)是．【答案】30°【完整解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故答案為：30°．

【思路引導(dǎo)】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，得出OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)論。12．（2分）（2021八上·汕頭期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為2，面積是4，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為．【答案】5【完整解答】∵EF是AC的垂直平分線∴A、C關(guān)于EF對(duì)稱∴連接AD交EF于M點(diǎn)則CM＋MD最小值為AD∵等腰三角形ABC中，D是BC中點(diǎn)∴AD⊥BC∵等腰三角形ABC面積為4∴∴AD=4∴△CDM周長(zhǎng)的最小值=4＋1=5所以答案為5【思路引導(dǎo)】連接AD交EF于M點(diǎn)，則CM＋MD最小值為AD，因?yàn)榈妊切蜛BC中，D是BC中點(diǎn)，得出AD⊥BC，由等腰三角形ABC面積為4，得出AD的值，由此得出答案。13．（2分）（2021八上·溫州期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=7，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G是線段CP的垂直平分線，Q是PG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PQ+QD的最小值為【答案】3.5【完整解答】解：如圖，連接CQ，連接CD交FG于Q'，∵FG是線段CP的垂直平分線，

∴PQ=CQ，

∴PQ+QD=CQ+DQ，

∴當(dāng)C、Q、D在同一條直線時(shí)，PQ+QD最短，

∵D為AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，

∴CD=AB=3.5.

故答案為：3.5.

【思路引導(dǎo)】連接CQ，連接CD交FG于Q'，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知PQ=CQ，則當(dāng)C、Q、D在同一條直線時(shí)，PQ+QD最短，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可解答.14．（2分）（2021八上·蘇州期中）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)是.【答案】128o【完整解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A"，連接A'A"，交BC于M，交CD于N，則，，∴的周長(zhǎng)，∴即為的周長(zhǎng)最小值.，，∵，，∴，，又∵，，，故答案為：128o.【思路引導(dǎo)】作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A"，連接A'A"，交BC于M，交CD于N，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，使三角形的三邊轉(zhuǎn)化到在同一直線上，使△AMN的周長(zhǎng)最小，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A'+∠A''=64°，再推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')，即可解答.15．（2分）（2020八上·鎮(zhèn)海期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，則OP的長(zhǎng)是.【答案】6cm【完整解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN.∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD.∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm.故OP=CD=6cm故答案為：6cm.【思路引導(dǎo)】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，故可求解.16．（2分）（2021八上·鐵東期中）如圖，在中，，，以BC為邊在BC的右側(cè)作等邊，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．【答案】15°【完整解答】解：連接PD、AD，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)P1，∵△BCD是等邊三角形，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，∴CE為線段BD的垂直平分線，∴PD=BP，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、D共線時(shí)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，AP+BP有最小值，連接BP1，則BP1=DP1，∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，∴∠CBP1=∠CDP1，∵AC=BC=CD，∴∠CDP1=∠CAD，即延長(zhǎng)AC至Q，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=15°，故答案為：15°．【思路引導(dǎo)】連接PD、AD，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)P1，因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得出CE為線段BD的垂直平分線，PD=BP，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，當(dāng)點(diǎn)A、P、D共線時(shí)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，AP+BP有最小值，連接BP1，則BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延長(zhǎng)AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=15°。17．（2分）（2021八上·寧波期中）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.點(diǎn)P、Q分別是OA、OB上動(dòng)點(diǎn)，則MQ+PQ+NP的最小值是.【答案】【完整解答】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，，當(dāng)在同一條直線上時(shí)取最小值，連接，過點(diǎn)作交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，則，，，在中，在中，，故答案為：.【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，由兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)得：當(dāng)N′、P、Q、M′在同一條直線上時(shí)取最小值，連接ON′，OM′，過點(diǎn)N′作N′E⊥OM′交OM′的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，得∠N′OA=20°，∠BOM′=∠BOA=50°，∠N′OM′=120°，∠EON′=60°，∠EN′O=30°，然后求出EO的值，由勾股定理可得EN′，然后求出EM′，最后在Rt△EM′N′中，運(yùn)用勾股定理求解即可.18．（2分）（2021八上·青羊月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，若P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小值為.【答案】【完整解答】解：在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn).則四邊形APQF是平行四邊形∴PA=FQ=GQ∵E為CD邊的中點(diǎn)∴DE=EC=2∴∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴，∴四邊形APQE的周長(zhǎng)的最小值=QE+EA+PQ+AP=+EQ+2+AP=+EQ+2+QG=+EG+2=.故答案為：.【思路引導(dǎo)】在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，則四邊形APQF是平行四邊形，得到PA=FQ=GQ，由中點(diǎn)的概念可得DE=EC=2，由勾股定理求出AE，進(jìn)而得到EG，據(jù)此求解.19．（2分）（2020八上·溫州月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是DC，BC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為.【答案】36°【完整解答】解：如圖，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'和A”，連接A'A”,交BC于點(diǎn)E，交CD于F，則A'A”即為△AEF周長(zhǎng)的最小值，

∵∠C=72°，

∴∠DAB=108°，

∴∠AA'F+∠A”=72°，

∵∠FA'A=∠FAB，∠A”=∠EAD，

∴∠FAB+∠EAD=∠FA'A+∠A”=72°，

∴∠EAF=∠BAD-（∠FAB+∠EAD）=108°-72°=36°.

故答案為：36°.

【思路引導(dǎo)】要使△AEF的周長(zhǎng)最小，即利用對(duì)稱的性質(zhì)，使三角形的三邊轉(zhuǎn)化到一條直線上，為此，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'和A”，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠EAF即可.20．（2分）（2020八上·北京期中）如圖，已知等邊△ABC中，AD⊥BC，AD=2若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，AP的長(zhǎng)為；【答案】【完整解答】解：如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠DAC=30°∴PE=AP當(dāng)BP⊥AC時(shí)，AP+BP=PE+BP的值最小，此時(shí)，EP=PD而PE=AP∴AP=．故答案為：．【思路引導(dǎo)】可以作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE=AP，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，AP+BP=PE+BP的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求得AP的長(zhǎng)．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（5分）（2018八上·北京月考）點(diǎn)P、P1關(guān)于OA對(duì)稱，P、P2關(guān)于OB對(duì)稱，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，則△MPN的周長(zhǎng)是多少？【答案】解：∵點(diǎn)P、P1關(guān)于OA對(duì)稱，P、P2關(guān)于OB對(duì)稱，∴PM=MP1，PN=NP2；∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，∴△PMN的周長(zhǎng)為8．【思路引導(dǎo)】利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題。22．（10分）（2021八上·義烏期中）如圖，A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元.（1）（5分）請(qǐng)?jiān)诤恿魃线x擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少.（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）（5分）最低費(fèi)用為多少？【答案】（1）解：根據(jù)分析，水廠的位置M為：（2）解：如圖2，，在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），∴BE＝（千米），∴鋪設(shè)水管長(zhǎng)度的最小值為50千米，∴鋪設(shè)水管所需費(fèi)用的最小值為：50×3＝150（萬元）.答：最低費(fèi)用為150萬元.【思路引導(dǎo)】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交于直線l于一點(diǎn)，即為點(diǎn)M，此時(shí)鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥BD交于點(diǎn)F，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再乘以每千米3萬元，即得最低費(fèi)用.23．（10分）（2021八上·海珠期末）已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點(diǎn)，∠ABE＝∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交BE于點(diǎn)P．（1）（3分）直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；（2）（3分）求證：BD＝PC；（3）（4分）點(diǎn)H、G分別為AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DHG周長(zhǎng)取取小值時(shí)，求∠HDG的度數(shù)．【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形（2）證明：如圖，在線段AD上取點(diǎn)H，使DH=DB，連接CH，∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，∵CE=CP，∴BH=CP，∴；（3）解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FM交BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，此時(shí)△DGH的周長(zhǎng)最小，∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．【完整解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-45°)=67.5°，∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE=22.5°，∴∠CBE=45°，∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，∴BC=BE，即△BCE為等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD=90°–∠A=45°∴∠A=∠ACD=45°，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠CPE=∠BPD=90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP=67.5°，∴∠CPE=∠CEB=67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，綜上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；【思路引導(dǎo)】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分別證明∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEB=67.5°，即可即可得出結(jié)論；

（2）在線段AD上取點(diǎn)H，使DH=DB，連接CH，利用全等三角形的性質(zhì)證明BH=CE，即可得出結(jié)論；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FM交BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，此時(shí)△DGH的周長(zhǎng)最小，證明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出結(jié)論。24．（11分）（2020八上·襄汾期末）如圖1和圖2，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，且點(diǎn)所在直線與不平行.（1）（3分）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，距離點(diǎn)最近，在圖1中的直線上畫出點(diǎn)的位置；（2）（4分）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，與點(diǎn)的距離和與點(diǎn)距兩相等，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出位置；（3）（4分）在直線上是否存在這樣一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最?。咳舸嬖谡?qǐng)?jiān)趫D3中作出這點(diǎn)，若不存在清說明理由.（要求：不寫作法，請(qǐng)保留作圖痕跡）【答案】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）如圖所示；【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)AP1⊥m時(shí)，P1距離點(diǎn)A最近；（2）作AB的垂直平分線交m于點(diǎn)P2即可；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線m于點(diǎn)P3；25．（7分）（2021八上·五常期末）（1）（3分）畫圖探究：如圖①，若點(diǎn)，在直線的同側(cè)，在直線上求作一點(diǎn)，使的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法；（2）（4分）實(shí)踐運(yùn)用：如圖②，等邊的邊上的高為6，是邊上的中線，是上的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）解：如答圖①，點(diǎn)即為所求．（2）解：∵是等邊的邊上的中線，∴是邊的垂直平分線，∴BM=CM，∴ME+MC=ME+MB，∴要ME+MC最小，即ME+MB最小，∴當(dāng)M、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，ME+MB最小，最小為BE∵是的中點(diǎn)，∴是等邊的邊上的高，∴，∴的最小值為6．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意作圖即可；

（2）先求出是邊的垂直平分線，再求出ME+MC=ME+MB，最后求解即可。26．（7分）（2020八上·烏魯木齊期末）（問題）在中，，，點(diǎn)在直線上（除外），分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)作和的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系.（1）（3分）（探究發(fā)現(xiàn)）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究，的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，只需要取邊的中點(diǎn)（如圖1），通過推理證明就可以得到和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）（4分）（數(shù)學(xué)思考）那么點(diǎn)在直線上（除外）（其他條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請(qǐng)你從“點(diǎn)在線段上”“點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上”“點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.【答案