專題23：第4章解三角形之步步高型-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）【有答案】

23第4章解三角形之步步高型學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，則此三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．1 B．2 C．3.5 D．8【答案】C【解析】【分析】能構(gòu)成三角形的條件是，“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件解答此題.【詳解】選項(xiàng)A，若第三邊為1，則，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若第三邊為2，則，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，滿足構(gòu)成三角形的條件符合，故正確；選項(xiàng)D，若第三邊為8，則，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考察構(gòu)成三角形的條件，“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.2．如圖，豎直放置的桿，在某一時(shí)刻形成的影子恰好落在斜坡的D處，而此時(shí)1米的桿影長(zhǎng)恰好為1米，現(xiàn)量得為10米，為8米，斜與地面成30°角，則桿的高度為（）米．A． B． C．8 D．6【答案】A【解析】【分析】如圖：延長(zhǎng)AB交水平線于點(diǎn)E,過(guò)C作DE的垂線,垂足為F,則CF=BE,BC=EF,根據(jù)題意可知∠CDE=30°結(jié)合CD=8運(yùn)用三角函數(shù)可得CF=4，DF=,即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+;又由1米的桿影長(zhǎng)恰好為1米，則AE:DE=1:1,解得AE=10+;最后由AB=AE-BE即可解答．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)AB交水平線于點(diǎn)E,過(guò)C作DE的垂線,垂足為F,則CF=BE,BC=EF∵∠CDE=30°，CD=8∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=∴DE=EF+DF=10+又∵1米的桿影長(zhǎng)恰好為1米∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+∴AB=AE-BE=10+-4=6+．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形并靈活運(yùn)用三角函數(shù)解三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在x軸正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在直線y＝x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，則線段B2019B2020的長(zhǎng)度為（）A．22021 B．22020 C．22019 D．22018【答案】D【解析】【分析】設(shè)△BnAnAn+1的邊長(zhǎng)為an，根據(jù)直線的解析式能夠得出∠AnOBn=30°，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，從而得出BnBn+1=an，由點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n﹣1．即可求得B2019B2020=a2019=×22018=22018．【詳解】設(shè)等邊△BnAnAn+1的邊長(zhǎng)為an，∵點(diǎn)B1，B2，B3，…是直線y=上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∴∠AnOBn=30°，又∵△BnAnAn+1為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，∴BnBn+1=OBn==an，∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，∴an=2n﹣1．∴B2019B2020=a2019=×22018=22018，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律BnBn+1=OBn=an，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關(guān)鍵．二、填空題4．如圖，測(cè)角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為50°．若測(cè)角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_(kāi)____m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)正切進(jìn)行求解即可；【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是矗立在高速公路地面上的一塊交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC＝30°，則警示牌的高CD為_(kāi)_____．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】1.2米【解析】【分析】在Rt△CPB中求出CP，在Rt△ADP中求出DP即可解決問(wèn)題．【詳解】在Rt△CPB中，∵∠CPB=90°，PB=AP+AB=9米，∠PBC=30°，∴CP=PB?tan30°=9×=3，在Rt△ADP中，∵∠APD=90°，∠PAD=45°，

∴∠MAD=∠MDA=45°，

∴PD=AP=4，

∴CD=CP-DP=3-4(米)故答案為：米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型．6．如圖，小明在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：,則斜坡AB的長(zhǎng)是__________米．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得出∠ABF=30°，進(jìn)而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，

∵斜面坡度為1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，

∵在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，

∴∠HPB=30°，∠APB=45°，

∴∠HBP=60°，

∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，

∴PB=AB，

∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，

故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出PB=AB是解題關(guān)鍵．7．2019年，徐州馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事，這大幅度提升了徐州市的國(guó)際影響力，如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門(mén)CD的頂部C的俯角為35°，底部D的俯角為45°，如果A處離地面的高度AB＝20米，求起點(diǎn)拱門(mén)CD的高度_____m．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【答案】6【解析】【分析】作CE⊥AB于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE＝DB＝20，CD＝BE，根據(jù)正切的定義求出AE，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】解：作CE⊥AB于E，則四邊形CDBE為矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)涉及矩形有關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作出輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而即可求解．三、解答題8．?dāng)?shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組利用矩形建筑物ABED測(cè)量廣場(chǎng)燈塔CF的高，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔頂端C的仰角為28°，在點(diǎn)D處測(cè)得燈塔頂端C的仰角為45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求燈塔CF的高（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）【答案】55米【解析】【分析】延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，設(shè)CH＝xm，利用銳角三角函數(shù)的含義分別表示，再列方程求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，在Rt中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°設(shè)CH＝xm，在Rt中，∠EGD＝45°，∴GH＝xm在Rt中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝tan28°解這個(gè)方程得：x≈45.1，經(jīng)檢驗(yàn)：x≈45.1符合題意．∴燈塔的高CF＝55.1≈55（m）答：燈塔的高為55米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．如圖，某同學(xué)在大樓AD的觀光電梯中的E點(diǎn)測(cè)得大樓BC樓底C點(diǎn)的俯角為60°，此時(shí)該同學(xué)距地面的高度AE為27米，電梯再上升10米到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得大樓BC樓頂B點(diǎn)的仰角為45°，求大樓BC的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（37+9）米．【解析】【分析】過(guò)D作DH⊥BC于H，過(guò)E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的長(zhǎng)，在Rt△BDH中，求出BH，則可得出答案【詳解】解：過(guò)D作DH⊥BC于H，過(guò)E作EG⊥BC于G．由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°．AE＝27，DE＝10．在Rt△CEG中，CG＝AE＝27，tan，∴EG＝＝．∴DH＝EG＝9．在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，∴BH＝DH＝9．∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝27+10+9＝（37+9）米．答：大樓BC的高度是（37+9）米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．10．如圖所示，某塔觀光層的最外沿點(diǎn)為蹦極項(xiàng)目的起跳點(diǎn).已知點(diǎn)離塔的中軸線的距離為10米，塔高為123米（垂直于地面），在地面處測(cè)得點(diǎn)的仰角，從點(diǎn)沿方向前行40米到達(dá)點(diǎn)，在處測(cè)得塔尖的仰角．（1）求出點(diǎn)到塔底的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求點(diǎn)離地面的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)，，）【答案】（1）（2）100米【解析】【分析】（1）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DB的長(zhǎng)，（2）由CF=DB-FB+CD及∠α=45°即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∴為直角三角形在中，∵∴（2）∵，，∴四邊形為矩形，∴∴，∴在中，∵∴為等腰直角三角形，∴（米）答：點(diǎn)離地面的高度約為100米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．11．我市在鳳城河風(fēng)景區(qū)舉辦了端午節(jié)賽龍舟活動(dòng)，小亮在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來(lái)，他在高出水面的處測(cè)得在處的龍舟俯角為；他登高到正上方的處測(cè)得駛至處的龍舟俯角為，問(wèn)兩次觀測(cè)期間龍舟前進(jìn)了多少？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】?jī)纱斡^測(cè)期間龍舟前進(jìn)了18米．【解析】【分析】設(shè)BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，由題意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的長(zhǎng)度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：設(shè)BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，根據(jù)題意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，，解得：，在Rt△AOC中，，，答：兩次觀測(cè)期間龍舟前進(jìn)了18米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，要理解俯角概念，并且熟練掌握解直角三角形的方法．12．如圖，點(diǎn)E與樹(shù)AB的根部點(diǎn)A、建筑物CD的底部點(diǎn)C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點(diǎn)E處觀測(cè)樹(shù)頂B的仰角為30°，他從點(diǎn)E出發(fā)沿EC方向前進(jìn)6m到點(diǎn)G時(shí)，觀測(cè)樹(shù)頂B的仰角為45°，此時(shí)恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點(diǎn)在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．）【答案】19.8m．【解析】【分析】延長(zhǎng)FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設(shè)BN＝NH＝x，則根據(jù)tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和可求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，則BN＝NH，設(shè)BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x≈8.22，根據(jù)題意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵M(jìn)N＝AC＝10，則DM＝10+8.22＝18.22，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度約為19.8m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，理解仰角俯角的概念，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．13．某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為米的發(fā)射塔，如圖所示，在山腳平地上的處測(cè)得塔底的仰角為，向小山前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求小山的高度．【答案】小山的高度為米【解析】【分析】設(shè)塔高BC為x米，根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的關(guān)系式，求出x,進(jìn)而得出小山的高．【詳解】解：設(shè)為米，則米，∵∴，而米，在中，，則米，米，在中，，解得．答：小山的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確理解仰角和俯角的概念是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知樓高，從樓頂處測(cè)得旗桿的俯角為，又從離地面的一窗口測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫?，求旗桿的高.（結(jié)果精確到，，）【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為點(diǎn)G，由題意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，設(shè)CG=x，在Rt△ACG中，AG=CG?tan∠ACG=x，在Rt△ECG中，EG==x，根據(jù)AG+EG=AE，列方程x+x=30-5，得到CF=EG=，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為點(diǎn)G，

由題意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，

設(shè)CG=x，

在Rt△ACG中，AG=CG?tan∠ACG=x，

在Rt△ECG中，EG==x，

∵AG+EG=AE，

∴x+x=30-5，

解得：x=，

∴CF=EG=，

∴CD=+5≈14.1m．

答：該旗桿CD的高為14.1m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了仰角與俯角問(wèn)題，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．如圖，斜坡的坡度是1：2.2（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），這個(gè)斜坡的水平寬度是22米，在坡頂處的同一水平面上（）有一座古塔．在坡底處看塔頂?shù)难鼋鞘?5°，在坡頂處看塔頂?shù)难鼋鞘?0°，求塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米【解析】【分析】分別過(guò)點(diǎn)和作的垂線，垂足為和，設(shè)AD=x，根據(jù)坡度求出DQ，根據(jù)正切定義用x表示出PQ，再由等腰直角三角形的性質(zhì)列出x的方程，解之即可解答．【詳解】解：分別過(guò)點(diǎn)和作的垂線，垂足為和，設(shè)的長(zhǎng)是米∵中，∴∵的坡比是1：2．2，水平長(zhǎng)度22米∴∴在中，∴，即：∴答：的長(zhǎng)是米【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖甲樓AB的高為40米，小華從甲樓頂A測(cè)乙樓頂C仰角為α＝30°，觀測(cè)乙樓的底部D俯角為β＝45°；（1）求甲、乙兩樓之間的距離；（2）求乙樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）40米；（2）米【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形為矩形，由可求得兩樓之間的距離AE的長(zhǎng)度；（2）解直角三角形ACE可以得到CE的值，進(jìn)一步得到乙樓的高度CD的大?。驹斀狻拷猓海?）過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形為矩形，∴米，∵∴米即兩樓之間的距離為40米；（2）在中，∵，米，∴，∴，則樓高為：（米）．答：乙樓的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，綜合應(yīng)用各平面圖形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識(shí)是解題關(guān)鍵．17．為了計(jì)算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組在公路l上的點(diǎn)A處，測(cè)得涼亭P在北偏東60°的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達(dá)公路l上的點(diǎn)B處，再次測(cè)得涼亭P在北偏東45°的方向上，如圖所示．求涼亭P到公路l的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【答案】涼亭P到公路l的距離為273.2m．【解析】【分析】分析：作PD⊥AB于D，構(gòu)造出Rt△APD與Rt△BPD，根據(jù)AB的長(zhǎng)度．利用特殊角的三角函數(shù)值求解．【詳解】詳解：作PD⊥AB于D．設(shè)BD=x，則AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴PD=tan30°?AD，即DB=PD=tan30°?AD=x=（200+x），解得：x≈273.2，∴PD=273.2．答：涼亭P到公路l的距離為273.2m．【點(diǎn)睛】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個(gè)特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值解答．18．遙感興趣小組在如圖所示的情景下，測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，如圖，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，操控手站在坡度是坡面長(zhǎng)的斜坡的底部處遙控?zé)o人機(jī)，坡頂處的無(wú)人機(jī)以的速度，沿仰角的方向爬升，時(shí)到達(dá)空中的點(diǎn)處，求此時(shí)無(wú)人機(jī)離點(diǎn)所在地面的高度（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】無(wú)人機(jī)離點(diǎn)所在地面的高度大約為，見(jiàn)詳解．【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)題意可得，然后根據(jù)解直角三角形的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，，在中，．故此時(shí)無(wú)人機(jī)離點(diǎn)所在地面的高度大約為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可．19．關(guān)于三角函數(shù)有如下的公