河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第三章第3節(jié)一次函數(shù)的應(yīng)用

第三節(jié)一次函數(shù)的應(yīng)用【課標(biāo)要求】☆結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式．☆能用一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題．【教材對(duì)接】人教：八下第十九章P94～101；冀教：八下第二十一章P99～105；北師：八上第四章P89～96.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：(1)設(shè)定實(shí)際問題中的自變量與因變量；(2)通過列方程(組)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；(3)確定自變量的取值范圍；(4)利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；(5)檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義；(6)作答．2．常見的類型(1)文字型問題：從題干中提取兩組有關(guān)量(自變量和因變量)作為一次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出解析式．對(duì)于階梯收費(fèi)問題，注意選取的關(guān)系量應(yīng)是同一標(biāo)準(zhǔn)的．(2)表格型問題：分析表格中數(shù)據(jù)，從表格中提取兩組量求函數(shù)解析式．(3)圖象型問題：從函數(shù)圖象上找出兩點(diǎn)，找到其坐標(biāo)代入求解析式；若函數(shù)圖象為分段函數(shù)，注意要取同段函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，依此方法分別求各段函數(shù)圖象的解析式，最后不要忘記加上對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍．注意：①對(duì)于求方案問題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為：根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不等式，求解出某一件事物的取值范圍，再根據(jù)另一件事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．②方案選取問題：一般題中含有兩種函數(shù)解析式．a(chǎn)．根據(jù)解析式分類討論，比較兩個(gè)方案在不同取值下的最優(yōu)結(jié)果；b．根據(jù)題意列不等式求出自變量的取值范圍，然后選取符合題意的自變量的取值范圍，分別代入兩個(gè)一次函數(shù)解析式中比較，設(shè)計(jì)或選擇最優(yōu)方案．【方法點(diǎn)撥】求最值(最優(yōu)方案)問題，解法有兩種：(1)可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)行比較；(2)直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．顯然，第(2)種方法更簡單快捷．【基礎(chǔ)練】(1)隨著海拔的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y(g/m3)與大氣壓強(qiáng)x(kPa)成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)x＝36(kPa)時(shí)，y＝108(g/m3)，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝3x．(2)(2021·河北模擬)甲、乙施工隊(duì)分別從兩端修一段長度為380m的公路．在施工過程中，乙隊(duì)曾因技術(shù)改進(jìn)而停工一天，之后加快了施工進(jìn)度并與甲隊(duì)共同按期完成了修路任務(wù)．下表是根據(jù)每天工程進(jìn)度繪制而成的．施工時(shí)間/天123456789累計(jì)完成施工量/m3570105140160215270325380下列說法錯(cuò)誤的是(D)A.甲隊(duì)每天修路20mB.乙隊(duì)第一天修路15mC.乙隊(duì)技術(shù)改進(jìn)后每天修路35mD.前七天甲、乙兩隊(duì)修路長度相等eq\a\vs4\al(文字型問題)【例1】(2021·石家莊模擬)某旅游團(tuán)乘坐旅游中巴車以50km/h的速度勻速從甲地到相距200km的乙地旅游．行駛了80km時(shí)，車輛出現(xiàn)故障，與此同時(shí)，得知這個(gè)情況的乙地旅行社立刻派出客車以80km/h的速度前來接應(yīng)．相遇后，旅游團(tuán)用了18min從旅游中巴換乘到客車上，隨后以v(km/h)的速度勻速到達(dá)乙地．設(shè)旅游團(tuán)離開甲地的時(shí)間為x(h)，旅游中巴車距離乙地的路程為y1(km)，客車在遇到旅游團(tuán)前離開乙地的路程為y2(km).(1)若v＝80km/h，①y1與x的函數(shù)表達(dá)式為______________________________________________；②求y2與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；(2)設(shè)旅游團(tuán)從甲地到乙地所用的總時(shí)間為T(h)，求T(h)與v(km/h)的函數(shù)關(guān)系式(不寫v的取值范圍)；(3)旅游團(tuán)要求到達(dá)時(shí)間比按原來的旅游中巴正常到達(dá)乙地的時(shí)間最多晚1h，問客車返回乙地的車速至少為每小時(shí)多少千米？【解題思路】(1)①根據(jù)題意求出車輛出現(xiàn)故障時(shí)的x的值，列出y1與x的函數(shù)表達(dá)式即可；②求出客車到達(dá)故障地時(shí)x的值，列出y2與x的函數(shù)表達(dá)式即可；(2)旅游團(tuán)從甲地到乙地所用的總時(shí)間為T(h)＝車輛出現(xiàn)故障時(shí)的x的值＋18min＋客車到達(dá)故障地時(shí)x的值＋返回乙地的時(shí)間，列式化簡即可求解；(3)求出原來的旅游中巴正常到達(dá)乙地的時(shí)間，代入(2)中的函數(shù)關(guān)系式求解即可解答．【解答】解：(1)①y1＝200－50x(0≤x≤eq\f(8,5))；②eq\f(200－80,80)＝eq\f(3,2)(h)，即客車用eq\f(3,2)h到達(dá)故障地，∴x＝eq\f(8,5)＋eq\f(3,2)＝eq\f(31,10)(h).∴y2＝80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))＝80x－128(eq\f(8,5)≤x≤eq\f(31,10))即y2＝80x－128(eq\f(8,5)≤x≤eq\f(31,10))；(2)T＝eq\f(8,5)＋eq\f(3,2)＋eq\f(18,60)＋eq\f(200－80,v)＝eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)，即T＝eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)；(3)原來的旅游中巴正常到達(dá)乙地的時(shí)間為200÷50＝4(h)，則現(xiàn)在最多用4＋1＝5(h)，當(dāng)T＝5時(shí)，eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)＝5.解得v＝75.答：客車返回乙地的車速至少為每小時(shí)75km.1．(2021·保定順平縣一模)學(xué)校計(jì)劃拿出一筆錢給一些班級(jí)配置籃球和排球．若給每班1個(gè)籃球和2個(gè)排球，花完這筆錢剛好配置30個(gè)班；若給每班2個(gè)籃球和1個(gè)排球，花完這筆錢剛好配置20個(gè)班．設(shè)每個(gè)籃球a元，每個(gè)排球b元．(1)用含b的代數(shù)式表示a；(2)現(xiàn)在給每班x個(gè)籃球和y個(gè)排球，花完這筆錢剛好配置10個(gè)班．①求y與x的函數(shù)解析式；②怎樣的配置方案，可以使每班配置的排球最少？解：(1)由題意，得30(a＋2b)＝20(2a＋b).化簡，得a＝4b；(2)①由題意，得30(a＋2b)＝10(xa＋yb)[或20(2a＋b)＝10(xa＋yb)].把a(bǔ)＝4b代入上式，化簡得y＝－4x＋18；②∵y＝－4x＋18，－4＜0，∴y隨x的增大而減?。謝，y都是正整數(shù)，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y最?。?.∴給每個(gè)班4個(gè)籃球和2個(gè)排球，可以使每班配置的排球最少．eq\a\vs4\al(表格型問題)【例2】(2021·石家莊一模)某市在全體居民居家封閉期間，需從甲、乙兩家超市緊急調(diào)配生鮮食品供應(yīng)A，B兩個(gè)小區(qū)．已知甲、乙超市現(xiàn)存生鮮食品分別是200kg和300kg，A，B兩個(gè)小區(qū)分別急需生鮮食品240kg和260kg，所需配送費(fèi)如下表中的數(shù)據(jù)．設(shè)從乙超市送往A小區(qū)的生鮮食品為xkg.配送費(fèi)/(元/kg)A小區(qū)B小區(qū)甲超市0.20.25乙超市0.150.18(1)甲超市送往B小區(qū)的生鮮食品為________kg(用含x的式子表示)；(2)求當(dāng)甲、乙兩個(gè)超市配送費(fèi)相等時(shí)，x的值；(3)設(shè)甲、乙兩個(gè)超市的總配送費(fèi)是y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【解題思路】(1)從乙超市送往A小區(qū)的生鮮食品為xkg，A小區(qū)急需生鮮食品240kg，可得甲超市運(yùn)往A小區(qū)的生鮮食品是(240－x)kg，則甲超市運(yùn)往B小區(qū)的生鮮食品是[200－(240－x)]kg；(2)分別用x的代數(shù)式表示甲、乙兩個(gè)超市的配送費(fèi)，列方程即可解得x的值；(3)根據(jù)(2)列出的方程，由配送的生鮮食品質(zhì)量為非負(fù)數(shù)即可得自變量的取值范圍．【解答】解：(1)(x－40)；(2)當(dāng)甲、乙兩個(gè)超市配送費(fèi)相等時(shí)，列方程，得0．2(240－x)＋0.25(x－40)＝0.15x＋0.18(300－x).解得x＝200.∴當(dāng)甲、乙兩個(gè)超市配送費(fèi)相等時(shí)，x的值是200；(3)由(2)，得y＝0.2(240－x)＋0.25(x－40)＋0.15x＋0.18(300－x)，化簡，得y＝0.02x＋92.∵配送的生鮮食品質(zhì)量為非負(fù)數(shù)，∴自變量x的取值范圍是40≤x≤240.∴y＝0.02x＋92(40≤x≤240).2．某超市雞蛋供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)雞蛋1200kg.超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋，已知甲養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出800kg，乙養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出900kg，從甲、乙兩養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋到該超市的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：到超市的路程/km運(yùn)費(fèi)/(元/kg·km)甲養(yǎng)殖場2000.012乙養(yǎng)殖場1400.015設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋xkg，總運(yùn)費(fèi)為W元．(1)試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最??？解：(1)由題可得，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了(1200－x)kg雞蛋．根據(jù)題意，解得300≤x≤800.總運(yùn)費(fèi)W＝200×0.012x＋140×0.015×(1200－x)＝0.3x＋2520(300≤x≤800)；(2)∵W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝300時(shí)，W最?。?.3×300＋2520＝2610(元).答：每天從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)300kg雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)900kg雞蛋，總運(yùn)費(fèi)最省為2610元．eq\a\vs4\al(圖象型問題)【例3】隨著“低碳環(huán)保，綠色出行”的理念深入人心，越來越多的人選擇自行車作為出行工具．小軍和爸爸同時(shí)騎車去圖書館，爸爸先以150m/min的速度騎行一段時(shí)間，休息了5min，再以mm/min的速度到達(dá)圖書館．小軍始終以同一速度騎行，兩人騎行的路程y(m)與時(shí)間x(min)的關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象，解答下列問題：(1)填空：a＝________，b＝________，m＝________；(2)求線段BC所在直線的解析式；(3)若小軍的速度是120m/min，求小軍第二次與爸爸相遇時(shí)距圖書館的距離．【解題思路】(1)根據(jù)爸爸的速度和行駛的路程可求出a的值，然后用a＋5即可得到b的值，利用路程除以時(shí)間即可得出m的值；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和圖象中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求得線段BC所在直線的解析式；(3)由題意得出直線OD的解析式，與直線BC的解析式聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用總路程減去交點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得出答案．【解答】解：(1)10；15；200；[由圖象可得，a＝1500÷150＝10，b＝10＋5＝15，m＝(3000－1500)÷(22.5－15)＝1500÷7.5＝200.](2)設(shè)線段BC所在直線的解析式為y＝kx＋c.將點(diǎn)B(15，1500)，C(22.5，3000)代入上式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋c＝1500，22.5k＋c＝3000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝200，c＝－1500.))∴線段BC所在直線的解析式為y＝200x－1500；(3)∵小軍的速度是120m/min，∴線段OD所在直線的解析式為y＝120x.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝120x，y＝200x－1500.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18.75，y＝2250.))∴3000－120×18.75＝750(m).∴小軍第二次與爸爸相遇時(shí)距圖書館的距離是750m．3．(2021·石家莊模擬)甲、乙兩個(gè)草莓采摘園為吸引顧客，在草莓銷售價(jià)格相同的基礎(chǔ)上分別推出優(yōu)惠方案：甲園：顧客進(jìn)園需購買門票，采摘的草莓按六折優(yōu)惠．乙園：顧客進(jìn)園免門票，采摘草莓超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售．活動(dòng)期間，某顧客的草莓采摘量為xkg，若在甲園采摘需總費(fèi)用y1元，若在乙園采摘需總費(fèi)用y2元．y1，y2與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是(D)A.甲園的門票費(fèi)用是60元B.草莓優(yōu)惠前的銷售價(jià)格是40元/kgC.乙園超過5kg后，超過的部分價(jià)格優(yōu)惠是打五折D.若顧客采摘12kg草莓，那么到甲園或乙園的總費(fèi)用相同4．(2021·邯鄲模擬)甲、乙兩地間有一條高速公路．一輛小轎車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，同時(shí)一輛貨車從乙地出發(fā)勻速開往甲地．設(shè)貨車行駛的時(shí)間為x(h)，圖中的折線表示貨車與小轎車之間的距離y(km)與x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象回答下列問題．(1)甲、乙兩地之間的距離為________km，小轎車的速度為________km/h；(2)求兩車相遇后y(km)與x(h)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求貨車出發(fā)多長時(shí)間時(shí)，兩輛車之間的距離為675km.解：(1)900；150；(2)貨車的速度為900÷12＝75(km/h).則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為900÷(150＋75)＝4，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0).則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為(150＋75)×(6－4)＝450，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，450).設(shè)BC段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則即BC段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝225x－900.設(shè)CD段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝mx＋n，則即CD段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝75x.綜上可得，兩車相遇后y(km)與x(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是(3)設(shè)貨車出發(fā)th時(shí)，兩輛車之間的距離為675km.相遇前：900－675＝(75＋150)t，解得t＝1；相遇后：75t＝675，解得t＝9.∴貨車出發(fā)1h或9h時(shí)，兩輛車之間的距離為675km.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(5年3考)1．(2019·河北中考)長為300m的春游隊(duì)伍，以v(m/s)的速度向東行進(jìn)．如圖1和圖2，當(dāng)隊(duì)伍排尾行進(jìn)到位置O時(shí)，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v(m/s)，當(dāng)甲返回排尾后，他及隊(duì)伍均停止行進(jìn)．設(shè)排尾從位置O開始行進(jìn)的時(shí)間為t(s)，排頭與O的距離為S頭(m).(1)當(dāng)v＝2時(shí)，解答：①求S頭與t的函數(shù)關(guān)系式(不寫t的取值范圍)；②當(dāng)甲趕到排頭位置時(shí)，求S頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為S甲(m)，求S甲與t的函數(shù)關(guān)系式(不寫t的取值范圍)；(2)設(shè)甲這次往返隊(duì)伍的總時(shí)間為T(s)，求T與v的函數(shù)關(guān)系式(不寫v的取值范圍)，并寫出隊(duì)伍在此過程中行進(jìn)的路程．解：(1)①排頭走的路程為2tm，則S頭＝2t＋300；②甲從排尾趕到排頭時(shí)，有4t＝2t＋300.解得t＝150.此時(shí)，S頭＝2×150＋300＝600.甲從排頭返回的時(shí)間為(t－150)s，則S甲＝600－4(t－150)＝－4t＋1200；(2)設(shè)甲從排尾趕到排頭用時(shí)為t1(s)，則2vt1＝vt1＋300.∴t1＝eq\f(300,v).設(shè)甲返回到排尾用時(shí)為t2(s)，則t2＝eq\f(300,2v＋v)＝eq\f(100,v).∴T＝t1＋t2＝eq\f(400,v).∴隊(duì)伍行進(jìn)的路程是Tv＝eq\f(400,v)·v＝400(m).2．(2020·河北中考)用承重指數(shù)W衡量水平放置的長方體木板的最大承重量．實(shí)驗(yàn)室有一些同材質(zhì)同長同寬而厚度不一的木板，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：木板承重指數(shù)W與木板厚度x(cm)的平方成正比，當(dāng)x＝3時(shí)，W＝3.(1)求W與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，選一塊厚度為6cm的木板，把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同的兩塊板(不計(jì)分割損耗).設(shè)薄板的厚度為x(cm)，Q＝W厚－W?。偾驫與x的函數(shù)關(guān)系式；②x為何值時(shí)，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必寫x的取值范圍]解：(1)由題意，可設(shè)W＝ax2.當(dāng)x＝3時(shí)，W＝9a＝3.∴a＝eq\f(1,3).∴W與x的函數(shù)關(guān)系式為W＝eq\f(1,3)x2；(2)①由(1)可得Q＝W厚－W薄＝eq\f(1,3)(6－x)2－eq\f(1,3)x2＝eq\f(1,3)(x2－12x＋36－x2)＝－4x＋12，即Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q＝－4x＋12；②由題意，得－4x＋12＝3×eq\f(1,3)x2.解得x1＝2，x2＝－6(舍去).∴當(dāng)x＝2時(shí)，Q是W薄的3倍．3．(2021