函數(shù)的單調(diào)性

德陽馬會五中高一數(shù)學組問題提出德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：

以上數(shù)據(jù)表明，記憶量是時間的函數(shù)。艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯曲線”。時間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8-9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1思考1:

當時間間隔t逐漸增大你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢？

減?。?/p>

通過這個試驗，你打算今后如何對待剛學過的知識?思考2:

“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的。對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋？tyo20406080100123艾賓浩斯曲線

觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、你能說出這三個圖象各自的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？畫出函數(shù)f(x)=x的圖象，觀察其變化規(guī)律：

1、從左至右圖象上升還是下降

?

2、在區(qū)間

________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

______．(-∞,+∞)增大上升1、在區(qū)間

____上，f(x)的值隨著x的增大而

______．2、在區(qū)間

_____上，f(x)的值隨著x的增大而

_____．

(-∞,0][0,+∞)增大減小畫出函數(shù)f(x)=x2的圖象，觀察其變化規(guī)律：

如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2來描述圖象這種變化規(guī)律?

函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù)。Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖像？如何用x與f(x)來描述下降的圖像？

函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。Oxy一、函數(shù)單調(diào)性定義

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

1．增函數(shù)一、函數(shù)單調(diào)性定義

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．

2．減函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間定義

練習：分別畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)它們的圖象指出其單調(diào)區(qū)間。（1）y=2x+1（2）y=(x-1)2-1（3）y=

（4）y=2yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOx增區(qū)間為增區(qū)間為減區(qū)間為減區(qū)間為(4)y=2無單調(diào)性O(shè)yx

1、函數(shù)的單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的一個局部性質(zhì)；特別提醒：

2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數(shù)和減函數(shù).判斷：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)嗎?yxO12f(1)f(2)例如：y=x在整個定義域(-∞,+∞)

上單調(diào)遞增;y=x2在[0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0]單調(diào)遞減.思考？★反比例函數(shù)y=的定義域是什么？★它在定義域上的單調(diào)性怎樣？

★請結(jié)合圖象說出一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)yox當k<0時,yox當k>0時,yox當a>0時,yox當a<0時,例1下圖是定義在閉區(qū)間[-5,6]上的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間,以及在每一區(qū)間上,是增函數(shù)還是減函數(shù).-5-3136oxy解：根據(jù)函數(shù)圖象可知[-2,1),[3,6]上是增函數(shù)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，6],其中在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間注意：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，不存在單調(diào)性問題。例2：證明函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)．證：在R上任意取兩個值，且，∵∴

∴

即∴在R上是單調(diào)減函數(shù)．取值作差變形定號判斷則解題感悟一、利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1、任取x1，x2∈D，且x1<x2；2、作差f(x1)－f(x2)；3、變形（通常是因式分解和配方）；4、定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；5、下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．二、通常判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法是：1、圖像法；2、定義法．例3證明函數(shù)上是減函數(shù).課堂小結(jié)：

3.函數(shù)的單調(diào)性的證明方法—定義法（五步）。

①取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2；

②作差:f(x1)－f(x2)；

③變形:

④定號:判斷差f(x1)－f(x2)的正負；

⑤