2023-2024學(xué)年福建省連城縣高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省連城縣高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．2．下列選項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是（）A．與B．C．；D．.3．若集合,則能使成立的所有組成的集合為（

）A． B． C． D．4．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B．C．或 D．6．定義集合運(yùn)算，若，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．14 B．0 C．31 D．327．已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．一只螞蟻從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著正方形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)，假設(shè)螞蟻運(yùn)動(dòng)過程中的速度大小不變，則螞蟻與點(diǎn)的距離隨時(shí)間變化的大致圖象為（

）A． B．C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．10．下列命題中的真命題有（）A．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為8B．的最小值為2C．當(dāng)時(shí)，的最大值是5D．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為311．下列命題的否定是假命題的有（）A．B．所有的正方形都是矩形C．D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使12．已知函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時(shí)，，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù).14．連城一中開展小組合作學(xué)習(xí)模式，高一（10）班某組甲同學(xué)給組內(nèi)乙同學(xué)出題如下:若命題“，”是假命題，求m的取值范圍.乙同學(xué)略加思索，給了甲同學(xué)一道題:若命題“，”是真命題，求m的取值范圍.你認(rèn)為兩名同學(xué)題中m的取值范圍是否一致?.（填“是”或“否”），m的取值范圍為.15．是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍16．已知函數(shù)，則的最小值為．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知集合，(1)若，求實(shí)數(shù)的值(2)若集合，且，求18．已知集合，集合．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得是的必要不充分條件？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．20．已知福州地鐵號(hào)線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵的載客量與發(fā)車的時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人，記地鐵的載客量為.(1)求的表達(dá)式，并求發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問：當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？21．已知函數(shù)，，．

（1）在圖中畫出函數(shù)，的圖象；（2）定義：，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用圖象法和解析式法表示函數(shù)．（注：圖象法請(qǐng)?jiān)趫D中表示，本題中的單位長(zhǎng)度請(qǐng)自己定義且標(biāo)明）22．已知二次函數(shù).（1）若的解集為，解關(guān)于的不等式.（2）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值.（3）已知，，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.1．B【詳解】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2．D【詳解】根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域判斷．【分析】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，而定義域?yàn)镽，故二者不是同一函數(shù)；對(duì)于B.定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，∵定義域不同，與不是同一函數(shù).對(duì)于C，定義域?yàn)镽，定義域?yàn)椋叨x域不同，與不是同一函數(shù).對(duì)于D，，與定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，與是同一函數(shù).

故選：D3．C【分析】考慮和兩種情況,得到不等式組,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),即,時(shí)成立;當(dāng)時(shí),滿足,解得;綜上所述:.故選:C.4．B【分析】根據(jù)基本不等式直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為故選：B5．A【分析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】解不等式，即，解得或，則不等式的解集為或，對(duì)于A，顯然，即是不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，A是；對(duì)于B，D，集合，都不是集合的子集，BD不是；對(duì)于C，或，或是不等式成立的充要條件，C不是.故選：A6．D【分析】列舉出滿足條件的元素a，b并求出其和，據(jù)互異性，即可得出新集合的元素個(gè)數(shù)，進(jìn)一步求出其子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所以，可知集合中共?個(gè)元素，所以集合的所有子集的個(gè)數(shù)為.故選：D.7．C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)楹愠闪?，可得，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8．A【分析】設(shè)螞蟻的速度為，正方形的邊長(zhǎng)為，則，分別求出螞蟻位于線段、、，時(shí)，關(guān)于的表達(dá)式，利用排除法即可求解.【詳解】設(shè)螞蟻的速度為，正方形的邊長(zhǎng)為，則，當(dāng)螞蟻位于線段上，即時(shí)，，其圖象為線段；當(dāng)螞蟻位于線段上，即時(shí)，，其圖象為曲線；當(dāng)螞蟻位于線段上，即時(shí)，，其圖象為曲線；當(dāng)螞蟻位于線段上，即時(shí)，，其圖象為線段；結(jié)合選項(xiàng)可知：選項(xiàng)A符合題意，故選：A.9．ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)、特殊值法和作差法判斷可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；令、，，，滿足，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕?，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．AC【分析】對(duì)于A、C、D利用基本不等式分析判斷；對(duì)于B由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，則，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，即當(dāng)時(shí)，取到最小值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)檎龜?shù)x，y為實(shí)數(shù)，，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ABD【分析】根據(jù)命題與命題的否定的真假性相反逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可知選項(xiàng)A為真命題，所以命題的否定是假命題，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樗械恼叫味际蔷匦?，可知選項(xiàng)B為真命題，所以命題的否定是假命題，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知選項(xiàng)C為假命題，所以命題的否定是真命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則，可知選項(xiàng)D為真命題，所以命題的否定是假命題，故D正確.故選：ABD．12．ABD【分析】對(duì)于A，利用賦值法求得，從而得以判斷；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于C，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得式子的值，由此得以判斷；對(duì)于D，先求得，再將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，得，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以，任取，且，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以由得，故，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于解含抽象函數(shù)的不等式問題，一般先利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得其在定義域上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.13．由已知及可得，則或，分別解出得值，再檢驗(yàn)集合、滿足互異性即可.【詳解】由已知及可得，所以或，當(dāng)即時(shí)，此時(shí)不滿足元素互異性，不符合題意，當(dāng)即或，若則不滿足元素互異性，不符合題意，若則，，滿足，符合題意.所以實(shí)數(shù)，故答案為.14．是【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即可得結(jié)果；再利用一元二次不等式恒成立，列式求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“，”的否定是“，”，而命題“，”是假命題，則其否定“，”為真命題，所以兩名同學(xué)題中m的取值范圍是一致的；依題意，，所以m的取值范圍為.故是；15．【分析】先使在和上遞減，再使處，解得范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，減區(qū)間為所以時(shí)在遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)在遞減，所以；另外，在處，即，所以；綜上，.故答案為.本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.16．1【分析】畫出的圖象后可求其最小值.【詳解】的圖象如圖所示，故的最小值為1，故1.17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)是方程的根，代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)是和的根，代值求得，再求得集合以及其并集即可.【詳解】（1）因?yàn)?，故可得，解?故實(shí)數(shù)的值為.（2）因?yàn)?，故是方程的根，則，解得，此時(shí)，即，解得或，故；又是方程的根，則，解得，此時(shí)，即，解得或，故；故.18．(1)或；(2)存在，.【分析】（1）化簡(jiǎn)集合N，求出其補(bǔ)集，由列出不等式組求解即可；（2）根據(jù)必要不充分條件轉(zhuǎn)化為，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意，，所以或，因?yàn)?，所以或，解得或，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是或.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得是的必要不充分條件，則，即，則，解得，故存在實(shí)數(shù)使得是的必要不充分條件.19．(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化即可得解集.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，理由如下：任取，，且，．因?yàn)椋?，，，所以，即，可得，所以在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋?，由?）得在上單調(diào)速增，因?yàn)?，所以，即，解得：或，所以?shí)數(shù)x的取值范圍是.20．(1)，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為人.(2)當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由可求出的值，結(jié)合已知條件可得出函數(shù)的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求得的值；（2）分、兩種情況討論，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，利用基本不等式以及函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得.由題意可得.所以，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為（人）.（2）解：當(dāng)時(shí)，（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.21．（1）圖象見解析；（2）；圖象見解析.【分析】（1）由一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象特征可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義可分段討論得到解析式；由解析式可得圖象.【詳解】（1），的圖象如下圖所示：

（2）當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所述.圖象如