2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第二次階段學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第二次階段學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知全集，集合，那么陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．已知一個扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（

）A． B． C． D．24．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角終邊上一點的坐標(biāo)為，則（

）A． B．1 C． D．5．下列選項中，是“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件的是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．7．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，均在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．8．我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇.在室內(nèi)二氧化碳含量的多少也會對人體健康帶來影響.下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應(yīng)的關(guān)系：室內(nèi)二氧化碳濃度（單位：）人體生理反應(yīng)不高于1000空氣清新，呼吸順暢空氣渾濁，覺得昏昏欲睡感覺頭痛，嗜睡，呆滯，注意力無法集中大于5000可能導(dǎo)致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死亡《室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《公共場所衛(wèi)生檢驗辦法》給出了室內(nèi)二氧化碳濃度的國家標(biāo)準(zhǔn)為：室內(nèi)二氧化碳濃度不大于即為，所以室內(nèi)要經(jīng)常通風(fēng)換氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標(biāo)準(zhǔn)值.經(jīng)測定，某中學(xué)剛下課時，一個教室內(nèi)二氧化碳濃度為，若開窗通風(fēng)后二氧化碳濃度與經(jīng)過時間（單位：分鐘）的關(guān)系式為，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要開窗通風(fēng)時間至少約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8分鐘 B．9分鐘 C．10分鐘 D．11分鐘二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．下列命題中為真命題的是（

）A．函數(shù)與不表示同一個函數(shù)B．“”的充要條件是C．不等式的解集為D．若，，且滿足，則的最小值為11．關(guān)于函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有4個零點 D．的最大值為212．已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對于任意的實數(shù)恒成立，則稱是回旋函數(shù).給出下列四個命題，正確的命題是（

）A．函數(shù)（其中為常數(shù)，為回旋函數(shù)的充要條件是B．函數(shù)是回旋函數(shù)C．若函數(shù)為回旋函數(shù)，則D．函數(shù)是的回旋函數(shù)，則在上至少有1011個零點三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．計算：=.14．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值范圍是.15．已知，，若，則．16．已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，，則=.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.(1)當(dāng)時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍.18．已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.19．已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，不等式恒成立；求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，求的最大值.20．已知函數(shù)在時的最大值為1.(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)求使成立的的取值集合.21．隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，醫(yī)療消費需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.寧波醫(yī)療公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為80臺.每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤時多少？22．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)令函數(shù)，若在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)令函數(shù)，若對，，都有，求實數(shù)的取值范圍.1．D【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定是“”.故選：D2．A【分析】根據(jù)韋恩圖知陰影部分為，結(jié)合集合交集、補集的運算求集合即可.【詳解】由題圖，陰影部分為，而或，且，所以.故選：A3．D【分析】根據(jù)扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時的扇形半徑和弧長，利用弧度數(shù)公式即可求出圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，則圓心角，故選：D.4．D【分析】計算得到點的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義計算得到答案．【詳解】，即，則．故選：D．5．A【分析】根據(jù)不等式恒成立的條件及其必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】令，其圖象開口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分條件，選項,,則是的充要條件，選項,,則是的充分不必要條件，選項,,則是的充分不必要條件.故選：A.6．C【分析】利用正切型函數(shù)的對稱性可得出的表達(dá)式，再利用正切型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，所以，，可得，，則，故函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，可知函數(shù)的一個最小正周期為.故選：C.7．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等知識確定正確答案.【詳解】由于，在上單調(diào)遞增，所以，A選項錯誤.，在上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞增，所以，B選項正確.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，C選項錯誤.是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，由于在上單調(diào)遞增，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B8．C【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)時，，可得，則，由，可得，故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要開窗通風(fēng)時間至少約為分鐘.故選：C.9．AD【分析】對兩邊平方得，結(jié)合的范圍得到，AD正確；結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到正弦和余弦值，進(jìn)而求出正切值，BC錯誤.【詳解】，兩邊平方得：，解得：，D正確；故異號，因為，所以，A正確；因為，結(jié)合，得到，解得：，故，BC錯誤.故選：AD10．ABD【分析】選項A：函數(shù)定義域不同，進(jìn)而判斷函數(shù)不同即可；選項B：分析集合間的關(guān)系判斷；選項C：對進(jìn)行分類討論進(jìn)行判斷；選項D：將變形為：，然后利用1的代換，根據(jù)基本不等式求解；【詳解】選項A:，定義域為,定義域不同，不表示同一函數(shù)，選項正確；’選項B：即，即，兩者等價，故“”的充要條件是，選項正確；選項C：，當(dāng)時，無解；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為，選項錯誤；選項D：若，，且滿足，所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)即且時取等號，選項正確；故選:ABD11．BD【分析】選項A：舉反例說明；選項B：，，將函數(shù)化簡成然后判斷分析；選項C：將函數(shù)表示成然后分段判斷；選項D：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；【詳解】選項A：令，，選項錯誤；選項B：，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，選項正確；選項C：當(dāng)，令得解得：當(dāng)，令得解得：或所以函數(shù)在有3個零點，選項錯誤；選項D：因為所以又所以的最大值為2,選項正確；故選：BD.12．ACD【分析】A選項，得到，從而得到充要條件是；B選項，得到，不存在符合題意；C選項，化簡得到有解，則；D選項，賦值法結(jié)合零點存在性定理得到在區(qū)間上均至少有一個零點，得到在上至少有1011個零點.【詳解】函數(shù)（其中a為常數(shù)，）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，當(dāng)時，對于任意的實數(shù)x恒成立，若對任意實數(shù)x恒成立，則，解得：，故函數(shù)（其中a為常數(shù)，）為回旋函數(shù)的充要條件是，A正確；是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，不存在，使得，故B錯誤；在R上為連續(xù)函數(shù)，且，要想函數(shù)為回旋函數(shù)，則有解，則，C正確；由題意得：，令得：，所以與異號，或，當(dāng)時，由零點存在性定理得：在上至少存在一個零點，同理可得：在區(qū)間上均至少有一個零點，所以在上至少有1011個零點，當(dāng)時，有，所以在上至少有1011個零點，D正確.故選：ACD13．10【分析】由指數(shù)冪與對數(shù)的運算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由指數(shù)冪與對數(shù)的運算公式，可得：原式本題主要考查了指數(shù)冪與對數(shù)的運算及性質(zhì)，其中解答中熟記指數(shù)冪與對數(shù)的運算公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合零點存在性定理得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，，所以只需或，解得：，故實數(shù)的取值范圍是.故15．【詳解】因為,所以,又因為,所以,所以===,又因為,所以β=.16．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的已知關(guān)系可得，即有，結(jié)合時，有時，且，即可求的值.【詳解】由，即有，由，即有，∴，即的周期為2，則，而，即，若令，則，當(dāng)時，知：，結(jié)合，∴時，，∴，故答案為.本題考查了利用函數(shù)的周期性及已知區(qū)間的解析式求函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)出函數(shù)的周期，并由已知區(qū)間解析式求目標(biāo)區(qū)間解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.17．(1)或(2)答案見解析【分析】（1）利用集合的交并補運算即可得解；（2）選①③，利用集合的基本運算，結(jié)合數(shù)軸法即可得解；選②，由充分不必要條件推得集合的包含關(guān)系，再結(jié)合數(shù)軸法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，而，所以，則或.（2）選①：因為，所以，當(dāng)時，則，即，滿足，則；當(dāng)時，，由得，解得；綜上：或，即實數(shù)的取值范圍為；選②：因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，當(dāng)時，則，即，滿足題意，則；當(dāng)時，，則，且不能同時取等號，解得；綜上：或，即實數(shù)的取值范圍為；選③：因為，所以當(dāng)時，則，即，滿足，則；當(dāng)時，，由得或，解得或，又，所以或；綜上：或，實數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可得解；（2）找出已知角和所求角得關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式化簡即可得解.【詳解】（1），由，得，所以；（2）由，得，則.19．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，再根據(jù)結(jié)合系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）化簡可得，再根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求最小值即可；（3）求得，再根據(jù)對稱軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系求最大值分析即可【詳解】（1）由于是二次函數(shù)，可設(shè)，恒成立，恒成立，，又，

；（2）當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，.所以；（3），，對稱軸為，①當(dāng)，即時，；②當(dāng)，即時，，綜上所述20．(1)(2)(3)【分析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡解析式，再根據(jù)最大值求；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定區(qū)間；（3）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的取值集合.【詳解】（1）；因為，所以，所以當(dāng)時，有最大值，所以，所以.（2），令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3），即，所以，所以，解得，所以使成立的的取值集合是.21．(1)(2)年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元【分析】（1）分和兩種情況下，結(jié)合投入成本的解析式求出的解析式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分與，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，基本不等式，求出兩種情況下的最大值，得到答案.【詳解】（1）由該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，投入成本萬元，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時，，故當(dāng)時，最大，最大值為1500；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，綜上可得，年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為1600萬元22．(1)證明見解析；(2)；(3)；【分析】（1）由是奇函數(shù)，可知，，進(jìn)而列出關(guān)系式，求出，即可得到函數(shù)的解析式，然后利用定義法，可判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）由函數(shù)在上有兩個零點，整理得方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，進(jìn)而可得到，求解即可；（3）由對任意的，都有恒成立，可得，求出，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】（1），且是奇函數(shù)，，，解得，．檢驗，有解析式可知，定義域，關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù)，滿足要求；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，，且，，，∴，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.同理可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）函數(shù)在上有兩個零點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，所以在上有兩個不相等的實數(shù)根，則，