2023-2024學(xué)年四川省廣安市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省廣安市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一個是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則的子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】化簡集合，求出，寫出其所有子集，可得答案.【詳解】由得，所以，所以，其子集有，，，，共4個.故選：B2.已知為第二象限角，且,則的值為A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先求，再求的值.【詳解】是第二象限角，，.故選：A本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，重點(diǎn)考查基本公式和基本計(jì)算，屬于簡單題型.3.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意構(gòu)造，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】由，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即、時(shí)等號成立，所以的最小值為．故選：．4.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小．【詳解】；；．故．故選A．利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】解不等式求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由”可知，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知且，解得，綜上當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的充要條件，故選：C6.設(shè)函數(shù)（其中a，b，α，β為非零實(shí)數(shù)），若，則的值是（）A.5 B.3 C.1 D.不能確定【正確答案】A【分析】代入自變量的值，利用誘導(dǎo)公式求解．【詳解】由題意，即，，．故選：A．7.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，且，任取、且，則，，則，所以，，即，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，所以，，即.故選：A.方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.8.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，無解，此時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)為增函數(shù)，且可得函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，無解，此時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且.令，得，即，令，則函數(shù)的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，考查了根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，漏選的得2分，錯選的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.是第三象限角B.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C.若角的終邊上有一點(diǎn)，則D.若角為銳角，則角為鈍角【正確答案】BC【分析】A中，由象限角的定義即可判斷；B中，由弧長公式先求出半徑，再由扇形面積公式即可；C中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷；D中，取即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A中，，是第二象限角，故A錯誤；選項(xiàng)B中，設(shè)該扇形的半徑為，則，∴，∴，故B正確；選項(xiàng)C中，，，故C正確；選項(xiàng)D中，取，則是銳角，但不是鈍角，故D錯誤．故選：BC．10.若，，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】對于A選項(xiàng)：由已知得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于B選項(xiàng)：由已知得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于C選項(xiàng)：由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)運(yùn)算可判斷；對于D選項(xiàng)：運(yùn)用作差比較法，可判斷．【詳解】對于A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，又，所以，故A正確；對于B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，所以，故B不正確；對于C選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，又，所以，故C不正確；對于D選項(xiàng)：，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故D正確，故選：AD．11.（多選題）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，以下命題錯誤的是（）．A.當(dāng)時(shí)， B.函數(shù)與軸有4個交點(diǎn)C.的解集為 D.的單調(diào)減區(qū)間是【正確答案】ABD【分析】對選項(xiàng)A，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A錯誤，對選項(xiàng)B，分類討論和即可判斷B錯誤，對選項(xiàng)C，首先分類討論解不等式，再利用函數(shù)平移即可判斷C正確，對選項(xiàng)D，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可判斷D錯誤.【詳解】對選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，所以.故A錯誤.對選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，令，得，解得或.又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，也有兩個零點(diǎn).又因?yàn)椋院瘮?shù)共有個零點(diǎn)，故B錯誤.對選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，即，解得.當(dāng)時(shí)，，即，解得或.又因?yàn)橄蛴移揭埔粋€單位得到，所以的解集為，故C正確.對選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，，為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，，為減函數(shù).故的減區(qū)間為，，故D錯誤.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)，同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分類討論的思想，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，若方程有四個不同的實(shí)根，，，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，可知，即可得到，的關(guān)系，由，是方程的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系可得，的關(guān)系，由此即可判斷出正確選項(xiàng).【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，方程有四個不同的實(shí)根，即函數(shù)與有四個不同的交點(diǎn)，如圖所示：依題意，且，所以，即，所以，即，所以，所以，故選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；又，是方程的兩根，即，是方程的兩根，所以，，因?yàn)榉匠逃兴膫€不同的實(shí)根，所以由圖可知，所以，故選項(xiàng)C，選項(xiàng)D均正確．故選：BCD.本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時(shí)考查含有絕對值的對數(shù)型函數(shù)的圖象變換及函數(shù)與方程思想，對于方程根的個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合的思想解決．三、填空題（每小題5分，共20分）13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.【正確答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可求出結(jié)果.【詳解】由得或，即函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，且在上為增函?shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：容易忽視函數(shù)的定義域?qū)е洛e誤.14.已知，函數(shù)若，則___________.【正確答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.詳解】，故，故2.15.已知函數(shù)函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由解得結(jié)果即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上單調(diào)函數(shù)，所以，解得.故答案為.解決分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需考慮函數(shù)在每一段區(qū)間上的單調(diào)性，還需考慮函數(shù)在各區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系.16.若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)__________【正確答案】【分析】先由不等式的解得到對應(yīng)方程的根，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合解得參數(shù)a即可.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，則方程的兩根為，則，則由，得，即，故.故答案為.四、解答題（共6小題，共70分）17.求值：（1）；（2）.【正確答案】（1）2；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】（1）原式；（2）原式=18.（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求原式為關(guān)于的式子，再把已知代入即得；（2）先求平方，利用已知再求【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，．本題主要考查同角的商數(shù)關(guān)系，考查三角化簡求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函數(shù)奇函數(shù)，且（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）利用“函數(shù)單調(diào)性的定義”判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并求在該區(qū)間上的最值．【正確答案】（1）；；（2）單調(diào)遞增；，.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的關(guān)系建立方程即可求實(shí)數(shù)和的值；（2）利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，即取值，作差，變形，定號，下結(jié)論，再利用單調(diào)性即可求最值.【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，∴，∴.所以，解得：，又，∴，解得.∴實(shí)數(shù)和的值分別是和.（2）由（1）知.任取，且，則，∵，∴，，，∴，即，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，.方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值---作差----變形----定號----下結(jié)論.20.倡導(dǎo)環(huán)保意識、生態(tài)意識，構(gòu)建全社會共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的主流文化．某化工企業(yè)探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良后排放的廢氣中含有污染物數(shù)量為，設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含的污染物數(shù)量為，則第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù)．（1）試求和改良后的函數(shù)模型；（2）依據(jù)國家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過．試問：至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)？(參考數(shù)據(jù)：取)【正確答案】（1），（2）次【分析】（1）將，代入函數(shù)模型即可求得，進(jìn)而整理得到；（2）由得，左右同時(shí)取對數(shù)后，結(jié)合換底公式、對數(shù)運(yùn)算法則解不等式即可求得的最小值，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，，則改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為．【小問2詳解】由題意可得：，整理得：，，即，又，，即至少進(jìn)行次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)．21.已知函數(shù)f（x）＝|1|，實(shí)數(shù)a、b滿足a＜b.（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；（2）若函數(shù)在區(qū)間[a、b]上的值域?yàn)閇，3]，求a+b的值；（3）若函數(shù)f（x）的定義域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）圖象見解析（2）1（3）【分析】（1）先作出函數(shù)的圖象，再利用圖象的翻折變換，即可作出函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的圖象，確定函數(shù)值為的自變量的值，即可得到區(qū)間，；（3）利用定義域和值域的，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，由此構(gòu)造在區(qū)間，上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，利用根的分布列出不等式組，求解即可．【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，先作出函數(shù)的圖象，然后再利用圖象變換作出函數(shù)的圖象如圖所示，；【小問2詳解】解：由，解得，由，解得，由上圖可知，只在第一象限內(nèi)，所以，所以；【小問3詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，，且，值域?yàn)?，，所以，在的增區(qū)間內(nèi)，所以在，上單調(diào)遞增，故，即，所以，是方程的兩個根，即，所以在區(qū)間，上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則有，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．22.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在∈D，使得成立，則稱為的一個“不動點(diǎn)”，也稱在定義域D上存在不動點(diǎn).已知函數(shù)（1）若，求的不動點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）0和1；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程即可求解.（2）在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分離參數(shù)即可求解.（3）將問題轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求出的最值，令，