2021年滬教版必修二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-上海期末真題50題（大題提升版）教師版

上海期末真題精選50題（大題提升版）

1.（2020?上海市川沙中學(xué)高一期末）某輪船以V海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面

上油井尸在南偏東60度.輪船從A處向北航行30分鐘后到達(dá)8處，測(cè)得油井P在南偏東15度,

且8P=1O灰海里.輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)C點(diǎn).

（1）求輪船的速度V；

（2）求P、C兩點(diǎn)的距離（精確到1海里）.

【答案】（1）40海里/小時(shí)；（2）56海里.

ABBP

【分析】（1）在八43尸中，利用正弦定理求解.

sinZAPBsinNBAP

（2）在ACBP中，ly余弦定理PC?=/>82+802一22。.8。.85/必。求解.

4DBP

【詳解】（1）在八4放中，由正弦定理得：一.…n

sinZAPBsinZBAP

即3=1。&,

sin（60。一15。）-sin120

解得V=2xl0而sin45'=40

sin120

所以V=40海里/小時(shí)；

（2）在ACBP中，由余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PC-BC-cosAPBC.

=（1（）V6）2+（40）2-2X105/6X40XPCBCCOS（180-15-45）,

=2200+40076，

所以PCa56海里

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

2.(2020?上海高一期末)已知函數(shù)/(x)=4sin2x-4sin2a-馬，xeR.

6

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期；

(2)解三角方程〃x)=—1.

(2萬(wàn)

【答案】(1)周期7=乃；(2)jx|x=%7T+丁或x=Qr,keZ}.

【分析】(1)利用降次公式、兩角差的余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),由此求得/(x)的

最小正周期.

(2)由/(x)=-1解方程，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得X.

【詳解】⑴由已知，有,l-cos2x，1-C0VX-3j

〃x)=4"--——4x--------\---乙

=2-2cos2x-2+2cos^2x-yj

(1V3.1

=2—cos2x+——sin2x-2cos2x

I22

\

-V3sin2x-cos2x

"'01c

122J

=2sin(2x一親)

所以函數(shù)/(x)的最小正周期7=4.

(2)由2$也(2天一5)=-1，

可得sin——j=——,

TT17T7T7T

則2x——=——+2左乃，攵cZ或2工一上二一一+2左萬(wàn)，keZ,

6666

2萬(wàn)

即X=----,或x=ZwZ,

3

所以尤的取值集合為1x|x=A乃+,或x=Qr,ZeZ}.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，考查三角方程的

解法，屬于中檔題.

3.(2020?上海市建平中學(xué)高一期末)如圖，學(xué)校門(mén)口有一塊扇形空地QWN,已知半徑為

TT

常數(shù)R,NMON=一,現(xiàn)由于防疫期間，學(xué)校要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地ABCD作為體溫

2

檢測(cè)使用，其中點(diǎn)A、8在弧上，且線段平行于線段MN.取A3的中點(diǎn)為E,聯(lián)結(jié)

OE,交線段CO于點(diǎn)尸.記

(1)用。表示線段A5和AD的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)。取何值時(shí)，矩形48co的面積最大？最大值為多少？

【答案】(1)AB=2Rsing,AO=-；(2)當(dāng)6=^時(shí)，面積最大為

(V2-1)/?2

n

【分析】(1)山題目已知可求出。旦乙4OE=N8OE=—,在直角三角形中，結(jié)合三

2

角函數(shù)值可求出AB=2Rsin&；由題目已知可求出NM0E=NN0E=工，進(jìn)而可知

24

0n

OF=Rsin-,結(jié)合OE=Rcos—即可求出AD的長(zhǎng)度.

22

(2)由(1)可求出面積的表達(dá)式，結(jié)合二倍角公式以及輔助角公式可求

S=0火2sin(e+?)_R2,結(jié)合即可求出面積的最大值.

【詳解】

n

(D解：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，OA=OB=R,所以A8且NAOE=N8OE=—，

2

n

所以A8=2AE=2?AO?sinNAOE=2Rsin—,OE=AO-cosZAOE=Reos-.

22

JTQ

因?yàn)锳8〃MN，所以即NM0E=NN0E=—,則OF=OP=AE=Rsin—,

42

所以A￡>=OE-Ob=/?cosg-Rsing=&Rsin(巳-g]

22(42J

(2)由(D知，矩形ABC￡>的面積S=AB?AO=2Rsin5?aRsin((-

=R2^2sin-^cosy-2sin2=R2^sin^-2---=>/2R2sin(e+?)-/?2,

由題意知，ee(of,所以當(dāng)6=5時(shí)，51_=揚(yáng)?2-斤=(四-1)尸.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義的應(yīng)用，考查了輔助角公式，考查了二倍角公式，考

查了正弦型函數(shù)最值的求解.

4.(2020?上海高一期末)如圖，矩形4BC。的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上,

AB=3,8C=5.如果A8與4B'的夾角為。，那么當(dāng)a為何值時(shí)，矩形AB'C'D的周長(zhǎng)最

大？并求這個(gè)最大值.

71L

【答案】a=一時(shí)，矩形A'B'CD’的周長(zhǎng)最大，最大值為8起.

4

【分析】由題意可知。的取值范圍，分別求得矩形AZCD的邊長(zhǎng)關(guān)于。的三角函數(shù)表達(dá)式,

得到周長(zhǎng)關(guān)于a的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)后，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)研

究最大值.

【詳解】由題意可知NC3C=NAZ>A=N*A3=a,OWaWj

2

而B(niǎo)'A=A3cosa=3cosa,AAr=ADsina=5sina,

所以A'*=4A+AA'=3cosa+5sina.

同理可得，B'C=3sina+5cosa.

于是矩形AB'C'iy的周長(zhǎng)為2(A'B'+B'C)=2(3cosa+5sina+3sina+5cosa)

冗

8(sina+cosa)-85/2sina+—

4

冗-rrJT

所以，當(dāng)1+==一，即。=一時(shí)、矩形A'B'C'D'的周長(zhǎng)最大，最大值為8JL

424

【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解實(shí)際應(yīng)用中的最值問(wèn)題，涉及輔助角公式,

屬基礎(chǔ)題.

5.(2019?上海高一期末)已知函數(shù)/(x)=cos2x+2百sinxcosx+1,xeR.

(1)把/")化成Asin((yx+0)+8(A>0,a)>0,0<<p<2^)的形式，并寫(xiě)出函數(shù)/(x)

的最小正周期和值域；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

,.\x.若為>X,

(3)定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)再、》2，max{x，X2}=<…設(shè)

x

[x2右々>i

g(x)=max{\/^asinx,acosx},xeR(常數(shù)a>0),若對(duì)于任意玉eR,總存在々eR,

使得g(%)=/@2)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2sin(2x+-)+l,T=7r,[-1,3]；(2)[--+ht,^+ht],JteZ；(3)

636

【分析】(1)結(jié)合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡(jiǎn)；

(2)結(jié)合(1)中所求表達(dá)式，利用正弦型函數(shù)單調(diào)增區(qū)間計(jì)算即可求解；

(3)根據(jù)題意可得，5(x)min>/(x)min^(x)max</(x)mas；求出g(x)的值域，列出關(guān)于。的不

等式組，即可求解.

【詳解】(1)/(x)=cos2x+2\/3sinxcosx+l=cos2x+\^sin2x+l-2sinf2x+^+1,

o>jr-o仃

7=——=丁=乃，值域?yàn)椴?,3]；

CD2

TT-JI77"JIJI

(2)令2XH——G---卜2k7r,——乃攵￡2解彳導(dǎo)工￡——kjikrc,keZ

62236

jrjr

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,keZ\

(3)若對(duì)于任意為￡/?,總存在々ER，使得g(%)=/(9)恒成立，則

{y|y=g(x)}q{y|y=/(x)}，

sinx,GQsinx2acosx

g(x)=max{gosinx.acos=<

acosx,acosx>VStzsinx

當(dāng)GqsinxNcicosx，即工￡—+2^,—+2^時(shí),g(x)=gosinxe

oo

當(dāng)acosxe-----a,a

2

故g(x)

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于中

檔題.

6.（2019?上海市文來(lái)中學(xué)高一期末）已知心4，4是同一平面內(nèi)自上而下的三條不重合

的平行直線.

（1）如圖1,如果4與4間的距離是1，,2與4間的距離也是1，可以把一個(gè)正三角形力比的三

頂點(diǎn)分別放在4，4，4上，求這個(gè)正三角形4成的邊長(zhǎng).

（2）如圖2,如果與4間的距離是1,4與4間的距離是2,能否把一個(gè)正三角形力比的三頂

點(diǎn)分別放在4，4，4上，如果能放，求成和4夾角。的正切值并求該正三角形邊長(zhǎng)；如果不

能，試說(shuō)明理由.

（3）如果邊長(zhǎng)為2的正三角形/瓦的三頂點(diǎn)分別在4,12,4上，設(shè)乙與間的距離為4,4與

4間的距離為玄，求4?4的取值范圍.

【答案】⑴2；（2）能放，tan6=#，邊長(zhǎng)為卓；（3）（0,1]

【分析】（1）根據(jù)AC到直線4的距離相等，可得A過(guò)AC的中點(diǎn)M，4,AC，從而求得

邊長(zhǎng)AC=240的值.

（2）假設(shè)能放，設(shè)邊長(zhǎng)為a,3C與4的夾角。，不妨設(shè)0。<6<60。，可得asin（9=2.

V3

?sin(60-^)=1由此能求出“的值，從而得出結(jié)論.

兩式相比化簡(jiǎn)可褥sin。=乃

⑶利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)44=4sin（60'-。卜in。為2sin（2e+30）-1,

再根據(jù)正弦函數(shù)的定義和值域求出4的取值范I機(jī)

【詳解】（1）vAC到直線12的距離相等,

二4過(guò)AC的中點(diǎn)"，

121AC,

二邊長(zhǎng)AC=2AM=2

（2）假設(shè)能放，設(shè)邊長(zhǎng)為“，6c與4的夾角。，

由對(duì)稱性,不妨設(shè)0。<6<60°，

asm0=2,?sin(60-^)=1,

兩式相比可得：sin9=2sin（60-。），

即sin6=Gcos。一sin。，

2sin(9=\/3cos^./.tan^=sin6=—

25

22后

a~~_________

故邊長(zhǎng)一8一3

方

綜上可得，能放.

(3)4?4=4sin(60卜in6=4——cos?！猻in。sin。

(22J

l+cos26、

sin26—2sin(2^+30j-l

1

--<

?.?0。<"60，.-.30°<2^+30<150.2

所以0K2sin(2e+3()1-1<1,

又4>0,。2>0,所以44G(?！?

【點(diǎn)睛】本題是一道考查三角函數(shù)應(yīng)用的題目，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)以及三

角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.

7.（2018?上海高一期末）已知余切函數(shù)/（x）=cotx.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）

（2）求證:余切函數(shù)/（x）=cotx在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞減.

【答案】（1）奇函數(shù)；周期為萬(wàn)，單調(diào)遞減速區(qū)間：（左萬(wàn),（k+1）乃）ZeZ（2）證明見(jiàn)解

析

【分析】（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出結(jié)果.

（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果.

【詳解】（1）奇函數(shù)；周期為乃，單調(diào)遞減區(qū)間：（左鞏（4+1）萬(wàn)）keZ

（2）任取芭，X2?0,萬(wàn)），x,<x2,有

cosx,cosx,sin（x-x2）

cotx2-cotX]=-----------------=——--------—

sin%sinx,sinx,sinx2

因?yàn)?<%<龍2（不，所以一萬(wàn)<X]—彳2<0,

于是sin%]》?〉。，sin（^-%2）<0,

從而cotx2-cotx,<0,cotx2<cot%.

因此余切函數(shù)/（x）=cotx在區(qū)間（0,兀）上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考

查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

TT7T

8.(2019?上海上外附中)已知函數(shù)/O)=2sin(x+—)-2cos%,x￡［—,m.

62

4

（1）若sinx=《，求函數(shù)/（X）的值;

（2）求函數(shù)f（x）的值域.

【答案】（1）笑+3；尊）[1,2].

【詳解】(1)?.,sinx=±x￡［工,乃］,「.cosxn-Vl-sin2x=-—

525

nf(x)=sinx+gcosx)-2cosx=A/3sin%-cosx='"+?

冗

(2)山(1)/(x)=2sin(x----),

6

九’,乃,)1.兀、八

—4xW萬(wàn)，/.一《尤---K——Ksinz(x----)<1,

236626

???函數(shù)的值域?yàn)閇1,2].

jr->一

9.（2020?上海上外附中期末）已知兩個(gè)平面向量;與］的夾角為且。=1,2=2,記

m=3a-h,n=ta+2b-

（1）若Z_L：，求實(shí)數(shù)，的值;

（2）若￡=2,求2與7的夾角.

【答案】（1）/=1；（2）arccosy；

【分析】（1）根據(jù)］_L；得信?：=（），進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可得答案；

（2）由題知7=3。^=2：+2力進(jìn)而計(jì)算得工二=2，2=近，卜卜2近，進(jìn)而結(jié)

合夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由得2.：=0，

->T/->T、（->->、->2-->->2

即：nv〃=3。一人?，Q+2〃=3，Q+（6—。0人一2〃

=3而+（6一r）：/.cos?-2M=3f+（6-r）xlx2xl-2x22=0.

解得：1=1,

所以當(dāng)時(shí)，E=L

（2）'"=2時(shí)，m=3a—b,n=2a-^-2b9

—>—>->->-2T--2

所以加?〃=3a-b?2a+2b=6a+4a-b-2b

m-n2_1

所以cos、町〃

幣x2出-7,

所以2與;的夾角為arccos；

【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，夾角的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題

->T

|/2-2I7

的關(guān)鍵在于熟練掌握模的公式a=a夾角公式九〃廣等.

10.（2020?上海師大附中期末）在AABC中，〃是/砸中點(diǎn).

C

（1）求證：CACB=1GDI2-IDB12；

（2）若AA5c是等邊三角形，且外接圓半徑為2,圓心為。（如圖），￡為00上的一動(dòng)點(diǎn)，

試求西?麗的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）[-2,6]

【分析】（1）根據(jù)。是AB的中點(diǎn)即可得出礪=_麗，從而得出

CACB=（CD-DB）（CD+DB）,然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可；

⑵根據(jù)題意即可得出西.無(wú)=-2,\OA+OB\=2,然后根據(jù)中.麗=（麗-麗?（麗-麗）

進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出PAPB=2-4cos<OA+OB,OP>,從而可得出西.麗的取值范

圍.

【詳解】解：(1)證明：???。是AB的中點(diǎn)，

CACB=(CD-DBJ(CD+DBJ=CD-DB=卬-煙；

(2)根據(jù)題意，NAOB=容OA=OB=2,\o?\^2,

：.Q4OB=|OA||OB|COSZAOB=-2,\7)A+OB\=J(OA+OB]2=74+4-4=2.

：.~PAPB=[OA-OPy[OB-OP^=OAOB+OP-l^A+OB^OP

=-2+4-匹+網(wǎng)西cos?+麗麗)=2-4cos停+礪，乃，

?：-\<cos(OA+OB,OP^<\,

—242-4cos(OA+OB,OP^<6,

.??麗?麗的取值范圍為：[—2,6].

【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，相反向量的定義，向量的數(shù)量積運(yùn)算,

向量數(shù)量積的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力.

11.(2021?上海市行知中學(xué)高一期末)已知角。是第三象限角，tana='.

2

(1)求sina,cosa的值；

1+2sin(4-a)cos(—2"-a)

(2)求.2/、.2/54的值.

sin(-?)-sin(--a)

,.加

sina=----

【答案】⑴45(2)-3.

2<5

cosa=-----

5

【分析】(1)根據(jù)tana=sina=j_,以及sin'a+cos2a=1,結(jié)合范圍求得sina、cosa

cosa2

的值；

(2)利用誘導(dǎo)公式與同角的三角函數(shù)關(guān)系，把正弦、余弦的比值化為正切tana,代入正切

值即求得結(jié)果.

【詳解】解：(1)tana=‘畝°=J_,sin"a+cos2a=1,

cosa2

sina=——sina=----

5...5廣,而角a是第二象限角，則sina<0,cosa<0,

L或4

2V52V5

cosa=----cosa=-----

55

sina=----

5

故，2>/5；

cosa=-----

5

1+2sin(4-a)cos(-2乃-a)1+2sinacos(—a)

(2)5471

sin*2(3-a)-sin2-a(-sincr)2-sin2——a

22

_l+2sinacosa_sin2a+cos2a+2sinacosa

sin2?-cos2asin2(2-cos2a

_(sina+cosa)2_sina+cosa_tana+1

(sina+cosa)(sina-cosa)sina—cosatana—1

1

tanor=—,

2

-+1

，原式-=一3

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

已知正切值化簡(jiǎn)求值時(shí)，通過(guò)整理式子使其分子分母的弦的次數(shù)相同，通過(guò)同時(shí)除以同次的

余弦，進(jìn)行弦化切的轉(zhuǎn)化，代入計(jì)算即可.

sin(乃+a)cos(2〃-a)tan(2〃-a)

,f(a)=

12.(2020?上海市行知中學(xué)局一期末)已知

(1)化簡(jiǎn)：/(?)；

(2)在AABC中，內(nèi)角從8、。所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,若c=2,/(C)=,且AABC

的面積S=6，求a、6的值.

【答案】(1)f(a)=-cosa-(2)a=b=2.

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)/Q)；

7Tab—4

(2)由(1)可得。=一，再根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理可求得[2,2c，解之得

3[a2+b=8

答案.

，.…，/、-sinczcosa(-tana)、

【詳解】(1)因?yàn)閥(a)=---------------------------=-cosa,所以/(a)=-cosa；

-tanasina

11rr

(2)因?yàn)?(C)=-—,即一cosC=-一，又0<C<乃，所以。=々，

223

因?yàn)锳ABC的面積s=百，所以S=5a/>sin§=J3,解得。。=4,又

cosC-a—^———,所以&2+/=8，

lab2

ab=4（o=2

由＜2,2°，解得4°，所以a=》=2.

/+b-=8[b=2

【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，三角形的面積公式和余弦定理的運(yùn)用求解三角形，屬

于中檔題.

13.（2020?上海市七寶中學(xué)高一期末）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,

c,滿足石。$詁（7-。（2+（：0$4）=0,

（1）求角A的大小；

（2）若a=2非,△ABC的面積為求sinB+sinC的值.

【答案】（1）A=—；（2）迎.

310

【分析】（1）由正弦定理邊化角有道sinAsinC-sinC（2+cosA）=0,可得

GsinA-cosA=2,即可求A的大??；（2）由已知條件，根據(jù)三角形面積公式有9=4,山

余弦定理用b,c表示cosA進(jìn)而得到戶+,2=16，即可得b+c,再由正弦定理即可求出

sinB+sinC的值

【詳解】（1）由正弦定理，＞/3sinAsinC-sinC（2+cosA）=0

而sinCw0,即有GsinA-cosA=2,sin]A-=1又Aw(0,萬(wàn))

?A兀冗??A27r

..A——=—,故A=—

623

(2)由題意知：S^BC=^bcs\n/I=V3

；?Z?c=4,而a=2>/5

百人武士工用.b2+c2-a2b2-vc2-201

由余弦定理，cosA=----------=-----------=一一

2hc82

故廿+。2=16,又S+c)2="+/+2"

b+c=V16+8=2"

BL

：..?.「bcsinA”.y_/r3so

sinB+sinC=----F——=----(b+c)=—^7=x2y16=-----

2R2Ra2V510

【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理的邊角互化并結(jié)合輔助角公式求角的

大小，應(yīng)用三角形面積公式、余弦定理求兩邊的和，再由正弦定理角化邊的應(yīng)用求三角函數(shù)

值

14.(2020?上海交大附中高一期末)已知xeR,設(shè)〃?=(百cosx,sinx-cosx),

n=(2sinx,sinx+cosx),記函數(shù)=

(1)求函數(shù)/(X)的最小值，并求出函數(shù)/(X)取最小值時(shí)x的值；

(2)設(shè)AA6c的角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若〃C)=2,c=2百，求AA5c

的面積S的最大值.

=-2

【答案】⑴ymin>\xx^k7T-^,k&Z\(2)36.

【分析】(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及：倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到/Xx)

=2sin(2x-今)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；

(2)先求出曲大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出"W3,根據(jù)三角形的面積

公式即可求出答案.

【詳解】(1)f^x)=m-n=2V5sinxcosx+sin2x-cos2x

=V3sin2x-cos2x=2sin(2x一小，

^2x--=2kn--,keZ,即x=EZ)時(shí)，sin2x-^-\=-\,/(x)取最小值一2,

62616J

所以，/(x)的最小值為-2,所求X的取值集合是｛8尤=版"一7，%€2>；

(2)由/(C)=2,得sin(2C—工］=1,

I6J

TTrr\\rr

因?yàn)?<C〈萬(wàn)，所以一一<2。一=(一，

666

所以2。一工=工，C=-,

623

在△ABC中，由余弦定理/=片+〃_2HcosC,

得3=/+/_成2必，即就<3,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)取等號(hào)，

所以△ABC的面積S=—absinC<—x3x^-=3叵，

2224

因此AABC的面積S的最大值為地.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基

本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題.

15.（2020?上海高一期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是

早發(fā)現(xiàn)、早隔離.現(xiàn)某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門(mén)欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABC0沿著邊界

用固定高度的板材圍成一個(gè)封閉的隔離區(qū).經(jīng)測(cè)量，邊界與4。的長(zhǎng)都是200米，

ZBAD=60°,ZBCD=120°.

（1）若44叱=105。，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到米）；

（2）圍成該區(qū)域至多需要多少米長(zhǎng)度的板材？（不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米）.

【答案】（1）163米；（2）631米.

【分析】（1）直接根據(jù)正弦定理即可求出；

TT

（2）設(shè)NCB￡＞=0（0＜，＜］）,利用正弦定理、三角函數(shù)的變換和三角函數(shù)的性質(zhì)可求出

8C+CD取得最大值等，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】（1）聯(lián)結(jié)3。，則在中3。=20028。。=45°

BD_BC2（X）sin45°20（）6

I1J-----------------------------------,伺：BC=----------------=-----------?163

sinZBCDsinZBDCsin12003

所以3c的長(zhǎng)約為163米

(2)設(shè)NC8O=e(0<e<q),則N8￡)C=g—e

4AIBDBCCD

在△BCD中，［1］---------=---------=---------

sinZBCDsinZBDCsinZCBD

，口400?’4小400?八

彳導(dǎo)：BC——T=-sin(e),CD――尸sinv

A/33\J3

所以BC+8=翠［sin(2-9)+sin例=翠sin(。+-)

v33y33

■7T400

所以當(dāng)6=丁時(shí)，5C+CD取得最大值

6正'

此時(shí)圍成該施工區(qū)域所需的板材長(zhǎng)度最長(zhǎng)，為不+400千米,約為631米

【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化

歸能力，屬于中檔題.

16.(2020?上海市青浦高級(jí)中學(xué)高一期末)某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健

身室，如圖所示，4BCD是一塊邊長(zhǎng)為100，”的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，

其半徑是80加，矩形AGHW就是擬建的健身室，其中G、M分別在和AO上，H在露

上，設(shè)矩形的面積為S,ZHCF=0.

(1)將S表示為。的函數(shù)；

(2)求健身室面積的最大值，并指出此時(shí)的點(diǎn)“在"何處？

TT

【答案】(1)S=4OO[25-2O(sin6>+cos^)+16sin6?cos0],^€[0,-1；(2)最大面積為2000/，

2

此時(shí)點(diǎn)”在緒的端點(diǎn)E或尸處時(shí).

【分析】(1)延長(zhǎng)G"交8于N,則N"=80sin8,CN=80cos。，由此可求出答案；

(2)令/=$抽。+以光。=血5畝(6+5)，則sin0cos6=\—,化簡(jiǎn)函數(shù)并利

用二次函數(shù)求出最值.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)G"交CD于N,則NW=80sin8,C7V=80cose,

cEB

.?.HM=ND=100—80cos6,AM=100—80sin。，

???S=(100—80cos，)(100—80sin。)

=400(25-20(sin8+cos6)+16sin8cos例，

(2)令，=sin6+cos0=y/2sin(6+—),

4

則sin。cos。一,可

/.S=400125-20t+8(*-1)]=3200。一一)2+l800,

...當(dāng)f=l,即0sin(6+&)=l時(shí)，S取得最大值2000,

4

???sin(^+-)=—.

42

444

二嗚十或吒哼

rr

即。=0或。=—,

2

二當(dāng)點(diǎn)H在跖的端點(diǎn)E或尸處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積為2000??.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（2020?上海交大附中高—-期末）已知?！叮ā?，彳），/e（。,,），sina=,

cos（a+>?）=--.

、14

（1）求tan2a的值;

（2）求COS/?的值.

【答案】(1)警⑵;

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,可山sina=延求得cosa,再求得tana,結(jié)合正切

【分析】(1)

7

的二倍角公式即可求得tan2a的值

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系式，可先求得cosa='，sin(a+〃)=XI.將cos4變形為

7、?14

cosA=cos[(a+/7)-a],由余弦的差角公式展開(kāi)并代入已知值即可求得cos￡的值

【詳解】(1)由同角三角函數(shù)關(guān)系式sin?a+cos2a=1,sina=生叵

7

代入可得cosa=+V1-sin3a=±=±_

7

而a

所以cosa=-

7

4G

sina7/r-

則tana=------=-；—=4J3

cosa]

7

2tana2x473873

所以由正切二倍角公式可得lan2a

1Tan2a1一(4司而

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系式sit?a+cos2a=1及sin2(a+/7)+cos2(a+/?)=l且

sina=-^-ycos(a+p)=-g…。,f，匹畤兀

2

則可求得cosa='，sin(a+/?)=d巫

7v14

則由余弦差角公式化簡(jiǎn)可得

cos/?=cos[(a+/?)-6z]

=cos(a+￡)cosa+sin(a+￡)sina

=上x(chóng)L更x迪

147147

2

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，正切二倍角公式及余弦差角公式的應(yīng)用，角

的配湊法應(yīng)用，屬于中檔題.

18.(2020?上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末)在比中，a=7,ZF8,cos后-

7

(I)求NZ；

(II)求/地上的高.

【答案】(1)ZA=-(2)］助上的高為也

32

【詳解】分析：(1)先根據(jù)平方關(guān)系求sinB,再根據(jù)正弦定理求sinA,即得NA；(2)根

據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程!"sinC=?油，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公

22

式求sinC，解得AC邊上的高.

詳解：解：(1)在比中，；cos比-1，(-,JI),.,.sin^Vl-cos2/?=-由

727

8

正弦定理得‘一=上-=>--=4百，，sin看業(yè).?"G(四，JI),：.A&(0,-),

sinAsinB

(2)在△466中，"."sin^sin(A+B)=sirvfcos屏sinaos片--x

22714

如圖所示，在△四C中，；sinC三上；，二斤8。6畝。=7乂2叵=之叵，.?"電上的高為之叵.

?48

點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈

活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

19.(2020?上海華師大二附中高一期末)設(shè)常數(shù)awR,函數(shù)/(x)=6sin2x+acos2x.

(1)若/(x)(xeR)是奇函數(shù)，求a的值；

(2)已知/(￡|=3,求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,1上的最值.

【答案】（1）。=0：（2）最大值3,最小值0.

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求a的值；

（2）先代入求a的值，再利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/（x）,最根據(jù)正弦函數(shù)性

質(zhì)求最值.

【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以/（0）=0.?.。=0

當(dāng)〃=0時(shí)J.（x）=Gsin2x是奇函數(shù)，所以。=0；

（2）Q/1|=3V3sin—+acos2—=3z.—4--?=3/.a=2

[6）3624

/./(x)=V3sin2x+2cos2x=/(x)=>/3sin2x+cos2x+1=2sin(2xd——)+1

6

Qx￡0,—2x+--e/.sin(2x+--)e[——,1]/.f(x)e[0,3]

_2J66662

從而函數(shù)/(x)在區(qū)間0,j上的最大值為3,最小值為0.

【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)、二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求

解能力，屬中檔題.

20.(2020?上海中學(xué)高一期末)解下列三角方程：

(1)4cos2x-4cosx+1=0;

(2)sin2x+3sinxcosx+1=0;

(3)sin2x-12(sinx-cosx)+12=0.

【答案】（1）x=2%;?■土工（左eZ）；（2）x=k7r-arctan-x=k/r-—（keZ）-（3）x=2k7t+—

3242

或x=2k兀+7t（keZ）.

【分析】（1）先解一元二次方程，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)解三角方程；

（2）先利用1的代換轉(zhuǎn)化為齊次方程，再根據(jù)弦化切轉(zhuǎn)化解一元：次方程，最后根據(jù)正切函

數(shù)性質(zhì)解三角方程；

（3）^r=sinx-cosx,將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的一元二次方程，根據(jù)，的范圍解得，的值，

再利用輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)解三角方程.

091/4

【詳解】(1)Q4cosx-4cosx+l=0/.(2cosx-l)=0/.cosx=—x=2k7r±—(kGZ)；

(2)Qsin2x+3sinxcosx4-l=0/.sin2x+3sinxcosx+sin2x+cos2x=0，

顯然cosx=。不是方程的解，所以兩邊同除cos2x，得2tan2x+3tanx+1=0,

tanx=—或tan尤=-1,

x=k7r-arctan—=ATT-工(左wZ):

24

冗

(3)Z=sinx-cosx=>/2sinX--，re[-V2,V2],則sin2x=l-/,

從而1一產(chǎn)一⑵+12=0,即心+⑵-13=0，解得1=1或1=一13(舍)，

71_V2

再山友sinX--=1=sin(x一？

"2'

x--=2k7C+&或九一代=2k7r+—(Z:GZ),

4444

x=2%4+—或x=2k兀+兀(keZ).

2

【點(diǎn)睛】本題考查解簡(jiǎn)單三角方程、解一元二次方程、輔助角公式、弦化切，考查綜合分析

求解能力，屬中檔題.

21.(2020?上海市青浦高級(jí)中學(xué)高一期末)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinA:+5/3cosx)-

XGR.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;

?TT

(2)若存在XG。,],使等式"(x)]2+/(x)+m=0成立，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

4741

【答案】⑴^+―,^+—,keZ.(2)[-2,-]

_1212J4

【分析】(I)利用降次公式和輔助角公式化簡(jiǎn)/