2021年寧夏大學附中中考數(shù)學一模試卷（附答案詳解）

2021年寧夏大學附中中考數(shù)學一模試卷

1.華為“〃招20手機搭載了全球首款7納米制程芯片，7納米就是0.000000007米.數(shù)

據(jù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為（）

A.7xIO"B.0.7x10-8C.7x10-8D.7x10-9

2.一g的絕對值是（）

A,\B.—3C.3

3.下列計算正確的是（)

A.V34-V2=V5B.(》T=-6C.我+魚=2D.V(-3)2=-3

4.計算(％+1)(/-x+1）結果正確的是（)

A.%34-1B.x3-lC.%3-x2+1

5.如圖，在。0中，Z.BOD=80°,則/BCD等于()

A.80°

B.100°

C.140°

D.160°

6.如圖，邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的。。的

圓心。在格點上，則4BED的正切值等于（）

A.延

5

B.在

5

C.2

D,

7.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，以點8為圓心，A8為半

徑畫弧，交對角線8。于點區(qū)則圖中陰影部分的面積是（結果

保留〃）（）

A.8—7T

B.16-27r

C.8—27r

D-8-7

8.如圖，在△ABC中，乙4=60。，BC=5cm,能夠?qū)ⅰ鰽BC完\

全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是（）/\

慶25/—Ac

B.|V3

C.5V3

D皿

3

9.計算（-2x）2的結果是.

10.計算gx后-我的結果是.

11.已知有理數(shù)〃在數(shù)軸上的位置如圖，則a+|a-l|=.

―?------------?-------1----?

ao1

12.分解因式：2nl3-8m=.

13.如圖，一塊含有30。角的直角三角板A8C,在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉

到4B'C'的位置，若AC=36cm,那么頂點A從開始到結束所經(jīng)過的路徑長為

______.（結果保留兀）

14.如圖所示，AB是。。的直徑，弦CD1于H,NA=30°,

CD=4>/5，則。。的半徑是.

15.將直尺、有60。角的直角三角板和光盤如圖擺放,A為60。角

與直尺的交點，B為光盤與直尺的交點，AB=4,則光盤

表示的圓的半徑是.

16.我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三

角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.如

第2頁，共20頁

果大正方形的面積是17,小正方形的面積是2,直角三角形的兩直角邊長分別為八

b,那么(a—b)2的值是.

17.計算：

(1)(-1)2020+3tan30°+|V3-2|.

(2)|2-V8|-(-i)-3+(7T-2021)°-4s勿45。.

18.先化簡(x+3-￡)+今手，再從0WxW4中選一個適合的整數(shù)代入求值.

19.己知：△ABC在直角坐標平面內(nèi),三個頂點的坐標分別為4(0,3)、8(3,4)、C(2,2)(

正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).

(1)畫出△4BC向下平移4個單位長度得到的△&B1G，點G的坐標是；

(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A282c2，使A&B2c2與AABC位似，且位

似比為2：1,點C?的坐標是.

B

20.我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率兀，

理論上能把兀的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了

“割圓術”，將兀的值精確到小數(shù)點后第七位，這一結果領

先世界一千多年，“割圓術”的第一步是計算半徑為1的圓

內(nèi)接正六邊形的面積S6,如圖，已知。。的半徑等于1,請你計算該圓內(nèi)接正六邊

形ABCDE尸的面積.

21.如圖，在A/IBC中，AB=AC,4B4C=120。，點。在8c邊上，OD經(jīng)過點A和

點8且與8C邊相交于點E.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若CE=2V3,求。。的半徑.

第4頁，共20頁

A

22.為了節(jié)能減排，我市某校準備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只

B型節(jié)能燈共需50元，2只4型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元.

(1)求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價各是多少元？

(2)學校準備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200只，要求4型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B

型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由.

23.如圖，已知A8是。。的直徑，C是。。上的點，點。

在AB的延長線上，乙BCD=ABAC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)4。=30。，BD=4,求圖中陰影部分的面積.(結

果保留兀)

24.如圖，RtA48。的頂點O在坐標原點，點8在x軸上，乙48。=90°,^AOB=30°,

OB=2>/3，反比例函數(shù)y=>0)的圖象經(jīng)過OA的中點C,交AB于點￡).

(1)求反比例函數(shù)的關系式;

(2)連接8,求四邊形COBO的面積.

25.如圖，OB過。。的圓心，交。。于點A、B,DC是

O。的切線，點C是切點，已知功=30°,DC=2V3.

(1)求證：4B0CFBCD；

(2)求ABCO的周長.(結果保留根號)

第6頁，共20頁

26.如圖，在矩形ABC￡＞中，點P是2c邊上任意一點(點

尸不與B、C重合)，連接4P,作PQ1AP,交CD于

點。，若4B=3,BC=4.

(1)試證明：AABPfPCQ；

(2)當BP為多少時，CQ最長，最長是多少？

(3)試探究，是否存在一點P,使AAPQ是等腰直角三角形？

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：0.000000007=7x10-9；

故選：D.

由科學記數(shù)法知0.000000007=7x10-9；

本題考查科學記數(shù)法；熟練掌握科學記數(shù)法ax10"中。與〃的意義是解題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：因為I-與=：

故選：A.

根據(jù)絕對值的定義求解.

本題考查了絕對值的定義.正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，。的

絕對值是0.

3.【答案】C

【解析】解：小百與應不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；

B、(》T=6,故此選項不符合題意；

C、%+魚=廊”=日=2,正確，故此選項符合題意；

D、'(—3)2=3,故此選項不符合題意；

故選：C.

根據(jù)二次根式加法運算法則進行計算判斷4根據(jù)負整數(shù)指數(shù)嘉的運算法則進行計算判

斷8,根據(jù)二次根式除法運算法則進行計算判斷C,根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡判斷

D.

本題考查二次根式的運算，理解二次根式的性質(zhì)，是解題關鍵.

4.【答案】A

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［解析］解：原式=X3-X2+X+X2-X+1

=X3+1,

故選：A.

根據(jù)多項式乘多項式的運算法則進行計算求解.

本題考查多項式乘多項式的運算，掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：和乙4都對的，

44=-/.BOD=ix80°=40°,

22

,:乙4+4BCD=180°,

乙BCD=180°-40°=140°.

故選：C.

先根據(jù)圓周角定理計算出乙4=40。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求NBCD的度數(shù).

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條

弧所對的圓心角的一半.也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

6.【答案】D

【解析】解：???^DAB=乙DEB,

.-.tanzD/lF=tanzDFF=i

故選：D.

根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等來求解.

此題主要考查了圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相

等的角是解題關鍵.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分割法求陰影

部分面積.

根據(jù)S陽=S&ABD-S期施4E計算即可.

【解答】

解：S陰=ShABD-S^BAE=|x4x4-=8-271,

故選：C.

8.【答案】D

【解析】解：能夠?qū)ABC完全覆蓋的最小圓是△ABC的外接圓，一k

設圓的圓心為點0,如圖所示：(/V\

在△ABC中，Z/=60°,BC=5cm,I1

乙B0C=120°,J/C

作0。1BC于點D,則4ODB=90°,4BOD=60°,

???加=￡4。皿=3。。，

OB=—i―=—>

sin6003

...2OB=吧

3

即能夠?qū)ⅰ?BC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是史史cm,

3

故選：D.

根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)圓的相關知識即可求得△ABC外接圓的直徑，即

可解決問題.

本題考查了三角形的外接圓和外心以及解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，作

出合適的輔助線，利用數(shù)形結合的思想解答.

9.【答案】4x2

【解析】解:(—2x)2=(_2)2?(x2)2=4x2.

故答案為：4/.

積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘，據(jù)此計算即可.

本題考查了幕的乘方與積的乘方，掌握某的運算法則是解答本題的關鍵.

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10.【答案】y/2

［解析］解：原式=V33T6-2V2

=3V2-2V2

=V2.

故答案為

先利用二次根式的乘法運算，然后化簡后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式

的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二

次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

11.【答案】I

【解析】解：由數(shù)軸上。點的位置可知，a<0,

Aa—1<0,

二原式=a+1—a=1.

故答案為：1.

先根據(jù)。在數(shù)軸上的位置確定出〃的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)把原式進行化簡即可.

本題考查的是數(shù)軸的特點及絕對值的性質(zhì)，比較簡單.

12.【答案】27n+2)(m-2)

【解析】解：2m3—8m=2m(m2—4)

=2m(m+2)(m—2).

故答案為：2m(m+2)(m-2).

提公因式2"?,再運用平方差公式對括號里的因式分解.

本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式,

然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

13.【答案】127rcm

【解析】解：由題意可知，A點的運動軌跡是以C為圓心，AC為半徑的圓弧上,

v乙ACB=60°,

:.^ACAf=120°,

vAC—36cm,

故答案為：1271cm.

由題意可知，A點的運動軌跡是以C為圓心，AC為半徑的圓弧上，求出弧長即為所求.

本題考查圖形的旋轉，熟練掌握圖形旋轉的性質(zhì)，能確定點A的運動軌跡是解題的關鍵.

14.【答案】4

【解析】解：連接BC,如圖，

vCDLAB,飛

B

A\6\H/

Z.AHC=90°,CH=DH=^CD=^x4A/3=2>/3,\7

在RtAAC”中，

???AA=30°,

???AC—2CH=4V3,

???AB是O。的直徑，

???Z,ACB=90°,

???勿="=裊46=4,

???AB=2BC=8,

???0。的半徑為4.

故答案為4.

連接BC,如圖，先根據(jù)垂徑定理得到C"=DH=2V3.再利用含30度的直角三角形三

邊的關系得到AC=2CH=4接著利用圓周角定理得到乙4cB=90。，然后計算BC、

A8的長，從而得到。。的半徑.

本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是

直徑.也考查了垂徑定理和含30度的直角三角形三邊的關系.

15.【答案】4V3

第12頁，共20頁

【解析】解：設三角板與圓的切點為C,連接。A、0B,\(一'、

由切線長定理知，4B=4C=4,AO平分NB4C,J

乙OAB=60°,??1yz|

在Rt/MB。中，OB=AB-tan^OAB=4V3-

二光盤表示的圓的半徑為4百，

故答案為：4-\/3.

連接04、0B,由切線長定理得出4B=AC=4、/.0AB=60。，根據(jù)OB=AB-tan/OAB

計算，得到答案.

本題主要考查的是切線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握切線長定理和解直角三角形的應用.

16.【答案】2

【解析】解：根據(jù)勾股定理可得a?+爐=17,

四個直角三角形的面積是：1abx4=17-2=15,即：2ab=15,

則(a—b)2=a2-2ab+h2=17-15=2.

故答案為：2.

根據(jù)勾股定理可以求得a?+及等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，

即可得到ab的值，然后根據(jù)(a-曠=a2-2ab+川即可求解.

本題考查勾股定理的證明，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關系求得&2+爐和必的

值是關鍵.

17.【答案】解：(1)原式=1+3xf+2—遮

=1+V3+2-V3

=3；

(2)原式=2^2-2-(-8)+1-4Xy

-2V2-2+8+1-2A/2

=7.

【解析】(1)先化簡有理數(shù)的乘方，絕對值，代入特殊角三角函數(shù)值，然后再計算；

(2)先化簡絕對值，二次根式，負整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)暴，代入特殊角三角函數(shù)值，然

后再計算.

本題考查實數(shù)的混合運算，理解屋=1("O),叱=專9于0),熟記特殊角三角函

數(shù)值是解題關鍵.

18.【答案】解：Q+3—￡)+之等

%2—972x2—8x

—(-------------)----------

陵-3x-yx-3

(x+4)(x—4)%—3

x—32x(x—4)

X+4

~~2x,

要使分式有意義，可選取欠=1,

當x=l時，原式=妾=|?

【解析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件選擇一個整數(shù)代

入計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運算法則是解題的

關鍵.

19.【答案】(1)(2,—2)；

(2)(1,0).

【解析】解：(1)如圖所示，畫出△4BC向下平移4個

單位長度得到的△&B1G，點G的坐標是(2,-2)；

(2)如圖所示，以B為位似中心，畫出△&B2C2，使

△々B2c2與△ABC位似，且位似比為2：1,點的坐

標是(1,0),

故答案為：(1)(2,-2)；(2)(1,0)

(1)將44BC向下平移4個單位長度得到的△41%的,

如圖所示，找出所求點坐標即可;

(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出4出夕2c2，使△力2夕2c2與A/BC位似，且位似比

為2：1,如圖所示，找出所求點坐標即可.

此題考查了作圖-位似變換與平移變換，熟練掌握位似變換與平移變換的性質(zhì)是解本題

第14頁，共20頁

的關鍵.

20.【答案】解：連接。A、08,作。GL4B于點G,如圖

40B為正三角形,

:.OA=OB=AB=1,

^RtLOAG^,Z-OAG=60°,

si九60。=—,

OA

:.OG=—,

2

■■S^AOB=^AB-OG=^,

SG叵_3V3

???、正六邊形ABCDE~=°XY=~

【解析】連接OA、OB,六邊形A8COE9正六邊形，△04B為正三角形，求一個面積乘

以6,便可求解.

本題主要考查正多邊形與圓相關的計算，解題關鍵是計算出一個正三角形的面積，再求

解正六邊形的面積.

21.【答案】（1）證明：連接AQ,

???(B=Z.C=30°,

vAD=BD,

???Z.BAD=乙B=30°,

:./-ADC=60°,

:."AC=180°—60°-30°=90°,

???AC是OD的切線；

(2)解：連接AE,

-AD=DE,Z-ADE=60°,

???△40E是等邊三角形，

???AE—DE,Z-AED=60°,

:./-EAC=Z.AED一乙C=30°,

???Z,EAC=4C,

???AE=CE—2V5,

???OD的半徑4D=2V3.

【解析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

(1)連接A。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC=30。，4BAD=4B=30。,求得

^ADC=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到=180。-60。-30。=90。，于是得到4c

是。。的切線；

(2)連接AE,推出A40E是等邊三角形，得到4E=DE,Z.AED=60°,求得4E4C=

^AED-ZC=30°,得到4E=CE=2g,于是得到結論.

22.【答案】解：(1)設1只4型節(jié)能燈的售價是x元，1只8型節(jié)能燈的售價是y元，

第M羿解得，］，

答：1只A型節(jié)能燈的售價是5元，1只8型節(jié)能燈的售價是7元；

(2)設購買A型號的節(jié)能燈。只，則購買8型號的節(jié)能燈(200—a)只，費用為w元，

w=5a+7(200—a)=—2a+1400,

■:a<3(200-a),

???a<150,

,當a=150時，卬取得最小值，此時w=1100,200-a=50,

答:當購買A型號節(jié)能燈150只，8型號節(jié)能燈50只時最省錢.

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【解析】本題考查一次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用,

解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答.

(1)根據(jù)題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題；

(2)根據(jù)題意可以得到費用與購買A型號節(jié)能燈的關系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即

可解答本題.

23.【答案】(1)證明：連接。C,

???0A=0C,

/.BAC=/-OCA,

乙BCD=乙BAC,

???/.BCD=Z.OCA,

?MB是直徑，

乙ACB=90°,

???Z.OCA+乙OCB=乙BCD+Z.OCB=90°,

???/.OCD=90°,

???OC是半徑，

CD是。。的切線；

(2)解:設O0的半徑為小

???AB=2r,

???Z.D=30°,Z.OCD=90°,

:.OD=2r,(COB=60°,

Ar+4=2r,△是等邊三角形，

???BC=OB=r=4,Z.AOC=120°,

由勾股定理可知：AC=4V3,

,,,S&AOC=5s△48C='x5x4V5x4=4A/3,

S_1207rx42_16n

,扇開處AC=360=~f

陰影部分面積為等-4百.

【解析】(1)連接0C,易證乙BCC=40C4,由于AB是直徑，所以乙4cB=90。，所以

/.OCA+OCB=ZBCD+/.OCB=90°,是。。的切線；

(2)設。。的半徑為r,AB=2r,由于2。=30°,AOCD=90。,所以可求出r=4240C=

120°,BC=4,由勾股定理可知：AC=4V3.分別計算△04C的面積以及扇形OAC的

面積即可求出影響部分面積.

本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，

等邊三角形的性質(zhì)等知識，需要學生靈活運用所學知識.

24.【答案】解：⑴^ABO=90°,"OB=30°,OB=273，：.AB=^OB=2,

作CE1OB于E,

?：乙48。=90°,CE//AB,又OC=AC,

：.OE=BE=-OB=V3,CE=-AB=1,

22

???C（V3,1）＞

??,反比例函數(shù)y=§（久＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C,

???反比例函數(shù)的關系式為y=f；

⑵???。8=2技二。的橫坐標為2技

代入y=立得，y=；,???0（2百3）,

X22

13

BD-,?,AB—2,???AD=

22

S&ACD=-AD-BE=-x-xV3

2224

,'1S四邊形CDBO=SAAOB—SAAC。

【解析】(1)解直角三角形求得AB,作CELOB于E,根據(jù)平行線分線段成比例定理和

三角形中位線的性質(zhì)求得C的坐標,然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式;

(2)求得。的坐標，進而求得A。的長，得出AACD的面積，然后根據(jù)S儆劾紇刖。=

第18頁，共20頁

skAOB-SgcD