極限的運(yùn)算課件

注意：法則1、2可推廣至有限個(gè)函數(shù)的情形.

設(shè)在某極限過(guò)程中,函數(shù)f(x)、g(x)的極限存在,且limf（x)=A、limg(x)=B,則1.3極限的運(yùn)算1.3.1極限四則運(yùn)算1.法則1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)

B≠0123

推論第1頁(yè)/共52頁(yè)主要方法1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;消去零因子法求極限;無(wú)窮小因子分出法求極限;利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;利用左右極限求分段函數(shù)極限.高等數(shù)學(xué)第2頁(yè)/共52頁(yè)一、多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第3頁(yè)/共52頁(yè)解例11.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第4頁(yè)/共52頁(yè)

求求有理分式函數(shù)x

x0

的極限時(shí),若分母不等于零,則可直接代值計(jì)算.例2解1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第5頁(yè)/共52頁(yè)

求例3解1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第6頁(yè)/共52頁(yè)

解先變形再求極限.例41.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)作業(yè)：教材P3275-78試一試:

第7頁(yè)/共52頁(yè)（1）因式分解（2）有理化法（3）變量替換法消去零因子法：1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算二、消去零因子法求極限高等數(shù)學(xué)第8頁(yè)/共52頁(yè)

解(消去零因子法)（1）因式分解例51.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第9頁(yè)/共52頁(yè)

解例61.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第10頁(yè)/共52頁(yè)

（2）有理化法解例7將分子或分母有理化，約去極限為零的因式。1.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第11頁(yè)/共52頁(yè)

（3）變量替換法解：令原式=例81.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第12頁(yè)/共52頁(yè)無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.1.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算三、無(wú)窮小因子分出法求極限高等數(shù)學(xué)問(wèn)題：求.第13頁(yè)/共52頁(yè)

解(無(wú)窮小因子分出法)例91.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第14頁(yè)/共52頁(yè)課堂練習(xí)1.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)作業(yè)：教材P3381-84第15頁(yè)/共52頁(yè)

解例101.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算四、利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限高等數(shù)學(xué)第16頁(yè)/共52頁(yè)

解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例111.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第17頁(yè)/共52頁(yè)

這是兩個(gè)無(wú)窮大量相減的問(wèn)題.我們首先進(jìn)行通分運(yùn)算,設(shè)法去掉不定因素,然后運(yùn)用四則運(yùn)算法則求其極限.

解例121.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算五、一般采用先通分法再求極限高等數(shù)學(xué)不定型的極限（如）第18頁(yè)/共52頁(yè)

或者用下面的方法解例131.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第19頁(yè)/共52頁(yè)

有理化解例141.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例（0×∞）1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)試一試：教材P3379、80。作業(yè)：85、86第20頁(yè)/共52頁(yè)復(fù)習(xí)回顧幾種求函數(shù)極限的方法1.代入法2.不定型（1）分解消去零因子（2）有理化后消零因子（3）通分后消零因子（4）分子分母同除以最高次冪第21頁(yè)/共52頁(yè)

解左右極限存在且相等,例151.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)六、利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限第22頁(yè)/共52頁(yè)

問(wèn)b取何值時(shí),存在,并求其值.若

由函數(shù)的極限與其左、右極限的關(guān)系,得

b=2,,,解例161.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第23頁(yè)/共52頁(yè)

所以,由復(fù)合函數(shù)求極限法則這類復(fù)合函數(shù)的極限通?？蓪懗山饫?71.3.1極限四則運(yùn)算1.3極限的運(yùn)算七、復(fù)合函數(shù)求極限方法第24頁(yè)/共52頁(yè)

解例181.3.1極限四則運(yùn)算2.舉例1.3極限的運(yùn)算第25頁(yè)/共52頁(yè)課堂練習(xí)1.3.1極限四則運(yùn)算3.小結(jié)與練習(xí)1.3極限的運(yùn)算一、填空題:二、求下列各極限:-53200322x第26頁(yè)/共52頁(yè)解：1.求極限：?２．思考：能否用約分的方法求極限？為什么？1.3.2兩個(gè)重要極限復(fù)習(xí)引入1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第27頁(yè)/共52頁(yè)時(shí)設(shè)有函數(shù)，觀察下表并推測(cè)的變化趨勢(shì)：……0.999990.999980.998330.84147……0.0010.010.111.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第28頁(yè)/共52頁(yè)……0.999990.99980.99830.8414……-0.001-0.01-0.1-1因?yàn)槭桥己瘮?shù)所以1.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第29頁(yè)/共52頁(yè)1.函數(shù)極限為型且含有三角函數(shù)2.公式中出現(xiàn)的變量（可以是字母或是其它的代數(shù)式）相同且該變量趨向于零.3.公式的等價(jià)形式為注意1.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算第30頁(yè)/共52頁(yè)

注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：例11.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算第31頁(yè)/共52頁(yè)

求極限:例21.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算第32頁(yè)/共52頁(yè)

求極限:例31.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算第33頁(yè)/共52頁(yè)課堂練習(xí)1.3.2兩個(gè)重要極限1.重要極限:1.3極限的運(yùn)算練習(xí)P3389-92第34頁(yè)/共52頁(yè)設(shè)有函數(shù)，根據(jù)下表觀察的變化趨勢(shì)。2.718152.716922.704812.5937410000100010010…..2.718282.71827…10000001000001.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:引入1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第35頁(yè)/共52頁(yè)2.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10…..2.718282.71827…-1000000-100000時(shí)均趨于一個(gè)確定的數(shù)2.71828…用e表示該數(shù),e是無(wú)理數(shù)。

e=2.718281828459045…1.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第36頁(yè)/共52頁(yè)注意：2.底數(shù)中的無(wú)窮小量（可以是字母或是代數(shù)式）和指數(shù)互為倒數(shù)。1.公式中底數(shù)的極限是1，指數(shù)的極限是無(wú)窮大,函數(shù)極限為型1.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第37頁(yè)/共52頁(yè)

解：例41.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第38頁(yè)/共52頁(yè)復(fù)習(xí)回顧

兩個(gè)重要極限及其特征第39頁(yè)/共52頁(yè)

解：例51.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:1.3極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)第40頁(yè)/共52頁(yè)

解：例61.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:高等數(shù)學(xué)第41頁(yè)/共52頁(yè)

另解：例61.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:第42頁(yè)/共52頁(yè)課堂練習(xí)1.3.2兩個(gè)重要極限2.重要極限:高等數(shù)學(xué)作業(yè)P3391、92、105、107第43頁(yè)/共52頁(yè)設(shè)和是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，即lim=0和lim=0(１)如果，那么稱是的高階無(wú)窮小(２)如果，那么稱是的低階無(wú)窮小(３)如果，那么稱是的同階無(wú)窮小特別是當(dāng)c=1時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小,記作：

定義1·81.2.３無(wú)窮小量和無(wú)窮大量５.無(wú)窮小量階的比較第44頁(yè)/共52頁(yè)111111第45頁(yè)/共52頁(yè)常用等價(jià)無(wú)窮小:高等數(shù)學(xué)P35第46頁(yè)/共52頁(yè)等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算極限高等數(shù)學(xué)

對(duì)于0/0型的極限問(wèn)題，有時(shí)可以通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的替換，變得方便。第47頁(yè)/共52頁(yè)解：例3利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算下列極限:高等數(shù)學(xué)第48頁(yè)/共52頁(yè)例4解解錯(cuò)等價(jià)無(wú)窮小量只能在乘除中替換,在加減中不能替換高等數(shù)學(xué)第49頁(yè)/共52頁(yè)高等數(shù)學(xué)第50頁(yè)/共52