凸集與凸函數(shù)

2.

凸集與凸函數(shù)2.1仿射集對(duì)n維歐氏空間中任意兩點(diǎn)x≠y,則通過(guò)x和y的直線可表為

l(x,y)={(1-λ)x+λy|λ∈R}2021/5/912.

凸集與凸函數(shù)則一個(gè)仿射集的平移也是仿射集Th2.1(1)Rn的子空間是包含原點(diǎn)的仿射集;(2),對(duì)每一非空的仿射集M,存在唯一的子空間L和向量a∈Rn,使得約定M-a=M+(-a)若a∈M,則M-a是子空間.2021/5/922.

凸集與凸函數(shù)若非空仿射集M=L+a,則a∈M,于是唯一子空間L可表為Df2.2.非空仿射集M的維數(shù)是指平行于仿射集M的子空間的維數(shù).Rn中的n-1維仿射集稱為超平面.2021/5/932.

凸集與凸函數(shù)Th2.2給定向量p(≠0)∈Rn,∈R,則是Rn中的一個(gè)超平面.反之,Rn任一超平面都可表成上式的形式,且在相差一個(gè)非零常數(shù)的意義下,(p,

)是唯一的.2021/5/942.

凸集與凸函數(shù)可驗(yàn)證,仿射集的交集仍是仿射集Df2.3給定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,即包含S的最小仿射集稱為S的仿射包,記為affS2021/5/952.

凸集與凸函數(shù)Df2.1Rn中任一集合S的維數(shù)定義為它的仿射包affS的維數(shù),即包含S的仿射集的最小維數(shù).2021/5/962.

凸集與凸函數(shù)命題2.1下述斷言相互等價(jià).2021/5/972.

凸集與凸函數(shù)2021/5/982.

凸集與凸函數(shù)2.2凸集與錐2021/5/992.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9102.

凸集與凸函數(shù)x0xx-x0px0xx-x0p2021/5/9112.

凸集與凸函數(shù)2021/5/912運(yùn)用定義不難驗(yàn)證如下命題：2.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9132.

凸集與凸函數(shù)多面體(polyhedralset)是有限閉半空間的交.(可表為

Ax

b).x4x3x2x1x5xy2021/5/9142.

凸集與凸函數(shù)2021/5/915多面集

{x|Ax

0}也是凸錐，稱為多面錐。2.

凸集與凸函數(shù)由定義可知,錐關(guān)于正的數(shù)乘運(yùn)算封閉,凸錐關(guān)于加法和正的數(shù)乘封閉,一般的,對(duì)于凸集S,集合K(S)={λx|λ>0,x

S}是包含S的最小凸錐.錐C稱為尖錐,若0

S.尖錐稱為突出的,若它不包含一維子空間約定:非空集合S生成的凸錐,是指可以表示成S中有限個(gè)元素的非負(fù)線性組合(稱為凸錐組合)的所有點(diǎn)所構(gòu)成的集合,記為coneS.若S凸,則coneS=K(S)∪{0}2021/5/9162.3凸集分離定理2.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9172.

凸集與凸函數(shù)2021/5/918證明：令2.

凸集與凸函數(shù)2021/5/919所以為柯西列，必有極限,且由S為閉集知。此極限點(diǎn)必在S中。2.

凸集與凸函數(shù)下證明唯一性2021/5/9202.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9212.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9222.

凸集與凸函數(shù)xpX(i)(x-)(y-

)0

對(duì)任意x

X.(ii)令p=y-

，

=pp.

Txxxyx

證明提綱2021/5/923由此可得2.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9242.

凸集與凸函數(shù)Th2.7表明，S為閉凸集，yS，則y與S可分離。若令clS表示非空集合S的閉包，則當(dāng)yclS時(shí)，定理結(jié)論也真。實(shí)際上我們有下述定理2021/5/925證明2.

凸集與凸函數(shù)2021/5/926推論：設(shè)S為Rn

中的非空集合，yS,則存在非零向量p，使對(duì)xclS,pT

(x-y)02.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9272.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9282.

凸集與凸函數(shù)2021/5/929

作為凸集分離定理的應(yīng)用，下面介紹兩個(gè)擇一定理：Farkas定理和Gordan定理，它們?cè)谧顑?yōu)化理論中是很有用的。2.

凸集與凸函數(shù)2.4擇一定理2021/5/9302.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9312.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9322.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9332.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9342.

凸集與凸函數(shù)2021/5/9352.