廣西壯族自治區(qū)貴港市2022-2023學年高二上學期期末數學試題（ 含答案解析 ）

2022年秋季期高二年級期末教學質量監(jiān)測數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊，第二冊，選擇性必修第一冊，第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的乘法運算化簡求解即可.【詳解】.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元一次不等式求解A，利用一元二次不等式求解B，再利用交集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：D.3.直線與平行，則（）A.－2 B.2 C.6或－1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據兩直線平行與系數的關系即可求出結果.【詳解】由題可知，直線與平行，所以，得；經驗證，符合題意．故選：B4.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向量的投影向量求法直接得出答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.等比數列的前n項和為，則（）A.－2 B.2 C.－1 D.－4【答案】A【解析】【分析】求出，根據等比數列的性質求出.【詳解】因為為等比數列，且前n項和，根據等比數列的性質有所以．故選：A6.《中國居民膳食指南（2022）》數據顯不，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%.為了解某地中學生的體重情況，某機構從該地中學生中隨機抽取100名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據測量數據，按，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據調查的數據，估計該地中學生體重的中位數是（）A.50 B.52.25 C.53.75 D.55【答案】C【解析】【分析】結合頻率分布直方圖可求出頻率，即可判斷出中位數所在區(qū)間，即可求出中位數.【詳解】因為，，所以該地中學生的體重的中位數在內，設該中位數為，則，解得.故選：C.7.我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐是陽馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結合已知條件，根據空間向量的線性運算法則求解即可.【詳解】因為，所以.因，所以.因為，所以.故選：D.8.如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，圖中虛線上的數1,3,6,10,…構成數列，則（）A.20099 B.20100 C.21000 D.211001【答案】B【解析】【分析】先歸納出數列的遞推公式，然后利用累加法即可求解.【詳解】由題意，，，…，所以數列的遞推公式為，且，所以.所以，故.故答案為：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若函數，則（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對稱軸C.是的一個零點D.在上單調遞增【答案】BC【解析】【分析】根據正弦函數周期公式計算判斷A，利用代入法驗證函數的對稱軸及零點判斷B、C，根據正弦函數的單調性判斷D.【詳解】因為，所以的最小正周期，A不正確；當時，，故直線是圖象的一條對稱軸，B正確；當時，，故是的一個零點，C正確；當時，，由在上單調遞減，上單調遞增，所以在上不單調遞增，D不正確.故選：BC.10.我國古代數學著作《算法統宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關于該問題，下列結論正確的是（）A. B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人前八天共行走了一千零八十里【答案】BCD【解析】【分析】根據等差數列的前9項和和首項求出公差判斷A，根據通項公式計算第3項判斷B，根據求和公式計算前7項和及前8項和即可判斷C、D.【詳解】由題意,設此人第一天走里，第天走里，則是等差數列，，由，可得，故選項A錯誤；所以，故選項B正確；所以，所以，，故選項C、D正確.故選：BCD.11.已知雙曲線右焦點為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點．若以為直徑的圓恰好經過雙曲線的左頂點，則（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的離心率為 D.雙曲線的離心率為2【答案】BD【解析】【分析】根據題意，由為等腰直角三角形，列出方程求得及，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】如圖所示，設雙曲線的左頂點為，因為以為直徑的圓恰好經過雙曲線的左頂點，可得為等腰直角三角形，又因為過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，可得，所以，因為，所以，解得，所以雙曲線的離心率為，所以D正確；由，可得雙曲線的漸近線方程為，所以B正確．故選：BD.12.已知棱長為2的正方體的中心為，用過點的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為 D.所得的截面可以是菱形【答案】BCD【解析】【分析】結合平面的性質，分類討論作出截面判斷A、B，求解正六邊形的面積判斷C，根據平行四邊形的邊長相等判斷D.【詳解】一個平面去截正方體，考慮從正方體的上底面開始截入，不妨設上底面與截面的交線為線段，截取有兩種情況，第一種情況是兩點分別在兩對邊上或兩相鄰邊上，如圖，直線與相交于點，直線與相交于點，由正方體性質及面面平行性質定理知截面為平行四邊形.第二種情況，如圖，直線與相交于點，直線與相交于點，直線與相交于點，與相交于點，直線與相交于點與相交于點，易知所得截面為六邊形，A錯誤，B正確.當截面為正六邊形時，正六邊形的邊長為，它的面積為，C正確.當截面為平行四邊形時，由對稱性可知，若四邊形為菱形，則，可得，可得，可得或，可得或，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：對于與幾何體相關的截面問題，做出截面是解題關鍵.我們通常可利用空間幾何公理及推論或對平面延申找出共線，共面關系；也利用面面平行的性質做出截面在平行平面上的交線.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等差數列單調遞減，若，，則公差d的一個整數取值可以是______．【答案】－4（或－3，－2，－1，只需寫出一個答案即可）【解析】【分析】根據數列單調遞減可知，利用通項公式可得即可求得結果.【詳解】因為，由等差數列的通項公式可得，即，又是單調遞減數列，所以，故d的整數取值可以是－4，－3，－2，－1．故答案為：－414.甲?乙兩人各自在1小時內完成某項工作的概率分別為0.6，0.8，兩人在1小時內是否完成該項工作相互獨立，則在1小時內甲?乙兩人中只有一人完成該項工作的概率為___________.【答案】0.44##【解析】【分析】由獨立事件和互斥事件的概率公式進行求解.【詳解】由獨立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙沒有完成工作的概率為，乙完成工作而甲沒有完成的概率為，故概率為.故答案為：0.4415.已知函數為定義在上的奇函數，且當時，，則______.【答案】【解析】【分析】根據奇函數的性質可得，，即可求解.【詳解】因為為定義在上的奇函數，所以.因為當時，，所以，所以，故.故答案為：.16.已知正數是關于的方程的兩個實數根，則的最小值為______.【答案】9【解析】【分析】根據韋達定理并整理得，利用基本不等式中常數代換即可求解最小值.【詳解】因為正數是關于的方程的兩個實數根，所以，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，故的最小值為9.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.a，b，c分別為內角A，B，C的對邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊換角，再用和差公式化簡，代入倍角公式即可求解；（2）利用余弦定理的變形公式代入即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得：，，，，即：【小問2詳解】，，①，又②，③，聯立①②③解得：，，.即的周長為：16.18.已知數列的首項為1，前項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用得，再根據累乘法可求出；（2）根據錯位相減法可求出結果.【小問1詳解】因為，，所以，當時，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以當時，，又時，也符合，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以，，所以，所以，所以.19.已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據點在拋物線上及焦半徑公式，列方程組求解即可；（2）設出坐標，代入拋物線方程，結合弦中點，利用點差法即可求得直線的斜率.【小問1詳解】由題可知，，解得，故拋物線的方程為.【小問2詳解】設，則，兩式相減得，即.因為線段的中點坐標為，所以，則，故直線的斜率為2.20.如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F分別是棱，AC，BC的中點.（1）證明：平面.（2）求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因為E，F分別是棱AC，BC的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為D，F分別是棱，BC的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因為平面，平面，所以平面.因為平面ABD，且，所以平面平面.因為平面ABD，所以平面.（2）解：取的中點，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，，從而，，，.設平面ADE的法向量為，則令，得，設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面的夾角為，則.21.已知圓.（1）若過點向圓作切線，求切線的方程；（2）若為直線上的動點，是圓上的動點，定點，求的最大值.【答案】（1）或（2）8【解析】【分析】（1）分類討論，當切線的斜率不存在，易求的方程為；當切線的斜率存在時，設出直線方程，然后利用點到直線距離等于半徑建立方程求解即可；（2）根據圓的性質，利用三點共線的性質求解即可.【小問1詳解】若切線的斜率不存在，則的方程為；若切線的斜率存在，設切線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以圓心到的距離為3，即，解得，所以切線的方程為，即.綜上，切線的方程為或.【小問2詳解】因為，所以．設關于直線對稱的點為，則，解得，即因為，所以.因為，當且僅當三點共線時，等號成立，所以，故的最大值為.22.已知橢圓離心率為，左、右焦點分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，射線交橢圓于點，若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用橢圓的通徑公式以及離心率求出橢圓的方程即可；（2）設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立，根據弦長公式求出，利用三角形面積公式用表