2021年上海七年級數(shù)學期中測試-大題好拿分期中考前必做30題（壓軸版）教師版

大題好拿分期中考前必做30題(壓軸版)

1.計算:

(1)(2>/60-710x73)-715；(2)^32-7(-3)2+0.001^-(>/3-1)°；

(3)+2m+拒(4)《1一回-(河、迷)夜.

【難度】★★

【答案】(1)4-血；(2)4；(3)36-1;(4)-1-26.

【解析】(1)原式-(2屈-屈)+岳=4-血；(2)原式=-2-3+10-1=4；

(3)原式=若一1+2后=3?-l；(4)原式=1-有卜3百=招-1-3萬=-1-25

【總結】本題主要考查實數(shù)的計算，注意相關法則的準確運用.

2.(1)求最小的正整數(shù)處使得西布是一個自然數(shù).

(2)如果班麗是一個整數(shù)，那么最大的負整數(shù)”是什么？

【難度】★★

【答案】(1)w=7；(2)a=-5.

【解析】(1)原式=J175，〃=j25x7xn?=5,7x??,m=7；

(2)因為蚯麗=#2x2x2x5x5xa,所以最大的負整數(shù)a=-5.

【總結】本題主要考查對平方根及立方根的進一步理解及運算.

3.(1)已知：3(2x-y)2+|2-A|=0,求尸”的值；

(2)已知x>0,y>0,且x-而一6y=0,求》+但+>的值.

x+^xy-4y

【難度】★★

【答案】⑴(2)2.

16

【解析】(1)由題意知：2工一y=0且2-1=0'/.x=2,y=4,y~x=4-2=-p-；

(2)Vx-y[xy-6y=^\[x+2yjy^\/x-377)=0,H.x>0,y>0,

...6-34=0,艮S=3。，故x=9)，，...原式-9y+3y+4y=叵=2.

9y+3y-4y8y

【總結】本題主要考查實數(shù)的相關運算，注意觀察題目中的特征，求出相應的值.

4.如圖，已知NCOB=2NAOC,0閽分4AOB,且NCOO=19。，求//如的度數(shù).

【難度】★★

【答案】114。.

【解析】設//筱2x°,則/微）4x°,所以N46比6x°.

因為加平分NAm,所以ZAO￡>=，ZAO8=3x。（角平分線的意義）

2

所以NC*N力如一N4T=x°=19°，所以/月加=6x°=6X19=114°.

【總結】本題主要考查角平分線的運用及角度的相關計算.

5.如圖，ZAOC=ZBOD=[50°,若NAOO=3NBOC,求NBOC的度數(shù).

【難度】★★

【答案】30°.

【解析】設/班。=<,

則吠NCW=150°-Z,4AOD=3x°.

*：NB0C+/C0ANA0A4人0爐36§（圓周角的意義）

/.Z+（150°-x°）+（150°—x°）+3x°=360°

即300°+2x°=360°,解得：尸30°,即/8〃C=30°.

【總結】本題考查角度的相關計算，注意尋找角度之間的關系.

6.在△/!比中，如果/力、NB、/用外角的度數(shù)之比是4:3:2,求//的度數(shù).

【難度】★★

【答案】20。.

【解析】設//、NB、/或外角分別為4*、3x、2x,

因為三角形的外角和是360°,所以4戶3戶2戶360°,解得：產(chǎn)40°

.?./4的外角是160°,；.N4=20°.

【總結】本題主要考查二角形的外角和定理的綜合運用.

7.如圖，已知兩條平行線繆被直線的截，交點分別為G,H,耽如上任意一點，過夕點

的直線交必于0點.試說明：ZHOP^ZAGF-AHPO.

【難度】★★

【解析】vAB//CD（已知）

ZAGF=NGHP（兩直線平行，內錯角相等）

,;2GHP=ZH0P+ZHP0（三角形外角的性質）

ZHOP=ZGHP-ZHPO（等式性質）

ZHOP=ZAGF-ZHPO（等量代換）

【總結】本題考查平行線的性質與三角形外角性質的綜合運用.

8.已知CD=BC,B廬AD,心189△口?的周長是28c用求ZW的長.

【難度】★★

【答案】8cm.

【解析】VAC=CD+AD,AD=BD(已知)

二4C=C￡)+BO=1852①

乂因為△881的周長=CD+BD+BC=28cm②

山①②得：BC=}Ocm,CZ>10cm,.".BD=18-10=8cm.

【總結】本題主要考查線段之間的關系及長度的轉換.

9.利用事的運算性質計算：

（1）標x我+蚯；（2）防xQ十%.

【難度】★★

7

【答案】⑴4；（2）3巴

23211L]2

【解析】（1）原式=2陵23+24=2舊=2%=22=4；

312岸22_

（2）原式=3;x32+33=34*23=3元.

【總結】本題考查實數(shù)的相關運算，注意將根式的形式轉化為幕的形式進行計算.

10.計算:

(1)(V5+2)'-(75+2)°-(V5-2)?；

指+G

(2)(應+2/-(應-26+后)+^/3

【難度】★★

【答案】（1）875-1；（2）1472-13.

【解析】(1)原式=5+4+4石-1-5-4+4后=86-1；

原赳&+(26-網(wǎng)］-(2?-砌+(遙小膝+碼

（2）

=2—(2力—@f9+,=14應-13.

【總結】本題主要考查實數(shù)的計算.

IIII

11.已知：a+a-'=5,求（1）a2+a2；（2）片+”；（3）排一戶.

【難度】★★

【解析】(1)/+〃-2=(4+a-1_2=5?-2=23；

_1_11_11_1

(2)V(a5+a^^=a+a'+2=5+2=7,又。打小〉。，：.你+G=近；

(3)a，-〃'=a+a'—2=5—2=3,(P-a2=土石.

\7

【總結】本題考查實數(shù)的計算及完全平方公式的運用.

12.已知:,求相勺"次方根（〃為正整數(shù)）.

【難度】★★

2x+3y-120

2-4x-6y>0貂加[

【解析】根據(jù)被開方數(shù)的非負性得：，用牛得：x=2，y=-l，

7x-4y-\S>0

4y-7x+18>0

代入力得4=1,，（1）當〃為偶數(shù)時，/的〃次方根是±1；

（2）當〃為奇數(shù)時，4的〃次方根是1.

【總結】本題考查對平方根有意義的運用及分類討論思想的運用.

13.△/（比中，N/是最小角，N6是最大角，且有2N廬5N4若/碓最大值是"，最小值是〃。,

求”+〃的值.

【難度】★★

【答案】175°.

［解析］設4=5x,則NA=2x.

；NA+NB+NC=180。（三角形內角和等于180°）

ZC=180°-（5x+2x）=180°-7x（等式性質）.

XvZA<ZB<ZC,.-.2x<180-7x<5x,解得：15-<x<20°.

.-.75°<5x<100",.?.〃?=100","=75",m+n=175.

【總結】本題考查三角形的內角和定理及不等式性質的綜合運用.

14.如圖，己知口?〃跖，Zl+Z2=ZJ5a試說明45//V.

【難度】★★★

【解析】作行的延長線分別交/汨的延長線于"交尸G于4,

〃比1（已知）

二/2=/，4%（兩直線平行，同位角相等）

?：/1+NFHK+/FKH=18Q°（三角形內角和等于180°）

/FK出NHKG=180°（鄰補角的意義）

:.NHKG=18Q°一/FKH=/F曄八/2=/ABC

次'（同位角相等，兩直線平行）

【總結】本題主要考查平行線的性質定理及三角形內角和定理的綜合運用.

15.己知：德直線46上一點，NDOC馮0°,龐平分N60C；

（1）如圖①，若N/0C=3O°,求/戊㈤的度數(shù)；

（2）在圖①，若NAOC=。，求/〃位的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）圖①中的/〃OC繞頂點。順時針旋轉至圖②的位置，探究N/f比和/a雄I度數(shù)之間的

關系，寫出你的結論，并說明理由.

【難度】★★★

【解析】（1）：廄直角，/4微30°（已知）

.../應氏60°,/如廬90°+60°=150°（鄰補角的意義）

?：0酰分4BOC

:./BO@（角平分線的意義）

2

:.NDO男/BOE-乙BO兇5°-60°=15°（等式性質）

（2）VZAOC=a（已知），NAOC+N80c=180，（鄰補角的意義）

ZCOB=180°-a（等式性質）

:施平分N6%

/.Z.COE=-ZBOC=90°--a（角平分線的意義）

22

,/NDOC=NDOE+ZCOE=90。（角的和差）

ZDOE=ZBOE-ZBOD=90。十一（90"一a）=ga（等式性質）

（3）?.?NAOC+N80c=180，（鄰補角的意義）

NBOC=180"-N4OC（等式性質）

，：0腥分/B0C

;.NBOE=-ZBOC=90--ZAOC（角平分線的意義）

22

?;NDOC=NDOE+NCOE=90。(角的和差)

NBOD=90-ABOC=90-(180°-ZAOC)=N4OC-90(等式性質)

ZDOE=ZBOD+ZBOE=(NAOC-90°)+(90--NAOC)=-ZAOC

22

即ZAOC=2NDOE

【總結】本題綜合性較強，主要考查角平分線的意義及角的和差的綜合運用.

16.⑴如圖①，，以〃胡2,則N4+N4=.

如圖②，物則N4+/4+/4=.

如圖③，例11〃/\鬼，則N4+N4+N4+N4=.

如圖④，［4〃A4,則/4+/4+/4+/4+/4=.

從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請在圖②，圖③，圖④中選一個證明你的結論.

(2)如圖5,MAJ/NA“,則4+42+44,+…+幺=.

(3)利用上述結論解決問題：如圖已知AB//CD,/4BE和NCDE的平分線相交于百

ZE=140=,求NBFD的度數(shù).

【難度】★★★

【解析】⑴①?.?%//明(已知)

.?.NA+N&=180°(兩直線平行，同旁內角互補)

②過點&作4G//AM,

?:MAJM（已知），:ACWAMUN%（平行的傳遞性）

.?.幺+幺4G=180°,NG4A+NA；=180"（兩直線平行，同旁內角互補）

.?.幺+N&+NA,=360°（等式性質）

③過點&作AC,HA.M,過點A作AG//AM

-.■MA.//NA,（已知），.?.4?//Ag/MM//惚（平行的傳遞性）

???幺+414G=180°,NGAA+NAJAG=180°，NGAA,+NAJ=180°

（兩直線平行，同旁內角互補）

，

.-.Z41+ZA!+ZA,+ZAl=540（等式性質）

④過點4作4cl//AM，過點A作AC?//AM

?:MAJIN%（已知），.?.&CJ/A3c2〃A"/〃聯(lián)（平行的傳遞性）

幺+Z414cl=180°,ZC,A,A,+4424G=180'

ZC,A,A,+ZA,A,C,=180°,NGAA+Z4=180°

（兩直線平行，同旁內角互補）

.-.ZZ4,+Z4+ZA,+ZA,+ZA5=720°（等式性質）

（2）從上述結論中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：幺+4+4+…+4,=5-1）180,，

證明過程類似（1）;

（3）山規(guī)律知：ZABE+ZE+ZEDC=360",:.ZABE+ZEDC=360°-140=220",

又BF、。戶分別平分448E和NOE

NFBE+ZFDE=220^2=110

NF=360"-NFBE-NFDE-ZE=110".

【總結】本題主要考查平行線的性質定理的運用，綜合性較強，注意添加合適的輔助線.

17.如圖，a_Lb,垂足為0,0A=m,0B=n,m、〃滿足滿足惘-3|+（2〃-4）240.

（1）求加、〃的值；

（2）C為直線b上一動點，〃為△比1〃中/%用J外角平分線與NC力的平分線

的交點（如圖①），問是否存在點C,使/分L的.若存在，求N優(yōu)瞬）度數(shù)；

4

（3）C為直線6上力的上方一動點，￡為線段W8上一動點，連。延長交直線a于點及ACAB

和NC陽平分線交于尸（如圖②），點C在運動過程中/鉆°+“CO的值是否發(fā)生變化?

ZF

若不變求其值；若變化，求其范圍.

b

【難度】★★★

【解析】(1)?.伽一3|+(2〃-4)七0,,??加-3=0且2〃一4=0,

所以機=3,〃=2；

(2)由已知得，若NQ=』NCOB時，即NO=22.5°

4

又??,加為角平分線，

/.NCOD=-ZAOB=45°,/.ZDOC=180°-45°-22.5°=112.5°.

2

設NBOC為x,則NOCB=^(180°-A-),

/.x+-(180°-x)=112.5°,解得：x=45",

即OC=OB,點冰坐標為(0,2)；

(3)由已知得,

ZF=360°-ZFAO-ZFEO-90=360,--ZBAC-ZBAO-NCEB-ZCEO-90°

2

=360。-；(180°-NBAO)-NBAO-g0800-NCEO)-NCEO-90。

=360°-90°+,NBAO-ZBAO+-NCEO-90'

22

=90°--ZBAO--ZCEO

22

又ZABO+NECO=90-NBAO+90-ZCEO=180°-ZBAO-NCEO

：.2ZF=180°-NBAO-NCEO=ZABO+ZECO

即點C在運動過程中川°：產(chǎn)°的值是定值2.

ZF

【總結】本題綜合性較強，主要考查角平分線、中線和高的綜合運用，解題時認真分析.

18.(2019?上海閔行區(qū)?七年級期中)如圖，對面積為1的A4BC逐次進行操作：第一次操

作，分別延長AB、BC、CA至點A、片、C,,使得AB=2A8,BC=2BC,CtA=2CA,

順次連接A、4、G，得到A4,4G，記其面積為岳；第二次操作，分別延長4用、B￡、

GA至點4、4、G，使得人2旦=244、B2G=2BC、GA=2GA，順次連接A2、82c2,

得到A4282c2,記其面積為邑，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到必叫1c6,則其面積$2=

【答案】361

【分析】根據(jù)三角形等高時底之比等于面積比得出MBC的面積為AA5C面積的兩倍，則

的面積是的2倍…，以此類推，得出的面積.

【詳解】

連接AC，A旦，,根據(jù)AB=2A8,MBC的面積為A4BC的2倍，所以AA/C的面積

為2；同理的面積為的2倍，所以M4C的面積為4；

以此類推：AAC用的面枳為2,A4C；片的面積為4,A4BG的面積為2,4以^的面積為4

.?.然4G=S=19,即A414G面積為AABC面積的19倍，以此類推2G的面積為

A4BC面積的I倍，所以AA282G=S2=守xl=361.

故答案為：361

【點睛】利用三角形的底與高之間的數(shù)量關系判斷面積的數(shù)量關系是解決本題的關鍵.

19.(2019?上海市嘉定區(qū)震川中學七年級期中)對于實數(shù)a,我們規(guī)定用｛4｝表示不小于6

的最小整數(shù)，稱匕｝為a的根整數(shù).如｛而｝=4.

⑴計算｛囪｝=?

(2)若｛m｝=2,寫出滿足題意的m的整數(shù)值；

(3)現(xiàn)對a進行連續(xù)求根整數(shù)，直到結果為2為止.例如對12進行連續(xù)求根整數(shù),第一次{疵}=4,

再進行第二次求根整數(shù){4}=2,表示對12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結果為2.對100進行連續(xù)求根

整數(shù)，次后結果為2.

【答案】(1)3；(2)2,3,4(3)3

【分析】(1)先計算出囪的大小，再根據(jù)新定義可得結果；

(2)根據(jù)定義可知1〈而。2,可得滿足題意的m的整數(shù)值;

(3)根據(jù)定義對100進行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結果為2.

【詳解】解：(1)根據(jù)新定義可得，{囪}=3,故答案為3；

(2)V{m}=2,根據(jù)新定義可得，1<而W2,可得m的整數(shù)值為2,3,4,故答案為2,3,4；

(3)V{100}=10,{10}=4,{4}=2,...對100進行連續(xù)求根整數(shù)，3次后結果為2；故答案為3.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應用，主要考查了對新定義的理解能力，準確理解

新定義是解題的關犍.

20.(2019?上海市松江區(qū)九亭中學七年級期中)對于實數(shù)a,我們規(guī)定：用符號［&］表示不

大于G的最大整數(shù)，稱［&］為a的根整數(shù)，例如：［囪］=3,［Vw］=3.

(1)仿照以上方法計算：［4］=；［726］=.

(2)若=寫出滿足題意的x的整數(shù)值______.

如果我們對a連續(xù)求根整數(shù)，直到結果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次［M］=3-

這時候結果為1.

(3)對100連續(xù)求根整數(shù)，一次之后結果為1.

(4)只需進行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結果為1的所有正整數(shù)中，最大的是—.

【答案】(1)2；5；(2)1,2,3；(3)3；(4)255

【分析】(1)先估算"和而的大小，再由并新定義可得結果；

(2)根據(jù)定義可知x<4,可得滿足題意的x的整數(shù)值；

(3)根據(jù)定義對120進行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結果為1；

(4)最大的正整數(shù)是255,根據(jù)操作過程分別求出255和256進行幾次操作，即可得出答案.

【詳解】解：(1)V22=4,6:i=36,52=25,.-.5<V26<6,

；.［4］=［2］=2,［瘍］=5,故答案為2,5；

(2)Vl2=l,2M,且，x=l,2,3,故答案為1,2,3；

(3)第一次：［而5］=10,第二次：［加］=3,第三次：［石］=1,故答案為3；

（4）最大的正整數(shù)是255,

理由是：；[后^]=15,[疥]=3,

.?.對255只需進行3次操作后變?yōu)?,

?；[5256]=16,LV161=4,[-y4-I=2>-^21=1>

.?.對256只需進行4次操作后變?yōu)?,

...只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255,

故答案為255.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應用，主要考查學生的閱讀能力和猜想能力，同時

也考查了一個數(shù)的平方數(shù)的計算能力.

21.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級月考）已知j+xW=3'求x+x~

【答案】7

【分析】根據(jù)題意，把已知的代數(shù)式兩邊分別求平方，化簡即可.

【詳解】因為

AiA-J

所以（1+■）2=x+x'+2=9

所以x+x'=7.

22.（2020?上海靜安區(qū)?七年級期中）（1）如圖。所示，45〃CO,且點E在射線AB與

之間，請說明NAEC=ZA+NC的理由.

（2）現(xiàn)在如圖6所示，仍有AB//CD,但點E在AB與CO的上方，

①請嘗試探索Nl,Z2,NE三者的數(shù)量關系.

②請說明理由.

【答案】（1）;（2）①Nl+N2-NE=180°；②見解析

【分析】（1）過點E作EF〃AB,根據(jù)平行線的性質得到NA=NAEF和NFEC=NC,再相加即可;

（2）①、②過點E作EF〃AB,根據(jù)平行線的性質可得NAEF+N1=18O°和NFEC=N2,從而可

得三者之間的關系.

【詳解】解：（1）過點E作EF〃AB,.../A=/AEF,

；AB〃CD,...EF〃CI),，NFEC=NC,

ZAEC=ZAEF+ZFEC,，ZAEC=ZA+ZC；

(2)①Nl+N2-NE=180°,

②過點E作EF〃AB,ZAEF+Z1=18O°,VAB/7CD,AEF/7CD,.*.ZFEC=Z2,

即NCEA+NAEF=/2,.,./AEF=N2-NCEA,.,./2-/CEA+Nl=180°,BPZl+Z2-ZAEC=180°.

【點睛】本題考查了平行線的性質，作輔助線并熟記性質是解題的關鍵.

23.（2018?上海普陀區(qū)?七年級期中）如圖1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,

求NAPC的度數(shù).

小明的思路是：過戶作PE//A8,通過平行線性質來求NAPC.

（1）按小明的思路，求NAPC的度數(shù)；

（問題遷移）

（2）如圖2,ABHCD,點P在射線OM上運動，記NPAB=a,^PCD=/3,當點p在8、

。兩點之間運動時，問NAPC與a、尸之間有何數(shù)量關系？請說明理由；

（問題應用）：

（3）在（2）的條件下，如果點P在B、。兩點外側運動時（點P與點。、B、。三點不重

合），請直接寫出NAPC與a、夕之間的數(shù)量關系.

【答案】（1）110°；（2）ZAPC=Za+Z3,理由見解析；（3）NCPA=Na-/B或/CPA=

ZP-Za

【分析】（1）過P作PE〃AB,通過平行線性質可得NA+NAPE=180°,ZC+ZCPE=180°再代

入NPAB=130°,ZPCD=120°可求NAPC即可；

（2）過P作PE〃AD交AC于E,推出AB〃PE〃DC,根據(jù)平行線的性質得出/a=/APE,Z3=Z

CPE,即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質得出

Za=ZAPE,Z3-ZCPE,即可得出答案.

【詳解】解：（1）過點P作PE〃AB,

VAB#CD,

，PE〃AB〃CD,

AZA+ZAPE=180°,ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=130",ZPCD=120",

：.ZAPE=50°,ZCPE=60°,

AZAPC=ZAPE+ZCPE=UO0.

（2）ZAPC=Za+Z3,

理由:如圖2,過P作PE〃AB交AC于E,

；.AB〃PE〃CD,

AZa=ZAPE,ZP=ZCPE,

NAPC=NAPE+NCPE=Na+/B；

(3)如圖所示，當P在BD延長線上時,

ZCPA=ZP-Za.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一

道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用.

24.（2018?上海松江區(qū)?）（1）如圖，E是直線AB,C。內部一點，連接EA,

ED.

探究猜想：

①當NA=3O。，NO=40。，則NAEO=。；

②猜想圖1中NAED、NA、ND的關系：

（2）如圖，射線尸E與平行四邊形ABC。的邊AB交于點E,與邊CD交于點F.圖2中

分別是被射線FE隔開的2個區(qū)域（不含邊界），P是位于以上兩個區(qū)域內的一點，猜想NPEB,

NPFC,NEPF的關系（不要求說明理由）

NPEB,ZPFC,NEP尸的關系為:

（3）如圖，AB//CD,已知NE+NG=a,N3=￡,NF+ND=.（用含有

a、廠的代數(shù)式表示）

【答案】（1）①NAE￡>=70。；②NAEZ）=NA+N。：（2）當點p在a區(qū)域時,

ZEPF+ZPEB+ZPFC=360°；當點P在區(qū)域b時，NEPF=NPEB+NPFC；(3)a-/3

【分析】（1）①過點E作EFHAB,則EF11CD，得出NA=ZAEF,ND=ZDEF,即可得

出結果；

②由①即可得出結果；

（2）①當P位于。區(qū)域內時，過點P作PN平行AB,由平行四邊形的性質得出AB//。，則

PN//CD,得出NEPN=ZAEP,NFPN=NDFP,再由NPEB+ZA"=180°,

ZPFC+ZDFP=IS00,即可得出結果；

②當P位于6區(qū)域內時，過點P作PN平行AB,由平行四邊形的性質得出AB//CD,則PN//CD,

得出NEPN=NPEB,NFPN=ZPFC,即可得出結果；

（3）過點F作尸N//AB,由（1）得，NE=NB+NEFN,NG=ND+NGFN,即

NE+NG=NB+NF+ND,即可得出結果.

【詳解】

解：（1）①過點E作EF//AB,如圖1所示：

vAB//CD

EFHCD

ZA=ZAEF,ZD=ZDEF

ZAEF=30°,ZDEF=40°

ZAED=70°

②由①得：ZAED^ZA+ZD

(2)①當P位于。區(qū)域內時，過點P作PN平行AB,如圖2①所示:

圖2①

四邊形ABCD是平行四邊形

AB//CD

則PN//CD

NEPN=NAEP,ZFPN=ZDFP

???NPEB+NAEP=180°,ZPFC+NDFP=180°

NEPF+NPEB+ZPFC=360°

②當P位于6區(qū)域內時，過點P作PN平行AB,如圖2②所示:

???西邊形ABCD是平行四邊形

AB//CD

則PN//CD

ZEPN=ZPEB,ZFPN=ZPFC

NEPF=NPEB+ZPFC

故答案為：當點尸在。區(qū)域時，ZEPF+ZPEB+ZPFC=360°；當點尸在區(qū)域方時,

NEPF=NPEB+ZPFC:

（3）過點F作/W//A8,如圖3所示：

由（1）得，NE=NB+NEFN/G=ND+NGFN

NE+NG=NB+NF+ZD

即a-/3+?F?D

Z.FZ.D=a—p

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質定理、平行線的性質定理，作出合適的輔助線及掌握

性質定理是解題的關鍵.

25.（2018?上海金山區(qū)?七年級期中）問題情境：如圖1,AB//CD,NPA3=130°,

ZPCD=120°,求NAPC的度數(shù).

小明的思路是：如圖2,過p作PEZ7AB,通過平行線性質，可得NAPC=.

問題遷移：如圖3,BC,點尸在射線。M上運動，ZADP^Za,4BCP=乙/3.

(1)當點尸在A、B兩點之間運動時，4CPD、Na、2夕之間有何數(shù)量關系？請說明理由.

(2)如果點P在A、B兩點外側運動時(點P與點A、B、。三點不重合)，請你直接寫

出NCPQ、Na、之間有何數(shù)量關系.

【答案】110°；(1)NCPD=Na+"；理由見解析；(2)當點尸在B、。兩點之間時,

乙CPD=4a—40；當點P在射線AM上時，ZCPD=Z^-Za.

【分析】問題情境：理由平行于同一條直線的兩條直線平行得到PE〃AB〃CD,通過平行線性

質來求NAPC.

(1)過點P作PQZ7AD,得到PQZ7AD。5c理由平行線的性質得到NAOP=NDPQ,

NBCP=ZCPQ,即可得到NCPD=ZDPQ+ZCPQ=ZADP+ZBCP=Na+N力

(2)分情況討論當點P在B、。兩點之間，以及點尸在射線AM上時，兩種情況，然后構造

平行線，利用兩直線平行內錯角相等，通過推理即可得到答案.

【詳解】

解：問題情境：

圖2

：AB〃CD,PEL]AB

；.PE〃AB〃CD,

.,.ZA+ZAPE=180",ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=130",ZPCD=120",

：.ZAPE=50°,NCPE=60°,

AZAPC=ZAPE+ZCPE=50°+60°=110°；

(1)NCPO=Na+N￡

過點P作PQOAO.

p.

'/DQ/c。

又因為AO〃8C,所以PQZ7AO4BC

則NAT)P=N￡)PQ,NBCP=NCPQ

所以ZCPD=ZDPQ+ZCPQ=ZADP+NBCP=Za+Zj3

(2)情況1:如圖所示，當點P隹B、0兩點.之間時

過P作PE〃AD,交ON于E,

VAD/7BC,

；.AD〃BC〃PE,

NDPE=NADP=Na,ZCPE=ZBCP=ZB,

ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-/B

情況2：如圖所示，當點尸在射線AM上時,

過P作PE〃AD,交ON于E,

VAD/7BC,

；.AD〃BC〃PE,

/.ZDPE=ZADP=Za,ZCPE=ZBCP=ZB,

NCPD=/CPE-NDPE=NB-/a

【點睛】本題主要借助輔助線構造平行線，利用平行線的性質進行推理.

26.（2019?上海黃浦區(qū)?七年級期中）（1）如圖1,已知直線相〃〃，在直線〃上取4B兩

點，C、P為直線加上的兩點，無論點C、P移動到任何位置都有：SABCS協(xié)BP

（填“>”、或"="）

（2）如圖2,在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把

種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請問應該怎么改進呢？

寫出設計方案，并在圖中畫出相應圖形并簡述理由.

（3）如圖3,王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形OEFG,中間有條分界小路（圖中折線

ABC）,左邊區(qū)域為王爺爺?shù)?，右邊區(qū)域為李爺爺?shù)摹，F(xiàn)在準備把兩家田地之間的小路改為

直路，請你用有關的幾何知識，按要求設計出修路方案，并在圖中畫出相應的圖形，說明方

案設計理由。（不計分界小路與直路的占地面積）.

【答案】（1）=；

【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等，所以無論點C、P在加上移動到何位置，總有

口A3c與△A8P同底等高，因此它們的面積相等；

（2）利用同底等高的三角形的面枳相等即可求得設計方案；

（3）連結AC,過B點作AC的平行線P。，連結AQ或CP,則AQ或CP即為所修直路.

【詳解】

（1）?.?口43。與443尸有共同的邊45,

又■:mlln,

ADABC與XABP的高相等，即口A3C與△A3P同底等高，

,"SABC=5以.，

故答案為：=；

（2）方法一：

連結4C,將口48的區(qū)域用于種植大豆，口人5c的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下:

在梯形/反力中，AD//BC,

則XNCE與△43E同底等高，

??S^cE=SjBE?

,?S3BE+*^AECD=S^cE+SWCD?

艮|JSgCD~SgBE+^AECD?

又由AD//BC可知口A5C與口EBC同底等高，

,?°ABC-0EBC?

，該設計方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；

AED

，-----------------------AC

方法二

連結8。，將△A8D的區(qū)域用于種植大豆，口5CD的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下:

在梯形力比2沖，AD//BC,

則口BED與口CEO同底等高，

?

?,qJBED—~v°CED，

??SME+SCED~SABE+SBED?

即ABD=S/旌+SCED,

又由AQ〃BC可知口5。￡>與DBCE同底等高，

?,SgCD=S^BCE，

???該設計方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；

A,'、D

，

B￡----------------------------4c

(3)方法一

連結AC,過B點作AC的平行線P。：連結AQ,AQ即為所修直路.

將四邊形AOEQ的區(qū)域分給王爺爺，四邊形AGFQ的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：

PQ//AC,則ABCQ與△ABQ同底等高，

S&BCQ=S&WQ?則S"0尸+S博CQ~SAA?>+^AABQ>

即SAA相=S/^ABP+S&JC0,

又由PQ〃ACuj知匚ABC與口ACQ同底等高,

^/\ABC=$A4c°>

AQ滿足修路方案;

方法二：

連結AC,過8點作AC的平行線PQ：連結PC,PC即為所修直路.

將四邊形CEDP的區(qū)域分給王爺爺，四邊形CPGF的區(qū)域分給李爺爺，理由如下:

PQIIAC,則ZsABP與口尸3。同底等高，

SAAB,=，則SAW+=^A/^C+S&BCQ）

即SCPQ=SABP+SBCQ,

又由PQ〃AC可知DABC與△ACP同底等高，

??S/^BC=S.CP>

PC滿足修路方案.

【點睛】本題主要考查了兩條平行線間的距離處處相等.只要兩個三角形是同底等高的，則

兩個三角形的面積一定相等.解題的關鍵還要根據(jù)等式的性質進一步進行變形.

27.（2019?上海市江寧學校七年級期中）請你經(jīng)過點A作一條直線使五邊形化為與之面積相

等的四邊形。

CD

【分析】連接AD,過點E作EF〃AD交CD的延長線于F,連接AF,止匕時S叱=5.，進而得到

SAEM=S"FM，可得S四邊形二S五邊形ABCDE，則直線AF為所求直線.

【詳解】

連接AD,過點E作EF〃AD交CD的延長線于F,連接AF,此時S=,直線AF為所求

mWfiABCFSWABCDE

直線.

理由：；AD〃EF,

?q_q

,?OADE-QADF>

?,5ADE~^ADM=§ADF~SADM>

即SAEM=SDFM,

四邊形-S砌

SM3CF形ABCDE■

【點睛】本題主要考查了平行線間距離，根據(jù)圖形正確作出平行線是解題的關鍵.

28.(2019?上海市光明中學七年級期中)如圖，直線AB〃CD,點E在直線AB上,點G在直線CD上,

點P在直線AB.CD之間，ZAEP=40°,ZEPG=90°

⑴填空:/PGC=°；

(2)如圖，點F在直線AB上，聯(lián)結FG,NEFG的平分線與NPGD的平分線相交于點Q,當點F在點E的

右側時，如果NEFG=30°,求/FQG的度數(shù)；

解:過點Q作QM〃CD

因為NPGC+/PGD=180°

由（1）得/PGC=0,

所以NPGD=180°-NPGC=°,

因為GQ平分/PGD,

所以ZPGQ=ZQGD=-ZPGD="

2

（下面請補充完整求/FQG度數(shù)的解題過程）

（3）點F在直線AB上,聯(lián)結FG,/EFG的平分線與/PGD的平分線相交于點Q.如果NFQG=2/BFG,

請直接寫出NEFG的度數(shù).

【答案】（1）50；（2）/FQG的度數(shù)為130°；（3）/FQG的度數(shù)為98°.

【分析】（1）延長GP交AB于點H,由AB〃CD,得NH=NPGC,在直角△PEH中由NH與NAEP互

余，可求出NH的角度，即為NPGC的角度.

（2）過點Q作QM〃CD,由（1）結論可求/PGD,然后由角平分線求NQGD,再由QM〃CD求出/

MQG,由QM〃AB求出NFQM,最后由NFQG=NMQG+NFQM得出結果.

（3）設NEFG=x°,則NBFG=（180-x）°,由QF平分NEFG,可得NEFQ='x。，由（2）的

2

方法可用x表示出/FQG,然后根據(jù)NFQG=2NBFG,建立方程求解.

【詳解】

（1）如圖所示，延長GP交AB于點H,因為AB〃CD,所以NH=NPGC,在在直角APEH中，ZH+

ZHEP=90",所以NH=90°-ZAEP=50°.

(2)過點Q作QM〃CD

因為NPGC+NPGD=180°

由⑴得NPGC=50°

所以NPGD=180°-ZPGC=130"

因為GQ平分/PGD,

所以NPGQ=NQGD=1ZPGD=65°

2

因為QM〃CD

所以NMQG+NQGD=180°,則NMQG=180°-65°=115°

又因為QM〃CD〃AB

所以NFQM=/EFQ

而QF平分/EFG

所以/EFQ=/QFG=，ZEFG=15°

2

所以NFQG=NMQG+NFQM=115°+15°=130°

（3）設NEFG=x°,則/BFG=（180-x）°,由QF平分NEFG,可得/EFQ=」x°,由（2）可

2

知NMQG==115°,ZFQM=ZEFQ=-x°,ZFQG=（115+-X）°,由條件NFQG=2/BFG可得115+

22

-x=2（180-x）,解得x=98,故NEFG的度數(shù)為98°.

2

【點睛】本題考查平行線間的角度計算，需要靈活進行角度的轉換，建立等量關系，從而求

解.

29.（2019?上海市市八初級中學七年級期中）如圖（a）五邊形ABCDE是張大爺十年前承包

的一塊土地示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已經(jīng)變成圖（b）所示的形狀.但承包土地與開墾

荒地的分解小路，即圖（b）中折線CDE還保留著.張大爺想過E點修一條直路EF,直路修好后，

要保持直路左邊的土