2021年新高考地區(qū)數(shù)學名校押題11 概率問題（選擇與填空）（解析版）

精選11概率問題（選擇與填空）

求復雜事件的概率的常見方法：

（1）將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件；

（2）若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面

的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少……”或“至

多……”型事件的概率.

（3）排列組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解

答時可用直接法，也可用間接法.用直接法求解時，要注意合理地分類或分步；用間接法求

解時，要注意題目中“至少”“至多”等關鍵詞的含義，做到不重不漏.

一、單選題

1.從2016年1月1日起，“全面二孩’'政策在全國范圍內實施，許多年輕夫婦都積極地響應

國家號召，在六年內生育了二胎，因此在有兩個孩子的每戶家庭中，若按孩子的性別來進行

分類，共會出現(xiàn)三類家庭，分別為“兩個男孩型”家庭，"一男一女孩型''家庭，“兩個女孩型”

家庭.M市消費者協(xié)會為了解有兩個孩子家庭的某些日常生活消費指數(shù)，從該市有兩個孩

子（假設每胎只生一個小孩，科學研究證明每胎生男生女機會均等）的家庭中隨機地抽取

600戶進行調查統(tǒng)計，則估計其中是“一男一女孩型”家庭的戶數(shù)為

A.150B.200

C.300D.400

【答案】c

【解析】因每胎生男女概率相等，則所有的兩孩種類有，①第一胎男孩，第二胎男孩：②第

一胎男孩，第二胎女孩；③第一胎女孩，第二胎男孩；④第一胎女孩，第二胎女孩；

211

故“一男一女孩型”所占概率為一=—，則600戶中有“一男一女孩型”600x—=300.

422

故選C.

2.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實現(xiàn)目標，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部

派遣到A,B,C三個貧困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲、乙2名干部不

被分到同一個貧困縣的概率為

【答案】D

【解析】甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A,B，C?:個貧困縣扶貧，共有禺=36種

情況，其中甲、乙2名干部被分到同一個貧困縣共有q=6種情況，

所以甲、乙兩名干部不被分到同一個貧困縣的概率為1-￡=且.故選D.

366

3.3位大學生乘坐同一列動車，該動車有8節(jié)車廂，則至少有2位大學生在同一節(jié)車廂的

概率為

【答案】C

【解析】基本事件的總數(shù)有83種，大學生1個人在不同車廂的事件數(shù)為

所以至少有2位大學生在同一節(jié)車廂的概率為藝三星=口.故選C

8332

4.袋子中有5個大小質地完全相同的球.其中3個紅球和2個白球，從中不放回地依次隨

機摸出兩個球.則摸出的兩個球顏色相同的概率為

【答案】B

【解析】從中不放回地依次隨機摸出兩個球，基本事件總數(shù)〃=&=20,

兩個球同色的包含的基本事件個數(shù)〃=4；+￡=8,

Q0

所以兩個球同色的概率為0=：=方=不，故選B.

5.《鏡花緣》是清代李汝珍的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座閣樓到處掛滿了五彩繽

紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另種是大燈下綴4個小燈，大燈共

360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取兩個燈球，則至少有一個燈球

是大燈下綴4個小燈的概率為

119160

A.------B.-----

1077359

958289

C.------D.-----

1077359

【答案】C

【解析】設有X個大燈球下綴有2個小燈，y個大燈球下綴有4個小燈,

x+y=360x=120

則《

2x+4y=1200y=240

設隨機抽取2個燈球，至少有一個是下綴有4個小燈的大燈球為事件A

則”福故選c

6.“華東五市游”作為中國一條精品旅游路線一直受到廣大旅游愛好者的推崇.現(xiàn)有4名高

三學生準備2021年高考后到“華東五市''中的上海市、南京市、蘇州市、杭州市四個地方旅

游，假設每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率

為

【答案】B

【解析】現(xiàn)有4名高三學生準備2021年高考后至U“華東五市”中的上海市、南京市、蘇州市、

杭州市四個地方旅游，假設每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游，

基本事件總數(shù)“=44=256，恰有一個地方未被選中包含的基本事件個數(shù)機=C:看=144,

144Q

則恰有一個地方未被選中的概率為尸=一=——,故選B.

n25616

7.如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別

對應平行，且各邊都被交點三等分.若往該圖案內投擲一點，則該點落在圖中陰影部分內的

概率為

【答案】C

【解析】設六角星的中心為點國分別將點中兩個大等邊三角形的六個交點連接起來,

則將中間的正六邊形分成了六個全等的小等邊三角形，且與陰影部分六個小等邊三角形也是

全等的，

所求的概率［岡］故選C.

【名師點睛】解與面積有關的幾何概型問題的三個關鍵點：

(1)根據(jù)題意確認是否與面積有關的幾何概型問題；

(2)找出或構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關面積；

(3)套用公式，從而求得隨機事件的概率.

8.如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別

對應平行，且各邊都被交點三等分.若往該圖案內投擲一點，則該點落在圖中空白處(非陰

影部分)的概率為

1

A.-

4

25

3-D.6-

【答案】B

【解析】設六角星的中心為點后分別將點⑼寸兩個等邊三角形的六個交點連接起來，如

圖，則將空白部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的,

所以所求的概率為囚.故選B

9.某商業(yè)區(qū)要進行"5G”信號測試，該商業(yè)區(qū)的形狀近似為正六邊形ABCDEE,某電訊公

司在正六邊形的對角頂點A、。處各安裝一個基站，達到信號強度要求的區(qū)城剛好是分別

以A、。為圓心，正六邊形的邊長為半徑的兩個扇形區(qū)域，未達到倍號強度要求的區(qū)域為

“5G”信號盲區(qū).若一游客在該商業(yè)區(qū)域內購物，則他剛好在“5G”信號盲區(qū)內的概率約為.

B.J叵

9

D.

27

【答案】D

【解析】如圖，陰影部分為達到信號強度要求的區(qū)域，

設正六邊形ABC。防的邊長為域則回

0，則該游客剛好在“5G”信號盲區(qū)內的概率約為

，故選D.

10.小籠包在生活中非常常見，不同地方做出來的小籠包有不同的特色，無錫有一家商鋪制

作一種一籠有8個且是8種口味的小籠包，這8種口味分別為蟹粉味、鵝肝味、墨魚味、芝

士味、麻辣味，蒜香味、人參味，醬香味，將這樣的一籠小包取出，排成一排，則人參味小

籠包既與蟹粉味小包相鄰又與墨魚味小籠包相鄰的概率為.

11

A.——B.—

5628

12

C.-D.-

87

【答案】B

【解析】將這8種口味的小籠包排成一排，共有國種排法，

人參味小籠包既與蟹粉味小包相鄰又與墨魚味小籠包相鄰有叵二|種排法，

故所求概率為國.故選B.

11.衡陽創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中，大力加強垃圾分類投放宣傳.某居民小區(qū)設有“廚

余垃圾”、”可回收垃圾”、"其它垃圾”三種不同的垃圾桶.一天，居民小賢提著上述分好類

的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對的概率為

【答案】D

【解析】3袋垃圾中恰有1袋投放正確的情況有g種情形,

由古典概型計算公式得三袋恰投對一袋垃圾的概率為,故選D.

12.如圖，在RABC中，O,E是AB邊上兩點，的'=2祝，且口友加，AEDM，向

的面積成等差數(shù)列.若在口鉆。內隨機取一點，則該點取自國I的概率是

A.FB.B

13.在平面直角坐標系回中，已知點|國|和圓|岡在圓131t任取一點國

連接同，則直線同的斜率大于巨|的概率是

【答案】D

【解析】如圖:

當直線瓦I的斜率為回二I時，傾斜角為國］,

當點國r優(yōu)弧可不含端點）上時,直線巨?的斜率大于巨|；

4

A.

U1-3一

B.岡

同D.

【答案】B

【解析】從用2,垃…，國中任取一個數(shù)共有國種情況，其中能被4整除的數(shù)共有4,

8，國，目國,舊,國，國,國,國，舊,國共國個，故所求概率囚.故

選B

【名師點睛】古典概型的概率計算中列舉基本事件的方法：

（1）枚舉法；（2）列表法；（3）坐標法；（4）樹狀圖法.

15.割補法在我國古代數(shù)學著作中稱為“出人相補”，劉徽稱之為“以盈補虛”，即以多余補不

足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn).如圖，揭示了劉徽推導三角形面積公式的方法，在

三角形國二|內任取一點，則該點落在標記''盈”的區(qū)域的概率

【答案】A

【解析】易知，“盈”的面積等于“虛'’的面積，從而三角形面積等于矩形面積，而“虛”占矩形

面積的百分數(shù)即‘'盈''占三角形的百分數(shù).“盈"與"虛''的交界點在三角形腰的中點上，易知，

"虛'’占矩形面積的四分之一，故“盈”占三角形面積的四分之一.故選A.

16.“易經(jīng)”是我國古代思想智慧的積累與結晶，它具有一套獨特的、創(chuàng)新的圖示符號，用

“一”''——"兩種"爻''的符號代表陰陽，“一”稱為陽爻、”——”稱為陰爻.陰陽兩爻在三個位

置的不同排列組成了八卦.兩個八卦疊加而成64圭卜，比如圖中損卦，即為陽爻占據(jù)1,5,

6三個位置，陰爻占2,4,5位.從64卦中任取1圭卜，陽爻個數(shù)恰為2且互不相鄰的概率

【答案】D

【解析】4個陰爻隔開5個位置，2個陽爻在5個位置上排列種數(shù)為|國

故所求概率為岡.故選D

17.古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有

陰眼，陰魚的頭部有陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽

相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形三廠|）

是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標系，設國二|，從A,B,

C,。，耳目目目這個8個頂點中任選2個并連接成一條線段，則該線段的長度

恰好為國的概率為

【答案】B

【解析】由題意，從A,B，C,D，回目H]8個頂點中任選2個并連接成

一條線段，共有|叵T|（條）,

其中線段的長度恰好為囪的行向]，耳，國，耳，耳，耳，團，耳，共8

條，所以所求概率為E.故選B.

18.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，是中國古代一

項偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最

早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才北周甄鸞為

此作注,大意是把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下

圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位……，上面一顆珠（簡稱上

珠）代表5,下面一顆珠（簡稱下珠）代表1,即五顆下珠的大小等于同組一顆上珠的大小.現(xiàn)

在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤活w上珠，從個位、十位和百位這三組中隨機往上

撥2顆下珠，算盤表示的數(shù)能被5整除的概率是

胖卅出卅

【答案】B

【解析】由題意可知，若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5,下珠上的兩個都在個位、十位、百位,

這時表示的數(shù)是|岡|,岡|,向|:若上珠下?lián)艿氖鞘?，表?0,

下球上的兩個都在個位、十位、百位，這時表示的數(shù)是算盤所表示的數(shù)是||,

岡|，|岡];若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5,下珠上的兩個分別在個位、

十位，或者個位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)位因|,|岡|,

囚I；若上珠下?lián)艿氖鞘?，表?0,下珠上的兩個分別在個位、十位，或者個

位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)是[7]I，|?I，|WI，

所以表示的數(shù)可能有7,16,25,52,61,70,106,115,151,160,205,250,其中能被

5整除的有6個，故所求事件的概率為岡.故選B.

19.某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：。C）

有關.如果最高氣溫不低于25℃,需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間|仁一

需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃,需求量為100瓶.為了確定6月份的訂購計劃，

統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫因回1因1岡1國1

天數(shù)45253818

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.若6月份這種冷飲一天的需

求量不超過X瓶的概率估計值為0.1,則目

A.100B.300

C.400D.600

【答案】B

【解析】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃,

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為囚，

所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.1.故選B.

20.在某電視臺有一闖關節(jié)目，該節(jié)目設置有兩關，闖關規(guī)則是當?shù)谝魂P闖關成功后，方可

進入第二關.為了調查闖關的難度，該電視臺調查了參加過此節(jié)目的國名選手的闖關情況,

第一關闖關成功的有國人，第一關闖關成功且第二關闖關也成功的選手有斗，以闖關成

功的頻率近似作為闖關成功的概率，已知某個選手第一關闖關成功，則該選手第二關闖關成

功的概率為

A.I岡IB.國

C-國D.|』|

【答案】C

【解析】第一關闖關成功的選手有國人，則第一關闖關成功的頻率為國，

第一關闖關成功且第二關闖關也成功的選手有0人，則兩關都成功的頻率為耳

設“第一關闖關成功”為事件A,“第二關闖關成功”為事件B,

0，叵1,某個選手第一關闖關成功,

則該選手第二關闖關成功的概率為口.故選C

21.如圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數(shù)字，若六個三角形上的數(shù)字之和為22,

則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數(shù)字之和為14.現(xiàn)從|臼|這

七個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字標在另外兩個三角形上則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率

為

【答案】C

【解析】由條件可知，要使該圖形為“和諧圖形”，則從從,2,母4,日日母這七

個數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和是8,任選兩個數(shù)共有叵二|種情況，其中和為8的有

|B|＞目二I，I兇|共3種情況,所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率岡.故

選C.

22.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，

梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例

如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個位檔撥上四顆下珠，則表示數(shù)字74,若在個、十

、百、千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠，則所表

示的數(shù)字大于300的概率為

千百十個

位位位位

74

【答案】A

【解析】由題意，在個、十、百、千位檔中隨機選擇?檔撥上一顆下珠，

再隨機選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠，共有國一|種，

①當在個、十位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機從個、十位兩個不同檔位各撥一顆

上珠時，得到的數(shù)字不大于300,有舊|；

②當在百位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機從個、十位兩個不同檔位各撥一顆上珠

時，得到的數(shù)字不大于300,有|國卜

所以所撥數(shù)字不大于300的概率為岡.故選A.

23.在手機未普及的上世紀七八十年代，小孩玩的很多游戲都是自創(chuàng)的，其中有一個游戲規(guī)

則如下：在地上畫一條線段，游戲參與者站在規(guī)定的距離外朝著此線段丟一片圓形鐵皮，鐵

皮壓住了橫線為有效，恰好壓住了線段的兩端點之一，則為獲勝，現(xiàn)假設線段長為20厘米，

鐵片半徑1厘米，若一個小孩朝著線段隨機丟鐵片若干次，其中有效次數(shù)為100次，獲勝次

數(shù)為15次，用得到的頻率估計概率，可估算出白勺近似值為（精確到小數(shù)點后兩位）

A.3.06B.3.12

C.3.20D.3.24

【答案】D

【解析】由題意得，鐵片在圖中兩個圓內為獲勝，則岡，

校高一年級某班準備從7名男生，5名女生中任選2人參加該校組織的演講比賽，則參賽的

2人中至少有1名女生的概率是

A.aB.a

C.岡D.岡

【答案】C

【解析】所選2人中至少有1名女生的對立事件是所選2人都是男生，

口的選2人中至少有1名女生的概率為國.故選C.

25.1904年，瑞典數(shù)學家柯克構造了一種曲線，取一個正三角形，在每個邊以中間的，部

3

分為一邊，向外凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的,部分擦掉，就成了一個很像

3

雪花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻的散落1000粒豆子，則落在六角星中的豆子數(shù)

約為（國二］，岡|）

C.481D.331

【答案】A

【解析】設原正三角形邊長為國，則由正弦定理得岡，即叵

所以正三角形外接圓半徑為國1,則|國一卜

又由題意得凸出來的小正三角形邊長為域則國

回

a，則

所以落在六角星中的豆子數(shù)約為|國一.故選A.

【名師點睛】該題考查的是有關面積型幾何概型的問題，正確解題的關鍵是掌握相應的概率

公式以及圖形的面積公式.

26.琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、填、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大

樂器”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學生興趣活動中開展了“中

國古代樂器”知識講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)

課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂器互不相鄰的概率為

￡

A.囚B.

6

IX

C.D.

【答案】B

【解析】從這十種樂器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為回.從除琵琶、二胡、編鐘三種樂

器外的七種樂器中挑五種全排列，有同種情況，再從排好的五種樂器形成的6個空中挑3

個插入琵琶、二胡、編鐘三種樂器，有回種情況，故琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三

種樂器互不相鄰的情況種數(shù)為|因所以所求的概率因，故選B.

【名師點睛】排列組合常用的方法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空

法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列

舉法.

27.已知多項選擇題的四個選項目導目園中至少有兩個選項正確，規(guī)定：如果選擇

了錯誤選項就不得分.若某題的正確答案是國口，某考生隨機選了兩個選項，則其得分的

概率為

1

A.—B.

2

1

C.一D.

6

【答案】A

【解析】由題得從4個選項里選兩個選項，共有|岡|種方法,

從3個正確選項里選擇兩個選項，共有國.種方法.

由古典概型的概率公式得所求的概率為兇.故選A

【名師點睛】利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的總數(shù)，再求出事件A的

基本事件的數(shù)量，再利用古典概型的概率公式求解.

28.某省今年開始實行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了語文、

數(shù)學、外語三門科目必選外，再從物理、化學、生物、政治、地理、歷史這中科目中任選

呼】作為選考科目，甲和乙分別從小斗中任選曲斗，若他倆所選科目都有物理.其余2科均

不同，則甲不選歷史，且乙不選化學的概率是

B.回

DH

【答案】B

【解析】從口科中任選巾斗共后二I種不同的方案，兩人分別從⑹斗中任選0科，共有

國一|種不同的方案.

因為他們都選r物理，其余2科又不同，所以對甲是否選化學分成兩類討論：

第劈甲選化學，甲只需再從生物、地理、政治及］中選年］,有|國］種方法,乙從剩余垃

門中選2門，司國卜中方法,所以一共有IJ中選法；

第2類甲不選化學，甲又不選歷史，所以他只能從生物、政治、地理注」中選2門，有舊

種方法，乙只能選剩下的2門，有生￥方法，此時一共有0種選法.

綜上所知，滿足要求的選法共有國中，所以所求事件的概率岡.故選B.

29.在西方人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，這個比例

被稱為黃金分割比例.黃金分割比例符合人類潛意識里的審美觀，

給人以強烈的視覺美感，因此在繪畫、設計、建筑等領域有著廣泛的應用.如圖，名畫《蒙

娜麗莎的微笑》的整個畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形區(qū)二、

矩形I岡|、矩形|.|、矩形|.|、矩形I岡|均為黃金矩形.現(xiàn)從圖中隨機取一點

CFD

BJEA

00

A.B.

問0

C.D.

【答案】D

【解析】如圖，設耳二|，耳二|，r=jI.百二，目二I，I，

則岡，

故因，0

s國

_____,岡,____,因

則矩形I岡I的面積一,矩形IqI的面積

【名師點睛】本題考查幾何概型的相關問題的求解，能否求出矩形Ej~I的面積目以及矩

形I岡I的面積目存解決本題的關鍵,考查計算能力，是中檔題?

30.2021年，河北新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心.八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成

城克時難，社會各界支援河北，共抗新型冠狀病毒肺炎.北京某醫(yī)院的甲、乙、丙、丁4名

醫(yī)生到河北的國二|三個災區(qū)支援，若要求每個災區(qū)至少安排呼醫(yī)生，則災區(qū)A恰好只

有醫(yī)生甲去支援的概率為

【答案】C

【解析】將四名醫(yī)生分配到三個災區(qū)，每個災區(qū)至少一名醫(yī)生，共有C：&=36種安排方

法；災區(qū)A恰好只有醫(yī)生甲去支援的情況有|國種安排方法;

由古典概型概率公式知災區(qū)A恰好只有醫(yī)生甲去支援的概率為［臼|故選C.

【名師點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，解題關鍵是能夠利用排列組合的知識求得

基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，對于常見的排列組合問題求法為

（1）相鄰問題采取“捆綁法”：

（2）不相鄰問題采取“插空法”;

（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”;

（4）平均分組問題先選好人后，平均分了朝，則除以國；

（5）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).

二、多選題

31.下列說法正確的是

A.線性回歸方程向|對應的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點

B.10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取2件，恰好取到1件次品的概率為區(qū)

C.某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校

三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本，已知該校高一、高二、高三年級學生之比為

ta-J'則應從高二年級中抽取20名學生

D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”

是互斥而不對立的事件

【答案】BC

【解析】對A,線性回歸方程向網(wǎng)應的直線可能不經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點中的一個點，故

A錯誤；

對B,恰好取到1件次品的概率為口，故B正確；

對c,應從高二年級中抽取岡卜學生,故C正確；

對D,“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”都包含“一個黑球一個白球”這個事件，故這

兩個事件既不互斥也不對立，故D錯誤.故選BC.

32.如圖，在某城市中，M，臼四地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中國］回目同

是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)N處的甲、乙兩人分別要到國，

M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達國,

M處為止，則下列說法正確的有

甲從M到達邱的方法有120種

甲從M必須經(jīng)過同向達邱的方法有9種

甲、乙兩人在國處相遇的概率為

甲、乙兩人相遇的概率為因

【答案】BD

【解析】對選項A,甲從M到達邸，需要走腳，其中向上%,向右國步，

所以從“到達國處的方法有區(qū)二|種，故A錯誤.

對選項B,甲從“到達國，需要走%,其中向上口步，向右2步，共叵二］種，

從回到這國，需要走在艮其中向上2步，向右口花，共|岡附,

所以甲從M必須經(jīng)過mIJ達國處的方法句囚I種,故B正確.

對選項C,甲經(jīng)過同勺方法數(shù)為I回乙經(jīng)過白內方法數(shù)為［叵］

所以甲、乙兩人在同處相遇的方法數(shù)為叵I抑，

故甲、乙兩人在同處相遇的概率因，故C錯誤.

對選項D,甲、乙兩人沿著最短路徑行走，只能在國國，國處相遇，

若甲、乙兩人在邳相遇，甲經(jīng)過國世，必須向上走3步，乙經(jīng)過&th,則前三步必須向

左走，兩人在邱相遇的走法有1種.

若甲、乙兩人在密園處相遇，由選項C知，各有|國附,

若甲、乙兩人在回處相遇，甲經(jīng)過回處，必須向右走3步，乙經(jīng)過廓，則乙前三步必

須向下走，則兩人在廓相遇的走法有1種.

所以甲、乙兩人相遇的概率區(qū)，故D正確.故選BD

33.某展會安排了分別標有序號為“口號”“2號”“型”的三輛車，等可能的隨機順序前往酒

店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設計了兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車

的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一

輛車.記方案一與方案二坐到工坤”車的概率分別為巨］,則

A.3B.岡

C.岡D.|岡

【答案】ACD

【解析】由題意，分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等坑隨機順序前往酒店接嘉

賓，基本事件有：舊共6種，

設計兩種方案：方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就

乘坐此車，否則乘坐第三輛車，

則方案一坐到“3號”車包含的基本事件有：回共有3種，

所以方案一的概率為岡；

方案二：直接乘坐第一輛車，則方案二坐到‘查?”車的概率為|可|

所以岡.故選ACD.

34.一個口袋中有大小形狀完全相同的3個紅球和4個白球，從中取出2個球.下面幾個命

題中正確的是

A.如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是對立事件

B.如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率一定小于第1次取到紅球的概率

C.如果是有放回地抽取，那么取出1個紅球1個白球的概率是因

D.如果是有放回地抽取，那么在至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球的概率是區(qū)

【答案】CD

【解析】對于A,不放回地抽取兩個球，包括兩個都是紅球、兩個都是白球和一個紅球一個

白球，共3種情況，所以取出兩個紅球和取出兩個白球不是對立事件，所以A錯誤；

對于B,不放回地抽取，第2次取到紅球的概率為岡，第1次取得紅球的概

率為，J所以第2次取到紅球的概率等于第1次取到紅球的概率，所以B錯誤；

對于C,有放回地抽取，取出1個紅球1個白球包括第1次為紅球第2次為白球、第1次為

白球第2次為紅球，所以所求概率為回，所以C正確，

對于D,有放回地抽取，至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球包括第1次紅球第2

a

次白球、第1次白球第2次紅球、兩次都是紅球，所以所求概率為，

所以D正確，故選CD

35.以下關于概率與統(tǒng)計的說法中，正確的為

A.某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校

三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級學生之比為

|司I，則應從高二年級中抽取20名學生

B.10件產品中有7件正品，3件次品，若從這10件產品中任取2件，則恰好取到1件次

品的概率為用

c.若隨機變量型艮從正態(tài)分布同舊則舊一

D.設某學校女生體重y（單位：向）與身高工（單位：目）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣

本數(shù)據(jù)區(qū)，用最小二乘法建立的回歸方程為［又］I，若該學

校某女生身高為國二則可斷定其體重必為|國||

【答案】AB

【解析】A：應從高二年級中抽取學生人數(shù)為岡，故正確.

B：恰好取到1件次品的概率」，故正確.

c：因為|國］,所以|國一故錯誤.

D：不能斷定其體重必為［7］故錯誤.故選AB

36.將4男、4女共8位同學隨機地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是（）

A.4位女同學分到同一組的概率為岡

B.男生甲和女生乙分到甲組的概率為m

C.有且只有。位女同學分到同一組的概率為岡

D.4位男同學不同時分到甲組的概率為岡

【答案】AB

【解析】8位同學隨機地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為|岡

A選項，4位女同學分到同一組的不同分法只有2種，其概率為回，對，

B選項，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為|區(qū)］其概率為岡，對，

C選項，有且只有小女同學分到同一組區(qū)］種,

則有且只有。位女同學分到同一組的概率為岡，錯，

D選項，4位男同學同時分到甲組只有用中，其概率為回，

則4位男同學不同時分到甲組的概率為岡，錯，故選AB.

【名師點睛】（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素（或位置）的性質進行分類:

二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即

先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：①不均勻

分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.

37.回文數(shù)是一類特殊的正整數(shù)，這類數(shù)從左到右的數(shù)字排列與從右到左的數(shù)字排列完全相

同，如1221,15351等都是回文數(shù).若正整數(shù)i與"滿足|岡I且層「|'在?

上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)的概率記為同在0上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)

的概率記為回，則

【解析】對于選項A：在區(qū)中的正整數(shù)都是口位的，一共有巨

個，若國~I，則回文數(shù)的個數(shù)是||個,

若|囚|，則回文數(shù)的個數(shù)是|囚|個,

所以岡，岡

所以且,故選項A不正確;

對于選項D：

當1國I時,

3

因

,故選項D正確;

由目的定義：問

a因a

由以上可知國,所以

所以a，故選項B正確，選項C不正確，故選BD.

【名師點睛】本題解題的關鍵點是讀懂回文數(shù)的定義，回文數(shù)前幾位確定可以決定、兒位,

以此可計算區(qū)間內的回文數(shù)的個數(shù)及概率.

38.下列說法正確的是

A.已知直線U平面與直線，〃〃平面目則13fl3'是"吐"'’的必要不充分條件

B.若隨機變量整艮從正態(tài)分布Ml，國），p（住4）=0.79,則尸（隹-2）=0.21

C.若隨機變量整艮從二項分布，出8（4,5）,則E（2［1升3）=5

D.甲、乙、丙、丁4個人到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件M為“4個人去的

景點各不相同”，事件N為“甲不去其中的A景點”，則P（MN）=，1

【答案】BC

【解析】已知直線平面目直線m〃平面目當口f國甘，一定有小孫當Mm時，

底~1有可能平行,也有可能相交，則'科國’是"/L1的充分不必要條件，所以選項A錯

誤；

由題得P（［J-2）=P（［J：4）=1-P（注4）=0.21,所以選項B正確；

若隨機變量他艮從二項分布，比5（4,5）,則用口=1,所以回2氏3）=2［現(xiàn)++3=5,

所以選項C正確；

由題得即M=可,所以選項D錯誤.故選BC.

【名師點睛】解答本題的關鍵在于判斷選項D的真假，判斷其真假的關鍵在于弄懂事件

“印'的含義，它表示事件M發(fā)生，口事件邱生.即“4個人去的景點各不相同，甲不

去其中的A景點”.

39.骰子通常作為桌上游戲的小道具.最常見的骰子是六面骰,它是一個質地均勻的正方體，

六個面上分別寫有數(shù)字向現(xiàn)有一款闖關游戲，共有4關，規(guī)則如下：在第即

要拋擲六面骰日次，每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄，如果這日次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大

于|五|，則算闖過第即，|丁假定每次闖關互不影響,則

A.直接挑戰(zhàn)第2關并過關的概率為產

B.連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為回

C.若直接挑戰(zhàn)第①關，設耳"三個點數(shù)之和等于口）'，目”至少出現(xiàn)一個。點”，則

a

D.若直接挑戰(zhàn)第4關，則過關的概率是岡|

【答案】ACD

【解析】對于A項，所以兩次點數(shù)之和應大于注

即直接挑戰(zhàn)第2關并過關的概率為因.

故A正確；

對于B項，|岡大所以挑戰(zhàn)第一關通過的概率岡，

則連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為岡，故B錯誤;

對于C項，由題意可知，拋擲3次的基本事件有|反］

拋擲3次至少出現(xiàn)一個舊點的共有國|種,

故岡，而事件A8包括：含5,5,5的1種，

含4,5,6的有6種，共7種，故岡，

所以口，故C正確；

對于D項，當"=4時:|岡~基本事件有曷個，

而“4次點數(shù)之和大于20”包含以下35種情況：

含5,5,5,6的有4種，含5,5,6,6的有6種，

含6,6,6,6的有1種，含4,6,6,6的有4種，

含5,6,6,6的有4種，含4,5,6,6的有12種，

含3,6,6,6的有4種，所以岡，

故D正確.故選ACD.

【名師點睛】（1）多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證；

（2）等可能性事件的概率一般列舉出基本事件，直接套公式求概率.

40.下列命題為真命題的是

A.對具有線性相關關系的變量工、y,有一組觀測數(shù)據(jù)|岡其線性回

歸方程是舊且舊I,則實數(shù)U

的值是X

B.從數(shù)字壓2、母4、［J母母8中任取2個數(shù)，則這2個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為甘

C.已知樣本數(shù)據(jù)@目三、凈方差為4,則數(shù)據(jù)I囚卜I因卜0、I區(qū)I

的標準差是4

D.己知隨機變量0，若叵|，則0

【答案】BC

【解析】對于A選項，由已知條件可得as,所以，回歸直線過樣本中心點

巴

,解得B,故A錯誤;

將其代入線性回歸方程因中，得a

對于B,若任取2個數(shù)，使得這2個數(shù)的和為奇數(shù)，則這2個數(shù)中一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù),

即所求的概率為,故B正確;

對于C,設離散型隨機變量同勺取值為回國與、國則隨機變量I囚|的取值為

由已知條件可得0，則S

對于D,由隨機變量I回XII

由正態(tài)分布密度曲線的軸對稱性可