浙江省杭金湖四校2024屆高三上學(xué)期第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭金湖四校2024屆高三上學(xué)期第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，則集合有（

）個(gè)子集．A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗由題意，，所以集合有個(gè)子集．故選：C.2.已知向量與直線平行且，，則向量在向量方向上的投影向量可以是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，由直線方程，則其斜率為，由向量與直線平行，則，化簡可得，由，則，化簡可得：，解得，當(dāng)時(shí)，則，所以，又，向量在向量方向上的投影向量為；當(dāng)時(shí)，則，所以，向量在向量方向上的投影向量為；綜上，可知ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.3.已知、滿足，，則的實(shí)部是（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可設(shè)，，，由，，得，.即，解得或，，即的實(shí)部是.故選：B.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)?，則，即為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、B；又，故排除D；故選：C.5.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)1，構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（

）A.252 B.426 C.462 D.924〖答案〗C〖解析〗由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)，構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，根據(jù)數(shù)字的構(gòu)成規(guī)律，可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為每行數(shù)列的項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)為每行的第項(xiàng)，則即第11行的第項(xiàng)，結(jié)合二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得.故選：C.6.銳角滿足，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意由可得，即，由二倍角公式可得，即；所以，又因?yàn)殇J角，可得，因此，即，所以，即.故選：A7.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)作x軸垂線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，連結(jié)BO并延長交AC于點(diǎn)M，若M為AC的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，則，，則，則.故選：A.8.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由，可得；所以；因此，所以，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；此時(shí)的最小值為.故選：C.二、多選題9.某地區(qū)高三男生的身高X服從正態(tài)分布，則（）A. B.若越大，則越大C. D.〖答案〗AC〖解析〗由題意，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，即正態(tài)分布曲線對稱軸為，,A選項(xiàng)正確;,C選項(xiàng)正確;又由，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤;若越大，則數(shù)據(jù)越分散，越不集中平均數(shù)附近，越小，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC．10.函數(shù)，下列說法正確的是（

）A.是周期函數(shù) B.最大值是1C.圖像至少有一條對稱軸 D.圖像至少有一個(gè)對稱中心〖答案〗BC〖解析〗A.若函數(shù)周期函數(shù)，則，那么，與有關(guān)，不是常數(shù)，故不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B.設(shè)，，則的最大值為1，故B正確；C.若是函數(shù)的對稱軸，則，即，則，所以，，，若與無關(guān)，則，所以函數(shù)的對稱軸是，故C正確；D.若是函數(shù)的對稱中心，則，即，即，顯然，隨著的變化而變化，所以函數(shù)沒有對稱中心，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，則下列命題為真命題的是（）A.的取值范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，表示直線在第一象限的部分，原點(diǎn)到直線的距離為，而直線的橫截距和縱截距為，所以的取值范圍為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由圖可知，令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最小值為，所以，也即的取值范圍為，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由，得，，.故選：BCD.12.在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：（1）過點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點(diǎn)，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗平面，則平面法向量為，對，則，即，所以過點(diǎn)，方向向量為，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤D正確.對，即，所以過點(diǎn)，方向向量為，點(diǎn)代入平面方程成立，所以與平面有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對，所以過點(diǎn)，方向向量為，因?yàn)椋裕曰?，但點(diǎn)代入平面不成立，故，所以，所以C正確.故選：CD.三、填空題13.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______．〖答案〗〖解析〗，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.故〖答案〗為：14.用4種不同顏色給一個(gè)正四面體涂色，每個(gè)面涂一種顏色，4個(gè)顏色都要用到，共有__________種涂色的方法．〖答案〗2〖解析〗不妨先規(guī)定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉(zhuǎn)，正四面體展開圖如下：此時(shí)再涂其他三種顏色，共有種方法.故〖答案〗為：2.15.直線與直線所成夾角大小為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，兩條直線夾角為，則，，則，，所以.故〖答案〗為：.16.若正四面體的棱長為3，平面ABC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到平面、平面、平面的距離依次成等差數(shù)列，則點(diǎn)P在面內(nèi)的軌跡的長度為______.〖答案〗2〖解析〗設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到平面、平面、平面的距離分別為，因?yàn)檎拿骟w的棱長為3，每個(gè)面的面積為，如圖，取的中點(diǎn)，連接，過作平面，垂足為，則，所以高，所以正四面體的體積，所以.因?yàn)闈M足點(diǎn)P到平面、平面、平面的距離成等差數(shù)列，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)P到平面的距離為定值，且平面平面，所以點(diǎn)P的軌跡是平行的線段，又為平面與平面的夾角，則，所以，即線段與的距離為，在中，，所以，即點(diǎn)P在面內(nèi)的軌跡的長度為.故〖答案〗為：.四、解答題17.直角三角形ABC斜邊上一點(diǎn)D滿足，（1）求證:；（2）若，求角B的大?。?）證明：∵∴∴∴∴∴；（2）解：,,,,或,因?yàn)榻荁為銳角，所以.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.解：（1）由，得，而，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，顯然也滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.19.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面PBC，且中，AD邊上的高為3，求AD的長.（1）證明：設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以；?）解：過點(diǎn)作垂直直線于，則有，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，平面，所以平面ABCD，連接，因?yàn)?，，所以可得，而，所以四邊形是菱形，而，所以四邊形是正方形，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量為，，同理可得平面的法向量為，，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，所以.20.隨著人口老齡化的到來，我國的勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組對某社區(qū)隨機(jī)抽取了5人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人數(shù)45853年齡[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人數(shù)67354年齡在[25，30），[55，60）的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人，進(jìn)行跟蹤調(diào)查．（1）求年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成的概率；（2）求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；（3）若選中的4人中，不贊成的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)“年齡在，的被調(diào)查者中選取的2人都贊成”為事件A，所以；（2）設(shè)“選中的4人中，至多有3人贊成”為事件，所以；（3）可以取值0，1，2，3所以；；；；所以X的分布列是：0123．21.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，為橢圓的左焦點(diǎn)，求證：的周長為定值．解：（1），，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法一：證明：由題意可知，，設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，可得，所以，則，故．由可得，可得，所以，則，故，所以，故直線的方程為，即，，故直線過定點(diǎn)，所以的周長為定值8．當(dāng)時(shí)，或，可知是橢圓的通徑，經(jīng)過焦點(diǎn)，此時(shí)的周長為定值，綜上可得，的周長為定值8．解法二：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，由．設(shè)，則有，直線，令，得，直線，令，得，所以，由，所以，即，化簡得或．時(shí)直線過點(diǎn)（舍），所以，即直線的方程為，過定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為：，則有，代入，直線也過定點(diǎn)，綜上所述，直線始終經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，故的周長為定值．解法三：當(dāng)M位于橢圓的上頂點(diǎn)，則此時(shí)，直線與相交于點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，則可知，易知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，此時(shí)的周長為定值，猜想，若的周長為定值，則直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．證明如下：依題意直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得：，設(shè)，則．直線，令，得，直線，令，得，因?yàn)?，所以直線的交點(diǎn)在直線上，即過直線上的點(diǎn)T所作的兩條直線和分別與橢圓相交所得的兩點(diǎn)M、N形成的直線始終經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，故的周長