廣西專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列數(shù)列過關(guān)檢測B卷新人教版選擇性必修第二冊

第四章過關(guān)檢測(B卷)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列{an}中,a4=7,a6=21,則a8的值為()A.35 B.63 C.213 D.±213答案:B解析:∵{an}是等比數(shù)列,∴a4,a6,a8成等比數(shù)列,∴a62=a4·a8,即a8=212.若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,a是b,c的等比中項(xiàng),且a+3b+c=10,則a的值是()A.1 B.-1 C.-3 D.-4答案:D解析:由題意,得2解得a=-4,b=2,c=8.3.已知公比q=2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且a3·a11=16,則a5等于()A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析:∵a3·a11=a72=16,∴a7∴a5=a7q24.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列的前11項(xiàng)和S11等于()A.58 B.88 C.143 D.176答案:B解析:S11=11(a15.在數(shù)列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),則S15+S22-S31的值是()A.13 B.-76 C.46 D.76答案:B解析:S15=-4×7+a15=-28+57=29,S22=-4×11=-44,S31=-4×15+a31=-60+121=61,得S15+S22-S31=29-44-61=-76.故選B.6.在數(shù)列{an}中,若a1=2,an+1=an+ln1+1n,則an等于(A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn答案:A解析:由an+1=an+ln1+1n,得an+1-an=ln1+1n則(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=ln21+ln32+…+lnnn-1=ln即an-a1=lnn,an=lnn+2.7.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且滿足an+1=12an+12n,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于A.2n B.n(n+1) C.n2n-答案:C解析:∵an+1=12an+1∴2n+1an+1=2nan+2,即2n+1an+1-2nan=2.∵21a1=2,∴數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,∴2nan=2+(n-1)×2=2n,∴an=n28.某人計劃從2019年起,每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期,存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期,到2023年的5月1日將所有存款及利息全部取出,則可取出錢(單位:元)的總數(shù)為()A.a(1+p)4 B.a(1+p)5C.ap[(1+p)4-(1+p)] D.ap[(1+p)5-(1答案:D解析:設(shè)自2020年起每年到5月1日存款本息合計為a1,a2,a3,a4.則a1=a+a·p=a(1+p),a2=a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a(1+p)2+a(1+p),a3=a2(1+p)+a(1+p)=a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p),a4=a3(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)4+(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]=a·(1+p)[1-(1+p)4二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an-a)(其中a為常數(shù)),則下列說法正確的是()A.數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an}可能是等差數(shù)列C.數(shù)列{Sn}可能是等比數(shù)列 D.數(shù)列{Sn}可能是等差數(shù)列答案:BD解析:Sn=2(an-a),Sn-1=2(an-1-a),n≥2,兩式相減,得an=2an-2an-1,an=2an-1,n≥2.若a=0,令n=1,a1=2(a1-0),a1=0,則an=0,此時是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列;若a≠0,令n=1,a1=2(a1-a),a1=2a,則an=2an-1,n≥2,此時不是等差數(shù)列,故數(shù)列{an}不一定是等比數(shù)列,可能是等差數(shù)列,所以A選項(xiàng)錯誤,B選項(xiàng)正確;又Sn=2(an-a)=2(Sn-Sn-1-a),n≥2,得Sn=2Sn-1+2a,要使{Sn}為等比數(shù)列,必有a=0,若a=0,令n=1,a1=2(a1-0),a1=0,則an=0,Sn=0,此時{Sn}是一個所有項(xiàng)為0的常數(shù)列,故{Sn}不可能為等比數(shù)列,所以C選項(xiàng)錯誤,D選項(xiàng)正確.故選BD.10.已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,滿足a7=3a5,前n項(xiàng)和為Sn,則下列選項(xiàng)正確的是()A.d>0 B.a1<0 C.當(dāng)n=5時Sn最小 D.Sn>0時n的最小值為8答案:ABD解析:由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.又由等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,可知d>0,則a1<0,故A,B正確;因?yàn)镾n=d2n2+a1-d2n=d2由n=--7d2d=72可知,當(dāng)n=3或n=4時S令Sn=d2n2-7d2n>0,解得n<0或n>7,即Sn>0時n的最小值為8,故11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+3an(n∈N*),A.1anB.{an}的通項(xiàng)公式為an=1C.{an}為遞增數(shù)列 D.1an的前n項(xiàng)和Tn=2n+2-3答案:AD解析:∵1an∴1an+1+3=又1a1+3=4∴1an+3是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即1an+3=4∴1an=2n+1∴an=12∴{an}為遞減數(shù)列,1an的前n項(xiàng)和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1=2(21+22+…+2n)-3n=2×2×1-2n1-2-3n=2n+故選AD.12.設(shè){an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,q是其公比,Kn是其前n項(xiàng)的積,且K5<K6,K6=K7>K8,則下列結(jié)論正確的是()A.0<q<1 B.a7=1 C.K9>K5 D.K6與K7均為Kn的最大值答案:ABD解析:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對于B,由K6=K7,得a7=K7K6=1,故對于A,由K5<K6可得a6=K6K5>1,則q=a7a6對于C,由{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且q∈(0,1)可得數(shù)列單調(diào)遞減,由a7=1可得a8∈(0,1).K9K5=a6a7a8a9=(a7a8)2<1,故K9<K5,故對于D,結(jié)合K5<K6,K6=K7>K8,可得D正確.故選ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中的橫線上.13.在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),且前n項(xiàng)和Sn=3n+k,則實(shí)數(shù)k=.

答案:-1解析:當(dāng)n=1時,a1=S1=3+k;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=3n-3n-1=2·3n-1.由題意知{an}為等比數(shù)列,即a1=3+k=2,故k=-1.14.在數(shù)列{an}中,a1=12,an+1=1+an1-an,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnS2021=.

答案:-1解析:∵an+1=1+an1-an,a1=12,∴a2=1+a11-a1=3,a3=1+a∴數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列,∴S2021=a1+a2+…+a2021=505×12+315.在等比數(shù)列{an}中,若a1=12,a4=-4,則|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=.答案:2解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵{an}為等比數(shù)列,且a1=12,a4=-∴q3=a4a1=-8,∴an=12(-2)n-1,∴|an|=2n-2∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1216.如果一個列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個量,那么這個列叫作等差列,這個量叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以a1=(1,3)為首項(xiàng),d=(1,0)為公差的等差向量列,若向量an與非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,則x5x1=答案:8解析:由題意可知an=(1,3)+(n-1,0)=(n,3),因?yàn)橄蛄縜n與非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,所以xn+1xn=-n四、解答題:本題共6小題,共70分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=5,S10=100.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=2an+2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意,得a解得a故an=2n-1.(2)因?yàn)閎n=2an+2n=12×4n+所以Tn=b1+b2+…+bn=12(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=4n+1-46+n2+n=23×18.(12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的公比;(2)證明:對任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0,q≠1),由a5,a3,a4成等差數(shù)列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3,由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),故q=-2.(2)證明:(方法一)對任意k∈N*,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1·(-2)=0,故對任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.(方法二)對任意k∈N*,2Sk=2aSk+2+Sk+1=a1則2Sk-(Sk+2+Sk+1)=2=a11-q[2(1-qk)-(2-qk+=a1qk1-q(因此,對任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.19.(12分)在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中,并解答.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d>1),前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,且a1=b1,d=q,.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.(2)記cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.(注:如果選擇多個條件分別解答解:方案一:選條件①.(1)∵a3=5,a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,d>1,∴a解得a1=1,d∴b∴an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.(2)∵cn=an∴cn=2n-12n-1∴Tn=1+3×12+5×122+…+(2n-3)×12n-2+∴12Tn=12+3×122+5×123+…+(2n-3)×12n①-②,得12Tn=1+212+122+…+12n-1-(2n-1)×12n=1+2×∴Tn=6-(2n+3)×12方案二:選條件②.(1)∵b2=2,a3+a4=3b3,a1=b1,d=q,d>1,∴a∴a解得a1=1,d∴b∴an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.(2)∵cn=an∴cn=2n-12n-1∴Tn=1+3×12+5×122+…+(2n-3)×12n-2+∴12Tn=12+3×122+5×123+…+(2n-3)×12n①-②,得12Tn=1+212+122+…+12n-1-(2n-1)×12n=1+2×∴Tn=6-(2n+3)×12方案三:選條件③.(1)∵S3=9,a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,d>1,∴a解得a1=1,d∴b∴an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.(2)∵cn=an∴cn=2n-12n-1∴Tn=1+3×12+5×122+…+(2n-3)×12n-2+∴12Tn=12+3×122+5×123+…+(2n-3)×12n①-②,得12Tn=1+212+122+…+12n-1-(2n-1)×12n=1+2×∴Tn=6-(2n+3)×1220.(12分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=12n,設(shè)T2n為數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和,bn=a2n+a2n-(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求T2n.解:(1)因?yàn)閍n·an+1=12所以an+1·an+2=12所以an即an+2=12an因?yàn)閎n=a2n+a2n-1,所以bn因?yàn)閍1=1,a1·a2=12所以a2=12,所以b1=a1+a2=3所以{bn}是公比為12的等比數(shù)列所以bn=32(2)由(1)可知an+2=12an,即a1,a3,a5,…是以a1=1為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列;a2,a4,a6,…是以a2=12為首項(xiàng),故T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=1-12n121.(12分)已知數(shù)列{log2(an-1)}為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:1a2-a1+1(1)解:設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d.由a1=3,a3=9,得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,則d=1.故log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)證明:因?yàn)?a所以1a2-a1+1a3-a2+…+22.(12