考點(diǎn)20空間幾何體的表面積和體積

考點(diǎn)20空間幾何體的表面積和體積1.【2023全國甲卷】在三棱錐P?ABC中，?ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2，PC=6，則該棱錐的體積為

(

)A.1 B.3 C.2 D.【答案】A

【解析】【分析】本題考查三棱錐體積的求解，屬于中檔題．

利用題干給的相關(guān)邊的關(guān)系，求出三棱錐的高，利用錐體體積公式即可進(jìn)行求解．【解答】解：取AB中點(diǎn)為D，連結(jié)PD，CD，∵?ABC是邊長為2的等邊三角形，可知CD⊥AB，又PA=PB=2，∴PD⊥AB，PD∩CD=D，故AB⊥面PCD，PD=CD=3，又PC=三棱錐P?ABC的體積為VP?ABC=132.【2022新高考Ⅰ卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到A.1.0×109m3 B.1.2×109【答案】C

【解析】【分析】本題考查了棱臺(tái)的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

讀懂題意，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式即可求解．【解答】

解：依據(jù)棱臺(tái)的體積公式

V=13?(S+S′+SS′)3.【2021新高考Ⅱ卷】正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為(

)A.20+123 B.282 C.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與體積的求法．

由正四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解．【解答】

解：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖所示，因?yàn)樵撜睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺(tái)的高?=下底面面積S1=16，上底面面積所以該棱臺(tái)的體積V=13?(故選：D．4.【2021北京】定義：將24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度；其中小雨(0mm??10mm)，中雨(10mm?25mm)，大雨(25mm?50mm)，暴雨(50mm?100mm)；小明用一個(gè)圓錐雉形容器接了24小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)

(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合圓錐的體積公式分析求解即可．【解答】

解：設(shè)小圓錐的底面半徑為r，則r100=150300，

小圓錐的底面半徑r=2002=50mm，

故小圓錐的體積V=135.【2021全國甲卷】已知A，B，C是半徑為1的球О的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O?ABC的體積為

(

)A.212 B.312 C.【答案】A

【解析】【分析】本題考查球的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐體積，屬于中檔題．

求出球心到平面的距離，即可求解．【解答】

解：記△ABC的外接圓的圓心為O1，

由于AC=BC=1，AC⊥??BC，則AB=2，O1C=22；

又球的半徑為1，所以O(shè)A=OB=OC=1，

則OA2+OB2=AB2，OO1=22.

于是O6.【2020天津】若棱長為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(

)A.12π B.24π C.36π D.144π【答案】C

【解析】【分析】本題考查球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力，球的內(nèi)接體問題，是基礎(chǔ)題．

正方體的體對角線就是球的直徑，求出半徑后，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，正方體的體對角線就是球的直徑，

所以2R=(23)2+(23)27.【2020全國Ⅰ卷】已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為?ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球OA.64π B.48π C.36π D.32π【答案】A

【解析】【分析】本題考查球的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，球的表面積公式，屬于中檔題．

求出圓O1的半徑，根據(jù)正弦定理求出AB=O【解答】解：由圓O1的面積為4π=πr2，故圓O1的半徑∵AB=BC=AC=OO1，則三角形由正弦定理：ABsin?60由R2=r2+OO12，得球故答案為A．8.【2023新高考Ⅰ卷】在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=2【答案】76【解析】【分析】本題考查正四棱臺(tái)的體積，屬于中檔題．可將正四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐，然后分析求解即可．【解答】解：如圖，

將正四棱臺(tái)ABCD?A1B1SA=22，OO1V=19.【2021全國甲卷】已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為

．【答案】39π

【解析】【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，設(shè)圓錐的高為?，根據(jù)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π求出?，再求得母線的長度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可．【解答】

解：由圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，

設(shè)圓錐的高為?，則13×(π×62)×?=30π，解得?=52，

所以圓錐的母線長l=(10.【2020新高考Ⅱ卷】已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB【答案】13【解析】【分析】本題考查利用等體積法求多面體的體積，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．

由題意畫出圖形，再由等體積法求三棱錐A?NMD【解答】

解：如圖，∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，∴S∴V故答案為：1311.【2020江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．

【答案】12【解析】【分析】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

通過棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果．【解答】

解：六棱柱的體積為：6×12×2×2×sin60°×2=123，

圓柱的體積為：π×(0.5)2×2=π12.【2023全國乙卷】已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=120°，若?PAB的面積等于93A.π B.6π C.3π 【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓錐體積的求法，涉及到了余弦定理，屬于中檔題．利用余弦定理先求出|AB|，然后構(gòu)造?PCO求出圓錐的高，結(jié)合體積公式計(jì)算即可．【解答】

解：在?AOB中，cos∠AOB=3+3?|AB|22×作OC⊥AB于點(diǎn)C，由|OA|=|OB|可知C是AB的中點(diǎn)，可得|OC|=又|PA|=|PB|，所以PC⊥AB，由S△PAB=12|AB|?|PC|=9所以圓錐的體積V=故選B．13.【2023天津】在三棱錐P?ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=13PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN=23PB，則三棱錐P?AMN和三棱錐A.19 B.29 C.13【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了三棱錐體積的求解，換頂點(diǎn)的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

分別過M,C作MM′⊥PA,CC′⊥PA，垂足分別為M′,C′.過B作BB′⊥平面PAC，垂足為B′，連接PB′，過N作NN′【解答】解：如圖，分別過M,C作MM′⊥PA,CC′⊥PA，垂足分別為M′,C′.過B作BB′因?yàn)锽B′⊥平面PAC，BB′?平面PBB′又因?yàn)槠矫鍼BB′∩平面PAC=PB′，NN′⊥PB′，在?PCC′中，因?yàn)镸M′⊥PA,CC′在?PBB′中，因?yàn)锽B′//N所以VP?AMN故選：B．14.【2022新高考Ⅱ卷】已知正三棱臺(tái)的高為1，上下底面的邊長分別為33和43A.100π B.128π C.144π D.192π【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了正三棱臺(tái)和外接球的關(guān)系應(yīng)用，球體表面積公式的應(yīng)用．【解答】解：由題意易得上底面所在平面截球面所得圓的半徑為3，下底面所在平面截球面所得圓的半徑為4，設(shè)該球的半徑為R，當(dāng)正三棱臺(tái)的上、下底面在球心異側(cè)時(shí)，有R2?32+15.【2022全國甲卷】甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若SA.5 B.22 C.【答案】C

【解析】【分析】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面積和體積的運(yùn)算，利用公式代入計(jì)算即可．【解答】

解：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r則S甲S乙又2πr1l+2π所以甲圓錐的高?1乙圓錐的高?2所以V甲16.【2022全國乙卷】已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為

(

)A.13 B.12 C.3【答案】C

【解析】【分析】本題考查圓錐體積，最值計(jì)算．【解答】

解：考慮與四棱錐的底面形狀無關(guān)，不失一般性，假設(shè)底面是

邊長為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r，則r=22a，

所以該四棱錐的高?=1?a22，所以體積

V=13a21?a22，設(shè)a2=t0<t<2，

V=17.【2022新高考Ⅰ卷】已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是

(

)A.[18,814] B.[274,【答案】C

【解析】【分析】本題考查了球的切接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，屬較難題．有正四棱錐的外接球的性質(zhì)，可得V=13a2?=23(6???2)?，利用求導(dǎo)求最值，即可解答．

【解答】解：方法(1):設(shè)正四棱錐P?ABCD的高為PO1=?，底面邊長為a，球心為O，由已知易得球半徑為R=3，

所以(22a)2+(??3)2=9(22a)2+?2=l2?6?=l2a2=2(6???2)，

因?yàn)?≤l≤318.【2022天津】如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為(

)

A.23 B.24 C.26 D.27【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征和體積公式，屬于較易題．

作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積．【解答】

解：該幾何體由直三棱柱AFD?BHC及直三棱柱DGC?AEB組成，作HM⊥CB于M，如圖，

因?yàn)镃H=BH=3，∠CHB=120°，

所以CM=BM=332，HM=32，

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，

所以AB=BC=33，

在直三棱柱AFD?BHC中，AB⊥平面BHC，HM?平面BHC，則AB⊥HM，

由AB∩BC=B，AB，BC?平面ABCD，可得HM⊥平面ADCB，

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為I，

則VI?BCDA=13×319.【2021新高考Ⅱ卷】北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1?cos?α)(單位：A.26% B.34% C.42% D.50%【答案】C

【解析】【分析】本題考查球的表面積，考查直線與平面所成的角，屬于中檔題．

由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．【解答】

解：如圖所示：

由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

2πr2(1?cos?α)4πr220.【2020全國Ⅱ卷】已知△ABC是面積為934的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球O的表面積為16π，則球O到平面ABC的距離為(

)A.3 B.32 C.1 【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查點(diǎn)到平面的距離求法，屬于中檔題．

根據(jù)正三角形?ABC是面積為934得到△ABC的外接圓半徑r=3，根據(jù)球O【解答】解：設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，設(shè)OO1=d，圓O1的半徑為r△ABC的邊長為a，則S△ABC=34a2=934，可得a=3，

由asinA=2r，于是r=a3=3，

由題意知，球O故選C．21.【2023新高考Ⅱ卷】已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°,PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43π

C.AC=22【答案】AC

【解析】【分析】本題考查求圓錐的體積與側(cè)面積，及圓錐中的其他量，屬于基礎(chǔ)題．A，B選項(xiàng)，通過解ΔPAB，求出圓錐的高PO與底面直徑AB，從而求出體積與側(cè)面積；C，D選項(xiàng)，利用∠PDO為二面角P?AC?O的平面角，解三角形求出PD,AC的長，進(jìn)一步求出ΔPAC的面積．【解答】解：對于A：在ΔPAB中，PA=PB=2,∠APB=120°，則PO=1，故圓錐的體積V=13?PO?π?O對于B：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑為2，弧長為2故圓錐的側(cè)面積為S=12?2?2對于C：取AC中點(diǎn)D，連接PD,OD，則PD⊥AC,OD⊥AC，則∠PDO為二面角P?AC?O的平面角，即∠PDO=45在RtΔPDO中，PO=1，故DO=1,PD=在RtΔODA中，AD=OA2?O對于D：SΔPAC=1故選AC．22.【2022新高考Ⅱ卷】