球的切接問題之外接球?qū)ｎ}講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題球的切接問題之外接球一、基礎(chǔ)知識1、外接球：球心到多面體的所有頂點的距離都相等，則稱這個球是這個多面體的外接球.2、長方體外接球（球心為體對角線中點）正方體外接球（球心為體對角線中點）方法一：補形法（棱錐補形）（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形，可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等（如正四面體），則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4例1．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π例2．已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，則球O的表面積是。例3．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為．方法二：截面法模型一：圓錐截面（正棱錐可畫出底面外接圓，與頂點形成圓錐）如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．由圖、圖可知，或，故，所以．例5．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為.模型二：圓柱截面如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．直棱柱可畫出底面外接圓，補為圓柱（直棱錐可補形為直棱柱）如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出。例6．已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．例7．四棱錐P－ABCD的頂點都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．20πD．32π改變視角后補形模型三：圓臺截面如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，高為，其外接球的半徑為．（棱臺可畫出底面外接圓，補為圓臺）例8．（2023·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．方法三：定義法（一般用于極特殊模型）例9直角三角形共斜邊拼接如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊.設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，故點就是四面體外接球的球心．方法四：坐標(biāo)法建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長．課后作業(yè)1．已知在三棱錐P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π2．正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，正四面體的棱長是．2．已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.3．已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．4．如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（

）A．6