數(shù)列復習課【2】求數(shù)列前N項和的常用方法

1【2】求數(shù)列

前N項和的常用方法必修五第二章數(shù)列復習課方法策略提示：

求數(shù)列的前n項和要借助于通項公式，即先有通項公式，再在分析數(shù)列通項公式的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，找到適合的方法解題。類型1、用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。例1：設等差數(shù)列{an}，公差為d，求證：{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2點撥：由推導過程可看出，倒序相加法是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，即與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和的這一等差數(shù)列的重要性質來實現(xiàn)的。

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn，可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解時，要注意：首先要注意公式的應用范圍，再計算。類型二、用公式法求數(shù)列的前n項和例2：求數(shù)列

的前n項和Sn6點撥：這道題只要經(jīng)過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個數(shù)列可以分解成兩個數(shù)列，一個等差數(shù)列，一個等比數(shù)列，再分別運用公式求和，最后把兩個數(shù)列的和再求和。裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。類型三、用裂項相消法求數(shù)列的前n項和解：例3

求數(shù)列

的前n項和Sn8點撥：此題先通過求數(shù)列的通項找到可以裂項的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項拆開之后，中間部分的項相互抵消，再把剩下的項整理成最后的結果即可。例4：求數(shù)列{nan}(n∈N*)的前n項和。類型四、用錯位相減法求數(shù)列的前n項和解：設Sn=a+2a2+3a3+…+nan①則：aSn=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得：(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1③若a=1則：Sn=1+2+3+…+n=若a≠1則：

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。點撥：此數(shù)列的通項是nan,系數(shù)數(shù)列是：1，2，3……n，是等差數(shù)列；含有字母a的數(shù)列是：a,a2,a3,……，an,是等比數(shù)列，符合錯位相減法的數(shù)列特點，因此我們通過錯位相減得到③式，這時考慮到題目沒有給定a的范圍，因此我們要根據(jù)a的取值情況分類討論。我們注意到當a=1時數(shù)列變成等差數(shù)列，可以直接運用公式求值；當a≠1時，可以把③式的兩邊同時除以（1-a），即可得出結果。類型五、用迭加法求數(shù)列的前n項和例5：已知數(shù)列6,9,14,21,30,……其中相鄰兩項之差成等差數(shù)列，求它的前n項和。解：∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1把各項相加得：an-a1=3+5+7+…+(2n-1)=∴an=n2-1+a1=n2+5∴Sn=12+22+…+n2+5n

=+5n迭加法主要應用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an

，從而求出Sn。13類型六、用分組求和法求數(shù)列的前n項和例6：求S=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2(n∈N*)解：①當n是偶數(shù)時：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]

=-(1+2+…+n)=-②當n是奇數(shù)時：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-[1+2+…+(n-1)]+n2=-綜上所述：S=(-1)n+1n(n+1)14所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。15類型七、用構造法求數(shù)列的前n項和例7：