平面（教學(xué)設(shè)計(jì)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面的三個(gè)基本事實(shí)及其推論．內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)》（人教A版）第八章第4節(jié)第1課時(shí)的內(nèi)容．立體幾何定性研究的重點(diǎn)是直線、平面間的位置關(guān)系.研究這些位置關(guān)系，需要學(xué)生對(duì)點(diǎn)、直線、平面這些組成立體圖形的基本要素有所理解．在立體幾何的研究中，立體圖形問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體圖形問題的重要思想方法，而轉(zhuǎn)化的基本依據(jù)就是關(guān)于平面的基本事實(shí)及其推論.因此，本小節(jié)內(nèi)容是幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).與點(diǎn)、直線一樣，平面是不加定義的幾何概念，三個(gè)基本事實(shí)刻畫了平面的“平”和“無限延展”的特征.點(diǎn)是空間的基本元素，直線、平面都是點(diǎn)的集合，因此在圖形語言和文字語言的基礎(chǔ)上，用集合的符號(hào)表示幾何對(duì)象及其之間的關(guān)系是自然的，并且書寫簡潔.立體幾何中的概念、定理，一般要用圖形、文字、符號(hào)三種語言形式表示．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）初步理解平面的概念、三個(gè)基本事實(shí)和推論，會(huì)用圖形、文字、符號(hào)三種語言形式表述三個(gè)基本事實(shí)和推論．（2）在探究三個(gè)基本事實(shí)的情境中，感悟立體幾何結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程，體驗(yàn)研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．目標(biāo)解析：（1）會(huì)用圖形、文字、符號(hào)三種語言形式表述三個(gè)基本事實(shí)和推論的內(nèi)容；能利用三個(gè)基本事實(shí)說明平面“平”、“無限延展”的基本特征；能夠利用三個(gè)基本事實(shí)和推論作圖、證明簡單問題．（2）在探究三個(gè)基本事實(shí)的過程中，體會(huì)通過研究基本元素之間的位置關(guān)系來刻畫基本元素特征的方法；體會(huì)從研究問題出發(fā)，通過直觀感知、實(shí)驗(yàn)操作獲得結(jié)論，再對(duì)某些結(jié)論通過說理或推理確認(rèn)結(jié)論的研究立體幾何問題的一般思路．發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：對(duì)三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的理解及其集合符號(hào)的語言表示．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：本節(jié)課所研究的三個(gè)基本事實(shí)和推論，是立體幾何的理論基礎(chǔ)．對(duì)于平面的概念，其“平”、“無限延展”是客觀存在的，學(xué)生會(huì)對(duì)為什么學(xué)習(xí)這三個(gè)基本事實(shí)，并用它們對(duì)平面的特征進(jìn)行刻畫不理解．教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生從公理化的角度理解平面的概念和三個(gè)基本事實(shí)之間的關(guān)系：基本事實(shí)的意義就是去刻畫平面這一不加定義的概念，利用基本事實(shí)，就可以用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”．2．教學(xué)問題二：在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，要用圖形、文字、符號(hào)三種語言形式表述基本事實(shí)和推論．圖形語言比較直觀，文字語言也比較容易理解．但用集合的符號(hào)語言表示幾何元素之間的關(guān)系以及幾何命題，學(xué)生還不習(xí)慣．這種不習(xí)慣多數(shù)情況是學(xué)生對(duì)圖形表達(dá)的幾何要素之間的關(guān)系不理解．教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生理解圖形或文字語言所反映的幾何關(guān)系的本質(zhì)，逐步熟悉用符號(hào)語言進(jìn)行表達(dá)．3．教學(xué)問題三：對(duì)于本節(jié)課的一些結(jié)論（如三個(gè)推論），需要從存在性和唯一性的角度進(jìn)行理解，這對(duì)于學(xué)生來講比較陌生，也比較困難．教學(xué)時(shí)要注意控制難度，不要采用嚴(yán)格的證明形式，宜采用說理的形式進(jìn)行說明，使學(xué)生循序漸進(jìn)，逐步學(xué)會(huì)證明立體幾何命題的方法．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：對(duì)基本事實(shí)的理解和集合符號(hào)語言的表示，對(duì)推論的說理證明．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到三個(gè)基本事實(shí)和推論，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．因此，在教學(xué)過程中借助實(shí)物模型．可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視三個(gè)基本事實(shí)和推論的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過程，同時(shí)，基本事實(shí)的證明與基本事實(shí)的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，引入新課[問題1]教室里的桌面、黑板面、海平面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？[問題2]生活中的平面有大小之分嗎？[問題3]幾何中的“平面”是怎樣的？教師1：提出問題1．學(xué)生1：平的．教師2：提出問題2．學(xué)生2：有．教師3：提出問題3．學(xué)生3：從物體中抽象出來的，絕對(duì)平、無大小、厚度之分、無限延展的.通過觀察圖片，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問題[問題4]在初中，我們已經(jīng)對(duì)點(diǎn)和直線有了一定的認(rèn)識(shí)，知道它們都是由現(xiàn)實(shí)事物抽象而來的，那么現(xiàn)在的平面又是怎么來的呢？有什么特點(diǎn)呢？[問題5]幾何里的“平面”有邊界嗎？用什么圖形表示平面？[問題6]一個(gè)平面把空間分成了幾部分？[問題7]在日常生活中，我們經(jīng)?？吹竭@樣一個(gè)場(chǎng)景：自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪就可以站穩(wěn)，三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī)，這是一種什么原理呢？[問題8]直線l與平面α如果只有一個(gè)公共點(diǎn)P，那么直線在平面內(nèi)嗎？如果直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么直線在平面內(nèi)嗎？[問題9]把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？[問題10]基本事實(shí)1有什么作用？[問題11]基本事實(shí)2有什么作用？[問題12]基本事實(shí)3有什么作用？教師4：提出問題4．學(xué)生4：平面是從課桌面、黑板面，平靜的水面等抽象出來的，類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.教師5：小結(jié)．1、平面(1)平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成45°,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖(1).②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).(3)平面的表示平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等.教師6：提出問題5.學(xué)生5：沒有.平行四邊形.教師7：提出問題6.學(xué)生6：兩部分.教師8：小結(jié).2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及語言表達(dá)：點(diǎn)A在直線l上，則A∈l，點(diǎn)A在直線l外，則A?l;點(diǎn)A在平面α內(nèi)，則A∈α，點(diǎn)A在平面α外，則A?α;直線l在平面α內(nèi)，則l?α，直線l在平面α外，則l?α;平面α與平面β相交直線l，則α∩β=l.教師9：提出問題7.學(xué)生7：這實(shí)際上就是我們平常說的三角形的穩(wěn)定性，其原理就是三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.教師10：小結(jié)基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。圖形：符號(hào)：A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α教師11：提出問題8.學(xué)生8：若一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定在平面內(nèi)，兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線一定在平面內(nèi)．教師12：小結(jié)基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)。圖形：符號(hào)：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α教師13：提出問題9.學(xué)生9：由于平面是無限延展的，所以不可能只有一個(gè)公共點(diǎn)，它們應(yīng)該有一條公共直線．教師14：小結(jié)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。圖形：符號(hào)：P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l教師15：提出問題10.學(xué)生10：①確定平面的依據(jù)；②判定點(diǎn)線共面.教師16：提出問題11.學(xué)生11：①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；②判定點(diǎn)在平面內(nèi).教師17：提出問題12.學(xué)生12：①判定兩平面相交的依據(jù)；②判定點(diǎn)在直線上.教師18：小結(jié)利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得下面三個(gè)推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。作用：確定一個(gè)平面。類比點(diǎn)和直線的概念，引出平面的概念，類比直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”．通過講解，讓學(xué)生明白點(diǎn)與直線、平面關(guān)系的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，教給學(xué)生數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用。通過思考，引入基本事實(shí)1，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，引入基本事實(shí)2，提高學(xué)生分析問題的能力。通過思考，引入基本事實(shí)3，了解兩個(gè)相交平面交于一條直線。典例分析，舉一反三1.立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化例1.用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．2.點(diǎn)、線共面問題例2.已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).線共點(diǎn)和三點(diǎn)共線問題例3.如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).[課堂練習(xí)1]如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，則可以表示為()A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈α[課堂練習(xí)2]如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，求證：點(diǎn)P在直線DE上．教師19：完成例題1.學(xué)生13：(1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．教師20：完成例題2.學(xué)生14：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).學(xué)生15：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).教師21：完成例題3.學(xué)生16：因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.所以AB，CD必定相交于一點(diǎn).設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).教師22：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生17：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．通過例題講解，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉用數(shù)學(xué)語言表示點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用能力。通過例題2、3應(yīng)用三個(gè)基本事實(shí)解決問題，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。[課堂練習(xí)1]鞏固符號(hào)語言的表示．[課堂練習(xí)2]應(yīng)用三個(gè)基本事實(shí)解決問題.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題10]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.下列有關(guān)平面的說法正確的是()2.下列命題中正確的是()A，B，C，D既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，則平面α和平面β重合3.已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC.A∈α，A∈β?α∩β＝AD.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A