人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第05講 平面向量的數(shù)量積（一）（含解析）

第5課平面向量的數(shù)量積（一）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．1、通過(guò)閱讀課本在向量前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2、理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義.3、在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01兩向量的夾角與垂直1．夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)．當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.【即學(xué)即練1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？解析如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°.以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為60°.即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.反思感悟求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．知識(shí)點(diǎn)02向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a|·|b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于b.【即學(xué)即練2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b等于()A．－3eq\r(2) B．－6eq\r(2)C．6eq\r(2) D．2答案B知識(shí)點(diǎn)03投影向量1．如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過(guò)eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b的投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．2．如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.【即學(xué)即練3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．解析∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(24,12×8)＝eq\f(1,4)，∴a在b上的投影向量為|a|cosθ·eq\f(b,|b|)＝12×eq\f(1,4)×eq\f(1,8)b＝eq\f(3,8)b.（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，則向量在向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度為()A．－4 B．4C．－2 D．2答案B解析根據(jù)投影向量的定義，設(shè)，的夾角為，可得向量在方向上的投影向量的長(zhǎng)度是|||cos|＝＝4.故選B.知識(shí)點(diǎn)04平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量．則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.【即學(xué)即練4】(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．向量a在向量b上的投影向量可表示為eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)B．若a·b<0，則a與b的夾角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C．若△ABC是等邊三角形，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°D．若a·b＝0，則a⊥b答案AB解析對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義，知A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵a·b＝|a||b|cosθ<0，則cosθ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若△ABC是等邊三角形，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為120°，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，故D錯(cuò)誤．能力拓展能力拓展考法01向量的夾角【典例1】在銳角SKIPIF1<0中，關(guān)于向量夾角的說(shuō)法，正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角【答案】B【詳解】SKIPIF1<0為銳角三角形，A，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角，A錯(cuò)誤；B，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角，B正確；C，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角，C錯(cuò)誤；D，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角，D錯(cuò)誤.故選：B【變式訓(xùn)練】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是AC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角等于SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．考法02求兩向量的數(shù)量積【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為135°，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．12【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為135°，所以SKIPIF1<0，故選：B反思感悟定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件．【變式訓(xùn)練】．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B.考法03投影向量【典例3】（多選）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影為SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】因?yàn)榘诉呅蜸KIPIF1<0是正八邊形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對(duì)于A：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的夾角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0且?jiàn)A角相等，由數(shù)量積的定義知SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影不是SKIPIF1<0，胡選項(xiàng)D不正確；故選：ABC.反思感悟投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個(gè)向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定．(2)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθeq\f(b,|b|).【變式訓(xùn)練】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0故選：A.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．已知向量與SKIPIF1<0的夾角為,且,若,且,,則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.2．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C．3．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0.故選：C4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0.故選：B5．如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】延長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，故選：B.6．在四邊形ABCD中，若SKIPIF1<0，則該四邊形為（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以四邊形ABCD為矩形故選：B7．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形【答案】A【詳解】由題知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)平方并展開(kāi)化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．綜上可知，SKIPIF1<0的形狀是等腰直角三角形．故選：A．8．如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為120°，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】11【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：11.10．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．11．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)6(2)SKIPIF1<0或2【詳解】（1）SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0；（2）由題意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或2，所以實(shí)數(shù)k的值是-1或2.12．如圖，在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)設(shè)SKIPIF1<0，求x，y的值，并求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題組B能力提升練1．若單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.2．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0.故選：C3．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】B【詳解】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：B.4．（多選）對(duì)于任意向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命題中不正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中至少有一個(gè)為SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角的范圍是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】A，當(dāng)SKIPIF1<0為非零向量，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，B選項(xiàng)正確.C，向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角的范圍是SKIPIF1<0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D，SKIPIF1<0，D選項(xiàng)正確.故選：AC5．（多選）已知SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線且反向D．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】對(duì)于A，由平面向量數(shù)量積定義可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都和SKIPIF1<0垂直時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則兩個(gè)向量的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線且反向，故C正確；對(duì)于D，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角時(shí)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤；故選:AC.6．已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________.【答案】4【詳解】取AC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BD，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，則O為BD的中點(diǎn)，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案為：4.7．如圖，圓SKIPIF1<0是半徑為1的圓，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值為3，即SKIPIF1<0有最大值3，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08．如圖，直徑SKIPIF1<0的半圓，SKIPIF1<0為圓心，點(diǎn)SKIPIF1<0在半圓弧上，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上有動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°．試求：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，且滿足AE＝SKIPIF1<0AB，AF＝SKIPIF1<0AD，BG＝SKIPIF1<0BC，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若EF⊥EG，SKIPIF1<0，求角A的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】（1）由平面向量的線性運(yùn)算可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

（2）由題意，因?yàn)镋F⊥EG，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則可化簡(jiǎn)上式為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.題組C培優(yōu)拔尖練1．已知SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取到最大值時(shí)，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】根據(jù)題意：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，點(diǎn)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0等分點(diǎn)處(靠近SKIPIF1<0點(diǎn))解法一：欲使SKIPIF1<0最大，根據(jù)“米勒最大角定理”，此時(shí)以SKIPIF1<0為弦圓與SKIPIF1<0相切，根據(jù)切割弦定理：SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解法二：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)成立.故選:A2．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理得，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊平方，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即SKIPIF1<0，∴線段CD長(zhǎng)度的最小值為SKIPIF1<0．故選：D．3．（多選）平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以A正確;SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0,所以B錯(cuò)誤;如圖，作半徑都等于2且公共弦長(zhǎng)等于2的兩個(gè)圓中，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,符合題意，由圖可知，當(dāng)SKIPIF1<0同過(guò)兩圓的圓心時(shí)SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0的最大值等于圓心距加半徑為SKIPIF1<0，所以C正確;作SKIPIF1<0如圖，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,在射線SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,過(guò)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0,則有點(diǎn)SKIPIF1<0在直線l上，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0,過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0重合時(shí)取得等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.所以D正確.故選:ACD.4．（多選）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于F，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】解：因?yàn)樵谒倪呅蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對(duì)于A：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：設(shè)SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于SKIPIF1<0：由題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零平面向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是_________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】由題，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根據(jù)幾何性質(zhì)，點(diǎn)B在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，利用數(shù)量積公式展開(kāi)可得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)C的軌跡為以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為圓心，半徑為1的圓，所以C的橫坐標(biāo)的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.6．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKI