人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第14講 正弦定理（原卷版）

第14講正弦定理目標導航目標導航課程標準課標解讀1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個數(shù)問題．3.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關(guān)系.4.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.5.掌握正弦、余弦定理的簡單應用．利用余弦定理加上本節(jié)課學習的正弦定理就可以正式進行解三角形的問題的訓練與提升，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)，提升數(shù)學學習能力。知識精講知識精講知識點01正弦定理條件在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結(jié)論eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)文字敘述在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等【即學即練1】在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA∶sinB的值是()A.eq\f(5,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7)D.eq\f(5,7)知識點02三角形中邊與角之間的關(guān)系1．利用余弦定理和正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).(2)2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinC＝c，(其中R為△ABC外接圓的半徑)2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a2>b2＋c2，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，△ABC為鈍角三角形；(2)若a2＝b2＋c2，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，△ABC為直角三角形；(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)>0，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，△ABC為銳角三角形．【即學即練2】如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定的能力拓展能力拓展考法01已知兩角及任意一邊解三角形【典例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．反思感悟(1)正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．(2)因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角．【變式訓練】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．考法02已知兩邊及其中一邊的對角解三角形【典例2】在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形．反思感悟已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理解三角形的步驟(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值，進而求出這個角．(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角．(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊．【變式訓練】在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cosC等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(6),2)考法03已知兩邊及一邊對角判斷三角形解的個數(shù)【典例3】不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)b＝72，c＝50，C＝135°.反思感悟(1)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法①應用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)；②在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a＝b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a＝bsinA一解a<bsinA無解(2)通過正弦定理和三角形中大邊對大角的原理，判斷三角形的解的個數(shù)，提升了邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．考法03利用正弦、余弦定理解三角形【典例4】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，解三角形．反思感悟若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此三角形解的個數(shù)的判斷；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<04．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<06．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有一個解，則SKIPIF1<0的取值范圍是________.8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的面積等于______．9．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.10．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積的最大值．11．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．12．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.題組B能力提升練1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AD平分SKIPIF1<0交BC于點D，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．SKIPIF1<0三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在銳角三角形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0延長線上一點，且SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0外接圓的周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．20 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<06．秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學家，他在著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，即在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為內(nèi)角SKIPIF1<0所對應的邊，其公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則利用“三斜求積術(shù)”求SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求角A的大?。?2)設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊.8．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0內(nèi)切圓的面積.9．SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．10．記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長.題組C培優(yōu)拔尖練1．設(shè)SKIPIF1<0的面積為S，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的值域為______．2．已知SKIPIF1<0的外接圓的圓心為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.3．銳角三角形SKIPIF1<0的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.4．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積最大值為__________5．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積最大值為__________，此時SKIPIF1<0__________.6．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.7．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，其面積為SKIPIF1<0，且SK