人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第20講 復(fù)數(shù)的三角形式（原卷版）

第20講復(fù)數(shù)的三角形式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式,并能與代數(shù)形式進行相互轉(zhuǎn)化;2.掌握復(fù)數(shù)的三角形式的運算法則和運算律并能熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式;復(fù)數(shù)的三角形式的運算法則和運算律的應(yīng)用知識精講知識精講知識點01復(fù)數(shù)的三角形式1.復(fù)數(shù)的輔角：設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）對應(yīng)向量SKIPIF1<0，以x軸的正半軸為始邊，向量SKIPIF1<0所在的射線(起點為O)為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的輻角，記作ArgSKIPIF1<0，其中適合SKIPIF1<0的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作SKIPIF1<0．說明：（1）不等于零的復(fù)數(shù)Z的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差2π的整數(shù)倍，即ArgSKIPIF1<0=SKIPIF1<0+argSKIPIF1<0．（2）當(dāng)a∈R+時，arga=0，arg（-a）=π，argai=SKIPIF1<0，arg（-ai）=SKIPIF1<0，arg0不一定。【即學(xué)即練1】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識點02復(fù)數(shù)的三角形式r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的三角形式，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．定義本身告訴我們復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以互化。【即學(xué)即練2】復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A知識點03復(fù)數(shù)三角形式的運算：設(shè)SKIPIF1<0=r(cosθ＋isinθ)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(cosθ1＋isinθ1)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(cosθ2＋isinθ2)．則（1）乘法：SKIPIF1<0（向量的旋轉(zhuǎn)與伸縮）（2）除法：SKIPIF1<0（3）乘方：SKIPIF1<0（4）開方：SKIPIF1<0，其幾何意義：復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點為中心的正n邊形的n個頂點?！炯磳W(xué)即練2】歐拉公式SKIPIF1<0是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0能力拓展能力拓展考法01【典例1】設(shè)復(fù)數(shù)z的輻角的主值為SKIPIF1<0，虛部為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（i是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考法02輻角主值【典例2】復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的輻角主值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的輻角主值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法03復(fù)數(shù)三角形式應(yīng)用【典例3】歐拉公式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A．SKIPIF1<0的虛部為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知復(fù)數(shù)滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)的模是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的實部為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．已知非零復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，則（）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<09．下列說法中正確的有（）A．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限；B．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限；C．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等腰或直角三角形；D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等腰三角形.10．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均為實數(shù)），下列說法正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的虛部為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的二次方程SKIPIF1<0的一個虛根，則SKIPIF1<0______．四、解答題12．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求a的值；(2)若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上，求a的值．題組B能力提升練一、多選題1．歐拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)的點位于第三象限 B．SKIPIF1<0為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<02．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．z是方程SKIPIF1<0的一個根 D．滿足SKIPIF1<0最小正整數(shù)n為33．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，并給出公式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)），這個公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.據(jù)此公式，下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第一象限B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．以下不是復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如果非零復(fù)數(shù)z有一個輻角為SKIPIF1<0，那么下列對z判斷錯誤的是（）A．輻角唯一 B．輻角主值唯一C．輻角主值為SKIPIF1<0 D．輻角主值為SKIPIF1<06．歐拉公式SKIPIF1<0（其中i為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位．依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模長等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底）稱為歐拉公式，被稱為世界上最完美的公式，在復(fù)分析領(lǐng)域內(nèi)占重要地位，它將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)．根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（）A．對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的運算結(jié)論，正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．任何一個復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：SKIPIF1<0的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：SKIPIF1<0，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為純虛數(shù)10．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論中正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．復(fù)數(shù)z是方程SKIPIF1<0的一個根D．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的輻角主值為SKIPIF1<0題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0 B．16 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面上對應(yīng)向量SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0按順時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0后得到向量SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0對應(yīng)的復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0的輻角主值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題3．若SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____．4．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是實系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0的一個根，則SKIPIF1<0______．三、解答題5．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)向量SKIPIF1<0，它的共軛復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)向量SKIPIF1<0．(1)若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個虛根，求出實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍，并用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0所對應(yīng)的復(fù)