人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第32講 直線與平面垂直（原卷版）

第32講直線與平面垂直目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用定理判定線面垂直.3.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題．1.本節(jié)主要內(nèi)容是在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:能運(yùn)用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的過(guò)程，其核心是理解判定定理、性質(zhì)定理的條件由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)在不同語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，把線面垂首問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題2.直線與平面重直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，世為平面與平面重直的研究做了灘各線公全屏面垂直是在學(xué)生掌握了線在面內(nèi)、線面平行之后緊接著研究的線面相交位置關(guān)系中的行中，我們研究了定義、判定定理以及性質(zhì)定理，為本節(jié)課提供了研究?jī)?nèi)容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的教學(xué)，盡管新課標(biāo)在必修課程中不要求證明，但通過(guò)5A程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)以及運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做圖示畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直【即學(xué)即練1】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB知識(shí)點(diǎn)02直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言【即學(xué)即練2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.反思感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．知識(shí)點(diǎn)03直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中斜足斜線和平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則【即學(xué)即練3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．反思感悟(1)求直線與平面所成角的關(guān)鍵是尋找過(guò)直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內(nèi)的射影，直線與直線在平面內(nèi)射影所成的角即為線面角．(2)通過(guò)作輔助線找垂線，確定線面角，提升直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)04直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b圖形語(yǔ)言反思感悟一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．【即學(xué)即練4】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求AE與平面BDE所成角的大?。芰ν卣鼓芰ν卣箍挤?1直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解【典例1】(多選)下列命題中，不正確的是()A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α反思感悟?qū)τ诰€面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事．【變式訓(xùn)練】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))考法02直線與平面垂直的判定【典例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD.反思感悟證明線面垂直的方法(1)由線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【變式訓(xùn)練】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.考法03直線與平面垂直的性質(zhì)【典例3】在四面體P－ABC中，若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝eq\r(2)∶1，則AB1與平面BB1C1C所成角的大小為()A．45° B．60°C．30° D．75°分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．已知SKIPIF1<0所在的平面為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．不確定2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．下列命題為真命題的是（）A．若直線l與平面α上的兩條直線垂直，則直線l與平面α垂直B．若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行C．若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直D．若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α平行4．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0是一個(gè)平面，則（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<05．如圖，正方體SKIPIF1<0中，E?F是線段A1C1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF長(zhǎng)為定值，下列結(jié)論中不正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0面CEFC．三角形BEF和三角形CEF的面積相等 D．三棱錐B-CEF的體積為定值6．已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不重合的兩條直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； D．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.8．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足SKIPIF1<0的是（）A． B．C． D．三、填空題9．在正四面體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為_(kāi)_______．10．若SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0所在直線和平面SKIPIF1<0成30°角，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離=___________11．對(duì)于任意給定的兩條異面直線，存在______條直線與這兩條直線都垂直．12．如圖（1）平行六面體容器SKIPIF1<0盛有高度為SKIPIF1<0的水，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.固定容器底面一邊SKIPIF1<0于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過(guò)SKIPIF1<0四點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值為_(kāi)__________.四、解答題13．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．14．如圖所示，在SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角SKIPIF1<0的大小.15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．(1)求證：PA⊥平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．16．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不重合）分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．題組B能力提升練一、單選題1．在正方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（l與直線SKIPIF1<0不重合），則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與l異面但不垂直 D．SKIPIF1<0與l相交但不垂直2．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）A．0 B．2 C．4 D．123．已知點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的兩側(cè)，且點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到SKIPIF1<0的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．14．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<05．已知平面SKIPIF1<0內(nèi)的SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角均為135°，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角SKIPIF1<0的余弦值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)Р在SKIPIF1<0所在平面外，點(diǎn)O是P在平面ABC上的射影，且點(diǎn)O在SKIPIF1<0的內(nèi)部．若PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)О是SKIPIF1<0的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心二、多選題7．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是DD1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為SKIPIF1<0D．異面直線B1C與BD所成的角為45°8．如圖所示，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).則（）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行C．點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離相等D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角可能相等三、填空題9．在三棱錐SKIPIF1<0中，點(diǎn)Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)Q定是SKIPIF1<0的______心．10．菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為O，P是菱形所在平面外一點(diǎn)，SKIPIF1<0平面ABCD，則異面直線AC與PD所成角大小為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<011．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0中的射影是SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積之和為4，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值為_(kāi)_____．12．在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0四、解答題13．如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，