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5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【題型歸納目錄】題型一:正余弦函數(shù)的周期問題題型二:正余弦函數(shù)的奇偶問題題型三:正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題題型四:正余弦函數(shù)的單調(diào)問題題型五:根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題題型六:比較大小題型七:正余弦函數(shù)的最值與值域問題題型八:正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一:周期函數(shù)函數(shù),定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),都有,其中是一個(gè)非零的常數(shù),則是周期函數(shù),是它的一個(gè)周期.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、定義是對(duì)中的每一個(gè)值來說的,只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說是的一個(gè)周期.2、對(duì)于周期函數(shù)來說,如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),就稱它為最小正周期,三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期.知識(shí)點(diǎn)二:正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn);最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)正弦函數(shù)的值域?yàn)?,是指整個(gè)正弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線,如果定義域不是全體實(shí)數(shù),那么正弦函數(shù)的值域就可能不是,因而求正弦函數(shù)的值域時(shí),要特別注意其定義域.(2)求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),易錯(cuò)點(diǎn)有二:一是單調(diào)區(qū)間容易求反,要注意增減區(qū)間的求法,如求的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí),應(yīng)先將變換為再求解,相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間;二是根據(jù)單調(diào)性的定義,所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi),因此求單調(diào)區(qū)間時(shí),必須先求定義域.知識(shí)點(diǎn)三:正弦型函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù),余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù),余弦函數(shù)類似地得到:(1)定義域:(2)值域:(3)單調(diào)區(qū)間:求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答,即把視為一個(gè)“整體”,分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間對(duì)應(yīng)解出,即為所求的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.比如:由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間,由解出的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.(4)奇偶性:正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性.對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí)為奇函數(shù),當(dāng)時(shí)為偶函數(shù).知識(shí)點(diǎn)詮釋:判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外,也可以通過圖象直觀判斷,但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件.(5)周期:函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān),其周期為.(6)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值(或最小值),因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出,其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),即對(duì)稱中心為.知識(shí)點(diǎn)四:余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)余弦函數(shù)的值域?yàn)?,是指整個(gè)余弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的余弦曲線,如果定義域不是全體實(shí)數(shù),那么余弦函數(shù)的值域就可能不是,因而求余弦函數(shù)的值域時(shí),要特別注意其定義域.(2)求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)先將變換為再求解,所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi),因此求單調(diào)區(qū)間時(shí),必須先求定義域.知識(shí)點(diǎn)五:余弦型函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到:(1)定義域:(2)值域:(3)單調(diào)區(qū)間:求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答,即把視為一個(gè)“整體”,余弦函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間對(duì)應(yīng)解出,即為所求的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.(4)奇偶性:余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性,對(duì)于函數(shù),當(dāng)時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí)為奇函數(shù).(5)周期:函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān),其周期為.(6)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值(或最小值),因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出,其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),即對(duì)稱中心為.同理,的對(duì)稱軸由解出,對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出.知識(shí)點(diǎn)詮釋:判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外,也可以通過圖象直觀判斷,但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件.若,則函數(shù)不一定有對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.【典型例題】題型一:正余弦函數(shù)的周期問題例1.函數(shù)的最小正周期為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意,在中,,∴,故選:D.例2.下列函數(shù),最小正周期為的是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為,故A不符合;函數(shù),其最小正周期為,故B不符合;因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以函數(shù)的最小正周期為,故C符合;因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以函數(shù)的最小正周期為,故D不符合.故選:C.例3.已知函數(shù)的最小正周期為,則.【答案】12【解析】由于,依題意可知.故答案為:變式1.如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為,則.【答案】6【解析】∵函數(shù)f(x)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為,∴周期,由,得.故答案為:6.變式2.已知函數(shù),且的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2,則.【答案】【解析】由題意最小正周期為,故,所以,則,則.故答案為:變式3.函數(shù)的周期不可能為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng),時(shí),函數(shù),最小正周期為,故選項(xiàng)A可能;當(dāng),時(shí),函數(shù),最小正周期為,故選項(xiàng)B可能;當(dāng),時(shí),函數(shù),最小正周期為,故選項(xiàng)C可能;而對(duì)于選項(xiàng)D:,則若時(shí),,令,所以與題設(shè)矛盾,故函數(shù)的最小正周期不可能是;故選:D.變式4.下列函數(shù)中,最小正周期為的偶函數(shù)是()A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A,定義域?yàn)?,因?yàn)?,所以函?shù)為偶函數(shù),因?yàn)榈膱D象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對(duì)稱后與軸上方的圖象共同組成(如下圖所示),又的最小正周期為,所以的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B:為最小正周期為的奇函數(shù),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:定義域?yàn)?,,即為偶函?shù),又,所以為的周期,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:為最小正周期為的偶函數(shù),故D錯(cuò)誤;故選:A變式5.若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2,則對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2,可得函數(shù)的最小正周期為,則對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值為.故選:B.變式6.已知函數(shù),若存在,使得恒成立,則的值是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t函數(shù)的最小正周期為,若存在,使得,則,所以,函數(shù)為周期函數(shù),且為函數(shù)的周期,所以,,即,因?yàn)椋?,,故選:D.變式7.記函數(shù)的最小正周期為,若,且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)任意的,,則為函數(shù)的最大值或最小值,故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故,解得,又因?yàn)榍液瘮?shù)的最小正周期滿足,即,解得,故.故選:D.變式8.函數(shù)的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】,則,則相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是.故選:C.變式9.設(shè),則等于(
)A. B. C.0 D.【答案】A【解析】,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以,又函數(shù)的周期為4,所以.故選:A.變式10.已知函數(shù)的最小正周期為,若,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知,,,或,所以,的最小值恰為函數(shù)圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離,即為該函數(shù)最小正周期的一半,因此,的最小值為.故選:D.【方法技巧與總結(jié)】(1)定義法,即利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法,對(duì)形如或(,,是常數(shù),,)的函數(shù),(3)觀察法,即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.三種方法各有所長,要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓}型二:正余弦函數(shù)的奇偶問題例4.函數(shù)(
)A.是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)【答案】A【解析】由可知是奇函數(shù).故選:A例5.函數(shù)①;②,;③,中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】根據(jù)奇函數(shù)定義,②中違背了定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一要求,所以排除②;對(duì)于①,,是奇函數(shù);對(duì)于③,,是偶函數(shù).故選:B.例6.已知函數(shù),若,則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,解得:.故選:A.變式11.函數(shù),則(
)A.若,則為奇函數(shù) B.若,則為偶函數(shù)C.若,則為偶函數(shù) D.若,則為奇函數(shù)【答案】B【解析】的定義域?yàn)椋瑢?duì)A:若,,若為奇函數(shù),則,而不恒成立,故不是奇函數(shù);對(duì)B:若,,,故為偶函數(shù),B正確;對(duì)C:若,,,故不是偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)D:若,,若為奇函數(shù),則,而不恒成立,故不是奇函數(shù);故選:B變式12.已知為偶函數(shù),則(
)A. B.6 C. D.3【答案】D【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,解得,所以,.故選:D.變式13.使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ=()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù),∴,∴使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù).故選:B變式14.若函數(shù)為偶函數(shù),則的最小正值為.【答案】/【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,為偶函?shù),則,即,則,即是偶函數(shù),可知,,即,,故取最小正值為.故答案為:.變式15.設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則.【答案】2【解析】,令,易知,,即為奇函數(shù),所以結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有.故答案為:2變式16.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)則的值為.【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),則有,解得,,解得,所以.故答案為:0變式17.已知函數(shù)為偶函數(shù),則(
)A.0 B. C. D.【答案】C【解析】∵f(x)定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù),∴,,.當(dāng)時(shí),為偶函數(shù)滿足題意.故選:C.變式18.已知,,且,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,為奇函數(shù),,,,.故選:C【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)利用定義判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性,要考慮兩方面:①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②與的關(guān)系;(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是:①定義法;②圖象法.題型三:正余弦函數(shù)的對(duì)稱問題例7.設(shè)函數(shù)與函數(shù)在上的圖象的所有交點(diǎn)為,,…,,則(
)A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象,如下圖所示:由圖可知兩函數(shù)共有四個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)它們?yōu)?,,,,其中,設(shè),所以有,所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,所以.故選:C.例8.下列選項(xiàng)中不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程的是(
)A. B.C. D.以上選項(xiàng)都不正確【答案】B【解析】因?yàn)椋?,,則,則和都是圖象的對(duì)稱軸方程,而,則不是圖象的對(duì)稱軸方程.故選:B.例9.函數(shù)的一條對(duì)稱軸為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸滿足,解得,令,則,故選:A.變式19.函數(shù)的圖象(
)A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【解析】A.,所以函數(shù)不關(guān)于直線對(duì)稱,故A錯(cuò)誤;B.,所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,故B正確;C.,所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;D.,所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故D錯(cuò)誤;故選:B變式20.若函數(shù)對(duì)任意都有,則的值為(
)A. B. C. D.0【答案】C【解析】根據(jù),可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,由余弦型函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大或最小值即得解.根據(jù),可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,故的值為函數(shù)的最大值或最小值,故選:C.變式21.已知函數(shù)的最小正周期為,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則.【答案】/【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以;又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可得,可得,且,所以,所以,所以.故答案為:.變式22.設(shè)函數(shù),若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則的值可以是.(寫出一個(gè)滿足條件的值即可)【答案】(答案不唯一)【解析】因?yàn)楹瘮?shù),且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以,,解得,,所以的值可以是,,,,,(寫出一個(gè)即可).故答案為:(答案不唯一).變式23.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為,則一個(gè)滿足題意的的值是.【答案】2(答案不唯一,均可).【解析】由題意,,其中最小的正數(shù)為,即.故答案為:2(答案不唯一,均可).變式24.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于.【答案】8【解析】由,則,即關(guān)于對(duì)稱;由在上遞增且值域?yàn)?、上遞增且值域?yàn)椋谊P(guān)于對(duì)稱;又,根據(jù)對(duì)稱性知:,所以、且的圖象如下,所以,在的兩側(cè)各有4個(gè)交點(diǎn),且4對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱,故任意兩個(gè)對(duì)稱的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2,所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.故答案為:8變式25.已知函數(shù)的最小正周期為,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以,又因?yàn)橹本€是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,所以,解得:,因?yàn)?,所以,則函數(shù),所以,故答案為:.變式26.已知函數(shù),則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù),所以的對(duì)稱中心是,令,得,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象,如圖所示:由圖象知:兩個(gè)函數(shù)圖象有8個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)由對(duì)稱性可知:零點(diǎn)之和為0,故答案為:0變式27.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,所以,所以,則當(dāng)時(shí),的最小值為.故答案為:變式28.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,請(qǐng)寫出一個(gè)的值:.【答案】(答案不唯一,符合,即可)【解析】由題意可知,,解得,,故答案為:(答案不唯一,符合,即可)【方法技巧與總結(jié)】(1)正弦曲線(余弦曲線)既是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形;(2)正弦曲線(余弦曲線)的對(duì)稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),即此時(shí)的正弦值(余弦值)取最大值或最小值;(3)正弦曲線(余弦曲線)的對(duì)稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與軸的交點(diǎn),即此時(shí)的正弦值(余弦值)為0.題型四:正余弦函數(shù)的單調(diào)問題例10.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】由的圖象與性質(zhì),的單調(diào)減區(qū)間為,,所以D符合題意.故選:D.例11.函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是().A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是,由,可得函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是.故選:A.例12.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】令,所以,當(dāng),由于,故D正確,ABC均錯(cuò)誤,故選:D變式29.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】因?yàn)?,所以的單調(diào)遞增區(qū)間就是的單調(diào)遞減區(qū)間.令,解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.變式30.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】,,即,,解得,的定義域?yàn)?,又令,可得可得的增區(qū)間為,,綜上可知的單調(diào)增區(qū)間為,故答案為:.變式31.y=cos的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】因?yàn)?,所以由得,,,即所求單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.變式32.已知函數(shù)(其中)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】【解析】由函數(shù)的圖象,可得,,即,所以,即,又由,可得,解得,即,因?yàn)?,所以,即,令,解得,即函?shù)的遞減區(qū)間為.故答案為:.變式33.函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】由題知,,解得,由解得:,所以,令,.解得:,.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為:.故答案為:.變式34.函數(shù),的增區(qū)間是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意,得.令,解得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.因?yàn)椋粤?,則得函數(shù),的單調(diào)增區(qū)間為.故選:C.變式35.已知函數(shù),,則的單調(diào)遞增區(qū)間是(
)A. B.C., D.,【答案】D【解析】可化為,故單調(diào)增區(qū)間:,,解得,.令,,令,.,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選:D【方法技巧與總結(jié)】(1)用“基本函數(shù)法”求函數(shù)(,)或(,)的單調(diào)區(qū)間的步驟:第一步:寫出基本函數(shù)(或)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;第二步:將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用不等式表示)中的“”;第三步:解關(guān)于的不等式.(2)對(duì)于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,當(dāng)時(shí),可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為,則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上.另外,值得注意的是這一條件不能省略.題型五:根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例13.已知函數(shù)的周期為,且滿足,若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】已知,令,解得則函數(shù)對(duì)稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),,解得,又由,且,得,故僅當(dāng)時(shí),滿足題意.故選:C.例14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意有,可得,又由,在上為減函數(shù),故必有,可得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:例15.已知函數(shù)的最小正周期為,且時(shí),函數(shù)取最小值,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則a的最大值是.【答案】【解析】由函數(shù)的最小正周期為,則,解得;,解得,則.由,則.故,由,則,,由函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,解得.故答案為:.變式36.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在區(qū)間上單調(diào),則.【答案】或【解析】由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,可得,解得,可得,又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào),可得,即,即,解得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故答案為:或.變式37.函數(shù)在上是減函數(shù),且在上恰好取得一次最小值,則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)椋?因?yàn)樵谏锨『萌〉靡淮巫钚≈?,所以,所?因?yàn)?,所?因?yàn)椋谏鲜菧p函數(shù),根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,解得.所以,.故答案為:.變式38.若函數(shù)在上不單調(diào),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得,若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,解得:,所以,解得,即,因?yàn)?,所以且,所以?/p>
①若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,解得,所以,解得,即,因?yàn)椋郧?,所以?/p>
②又因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào),且,所以的取值為①②所表示的不等式的補(bǔ)集,即或.故答案為:或.變式39.若,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且在區(qū)間上存在零點(diǎn),則的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,所以,即,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,在區(qū)間上存在零點(diǎn),所以,解得,綜上:,故答案為:變式40.已知函數(shù),若在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?,所以,在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),又由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得,所以.故答案為:變式41.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則取值范圍是.【答案】【解析】令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,解得,所以.故答案為:變式42.已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)中,,由,得,則在上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,則,于是,解得,由,,而,則,因此,所以的取值范圍是.故答案為:變式43.已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)椋?,又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,所以,所以,解得,由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,可知,即,又,所以或.所以的取值范圍是.故答案為:.變式44.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且在區(qū)間內(nèi)單調(diào),則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)閰^(qū)間的左端點(diǎn)為對(duì)稱軸,且在區(qū)間內(nèi)單調(diào),所以,其中,所以,又,所以,所以的最大值為.故答案為:.變式45.已知函數(shù),對(duì)于,,且在區(qū)上單調(diào)遞增,則的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)于,,可得在時(shí)取得最大值,即,可得,所以,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以且,解得,當(dāng)時(shí),,所以的最大值為.故選:C.【方法技巧與總結(jié)】已知正(余)弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解.題型六:比較大小例16.令,,判斷a與b的大小關(guān)系是(
)A. B. C. D.無法判斷【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B例17.設(shè),則大小關(guān)系(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?,且在上單調(diào)遞增,則,即;又因?yàn)?,且在上單調(diào)遞減,則,即,且,所以.故選:B.例18.已知,,,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式知:,,在上單調(diào)遞增,,即.故選:D.變式46.已知,,,則,,的大小關(guān)系為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,所以,,所以,所?故選:C.變式47.已知偶函數(shù)定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,,則的大小關(guān)系是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),可得,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),單調(diào)遞減,且,所以,即,所以.故選:B.變式48.下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)?,,所以,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)?,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?,,又,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋?,又,所以,即,故D正確.故選:D.變式49.若為銳角三角形,則(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】∵為銳角三角形,∴,,∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C,∵,,,∴,∴,∴,即,∴,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由選項(xiàng)C中判斷,,∴,故選項(xiàng)D正確.故選:D.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?)比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.(2)比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小,一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù),后面步驟同上.題型七:正余弦函數(shù)的最值與值域問題例19.當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為.【答案】【解析】依題意令,,解得,,所以函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為.故答案為:例20.已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒ta+b的值為.【答案】或【解析】因?yàn)?,所以,所?因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),,所以解得當(dāng)時(shí),,所以解得所以或,所以或.故答案為:或.例21.函數(shù)的值域是.【答案】【解析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡,然后結(jié)合正弦函數(shù)的值域,的值域?yàn)?,故答案為?變式50.函數(shù)在上的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥?,則,于是,所以所求值域?yàn)?故答案為:變式51.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?,,,所以,?dāng)即時(shí)取得最小值為.故答案為:變式52.求的最小值是【答案】【解析】,令,,當(dāng),.故答案為:變式53.函數(shù)取最大值時(shí)自變量的取值集合是.【答案】【解析】函數(shù)取得最大值1時(shí),可得:(),解得,所以自變量的取值集合是.故答案為:.變式54.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?,值域?yàn)椋瑒t的最大值為【答案】【解析】作出函數(shù)的部分圖像如圖所示:因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,不妨設(shè),由圖像可得.故答案為:.變式55.函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】,,則,,故.故答案為:變式56.函數(shù)在的值域是.【答案】【解析】因?yàn)椋?,所以,所以函?shù)在的值域是.故答案為:.變式57.函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥苛睿?,則,即,所以,又因?yàn)?,所以,即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?變式58.函數(shù),的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥苛?,則,當(dāng)時(shí),則函數(shù)取得最小值為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值為,故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為:變式59.函數(shù)的最小值是.【答案】【解析】由,又,則,所以,所以函數(shù)的最小值是.故答案為:.變式60.已知函數(shù)()的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.(1)求的值;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為,,∴,,∴,,由于,∴.(2)由(1)知,∵當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為1,最小值為.【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有:觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式,一般方法也適用,但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì).常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種:(1)形如的三角函數(shù),令,根據(jù)題中的取值范圍,求出的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值(值域).(2)形如的三角函數(shù),可先設(shè),將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).(3)對(duì)于形如(或)的函數(shù)的最值還要注意對(duì)的討論.題型八:正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用例22.(多選題)下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是(
)A.周期為 B.單調(diào)遞增區(qū)間是C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】對(duì)于A,函數(shù)的周期為,故A正確;對(duì)于B,令,得,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)椋灾本€不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋院瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故D正確.故選:ABD.例23.(多選題)已知函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A.的最小正周期是 B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】函數(shù),對(duì)于選項(xiàng)A,的最小正周期,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,由,在上單調(diào)遞增,B選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)C,由解得,的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,由解得,當(dāng)時(shí),,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ACD.例24.(多選題)已知函數(shù),以下結(jié)論正確的是(
)A.它是周期為的周期函數(shù)B.它是偶函數(shù)C.它在這個(gè)區(qū)間有且只有1個(gè)零點(diǎn)D.它的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】A.,,,所以不是周期為的周期函數(shù),故A錯(cuò)誤;B.函數(shù)的定義域?yàn)?,,所以函?shù)是偶函數(shù),故B正確;C.當(dāng)時(shí),,得,無解,當(dāng)時(shí),,得,無解,當(dāng)時(shí),,得,無解,當(dāng)時(shí),,得,,時(shí),,得,,綜上可知,它在這個(gè)區(qū)間有且只有2個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤;D.當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,再結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù),可知,函數(shù)的值域是,故D正確.故選:BD變式61.(多選題)在現(xiàn)代社會(huì)中,信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù),我們通過每天都在使用的或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到.而信號(hào)處理背后的‘功臣’就是和正弦相關(guān)的某類函數(shù),的圖象就可以近似模擬某種信號(hào)的波形,則下列說法正確的是(
)A.函數(shù)為周期函數(shù),且最小正周期為B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱【答案】BC【解析】A.,故錯(cuò)誤;B.因?yàn)?,所以函?shù)為奇函數(shù),故正確;C.因?yàn)?,所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故正確;D.因?yàn)?,所以函?shù)的圖象不關(guān)于中心對(duì)稱,故錯(cuò)誤;故選:BC變式62.(多選題)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說法中正確的是(
)A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在的取值范圍為【答案】AC【解析】觀察圖象得,函數(shù)的周期,則,由,得,而,則,因此,對(duì)于A,由于,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,A正確;對(duì)于B,由于,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,C正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,則,因此,D錯(cuò)誤.故選:AC變式63.(多選題)已知函數(shù),若,,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,則下列說法正確的有(
)A.B.對(duì)任意,均有C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.【答案】ABD【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,且所以點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心,并且最小正周期滿足,即,所以當(dāng),則直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心相鄰,則,即,所以,故A正確;則,由于是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心,所以,得,又,所以,故D正確;則,所以,又的最大值為,則對(duì)任意,均有,故B正確;當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),故C錯(cuò)誤.故選:ABD.變式64.設(shè)函數(shù)(A,ω,φ是常數(shù),,).若在區(qū)間上具有單調(diào)性,且,試畫圖找出的最小正周期.【解析】設(shè)的最小正周期為,因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性,所以,解得,由,且,可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱;由,且在區(qū)間上具有單調(diào)性,可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為,即其圖象關(guān)于成中心對(duì)稱;如圖所示:則,解得,所以的最小正周期為.變式65.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),且圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求m的取值范圍.【解析】(1)由題意可得的最小正周期,則,因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn),所以,所以,解得,因?yàn)?,所以,令,解得,即的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)因?yàn)椋?,所以,則,因?yàn)閷?duì)任意的,不等式恒成立,所以恒成立,所以,解得,故m的取值范圍為.變式66.已知函數(shù),(1)若,則的最小值為,求的解析式.(2)在(1)的條件下,若在上的值域是,求實(shí)數(shù)的取值范圍;【解析】(1)由題意可得:,所以:,故的解析式為;(2)由(1)可得,令,則,如圖所示,的值域是,,,即:,由圖可知,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式67.已知函數(shù)(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象(先在所給的表格中填上所需的數(shù)字,再畫圖);00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.【解析】(1)分別令,可得:x00100畫出函數(shù)在一個(gè)周期的圖像如圖所示:(2)因?yàn)?,所以,所以?dāng),即時(shí),取最小值0;當(dāng),即時(shí),取最大值1.變式68.已知函數(shù)的圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.(1)求函數(shù)的解析式和對(duì)稱中心;(2)求的定義域;(3)函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn),(),求的值.【解析】(1)因?yàn)閳D像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為,所以周期,所以,則,由,,得,,所以的中心為.(2)因?yàn)椋?,得,所以,,解得,,所以的定義域?yàn)椋?)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn),(),∴在有兩個(gè)根.對(duì)于函數(shù),由,,得,,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為所以,則,所以,又,故.變式69.已知函數(shù),(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求不等式的解集;(3)若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由,則,令或,解得或,所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)由,即,所以,所以,,解得,,所以不等式的解集為.(3)由,則,令,解得,令,解得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,,因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式70.已知函數(shù),且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件.條件①:的最小值為;條件②:圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為;條件③;的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)確定的解析式;(2)若圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間上,求a的取值范圍.【解析】(1)選①②,由函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,得函數(shù)的周期,則,由①得,由②得,而,則,所以.選①③,由函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,得函數(shù)的周期,則,由①得,由③得,即,而,即,因此,解得,所以.選②③,由函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,得函數(shù)的周期,則,由②得,而,則,此時(shí),由③得,即,解得,所以.(2)由(1)知,函數(shù),由,得,于是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為,因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間上,則有,且,即,所以a的取值范圍是.變式71.已知函數(shù).(1)若,求的最小值;(2)若在區(qū)間上的值域?yàn)?,求的取值范圍.【解析】?)因?yàn)?,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,解得.又,故當(dāng)時(shí),取得最小值1.(2)當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?,所以,解得:.所以的取值范圍為.變?2.已知函數(shù),.(1)對(duì)任意的,若恒成立,求的取值范圍;(2)對(duì)任意的,存在,使得,求的取值范圍.【解析】(1),因?yàn)椋?,令,因?yàn)?,所以,所以?duì)恒成立,令,則對(duì)恒成立,因?yàn)?,所以或或,即或或,所以,即的取值范圍?(2)因?yàn)?,所以,所以.因?yàn)?,所以,由題意可知,的范圍是的范圍的子集,當(dāng)時(shí),,由,得;當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去;當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去.綜上所述,的取值范圍為.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1.,的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)值從1遞減到,在上單調(diào)遞增,函數(shù)值從遞增到1,函數(shù)在上的圖象,如圖,觀察圖象知,,的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選:C2.已知函數(shù)在時(shí)有最大值,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】在時(shí)取得最大值,即,可得,所以,因?yàn)橐蟮淖畲笾?,所以這里可只考慮的情況,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,解得,當(dāng)時(shí),,所以的最大值為,故選:C.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知,即,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?故選:B4.已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),,所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.故選:B.5.已知函數(shù),若,在區(qū)間上沒有零點(diǎn),則的取值共有(
)A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)【答案】B【解析】由題意,在中,,∴,所以,兩式相減得,所以,即,,因?yàn)椋?,令,,由題意知在上無零點(diǎn),故,,所以,即,兩式相加得,所以,又,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以的取值有5個(gè).故選:B.6.已知函數(shù),則其部分大致圖象是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】函數(shù),定義域?yàn)镽,,函數(shù)為奇函數(shù),AC選項(xiàng)排除;當(dāng)時(shí),,D選項(xiàng)排除;故選:B7.已知函數(shù),則是為奇函數(shù)的(
)A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時(shí),可得,定義域?yàn)镽,此時(shí),故為奇函數(shù),故充分性成立,而當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),得,故不一定為,故必要性不成立,是為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選:B8.已知,,,,則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】已知,則,因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),故;因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是增函數(shù),故,故.故選:A.二、多選題9.設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(
)A.的一個(gè)周期為 B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】因?yàn)楹瘮?shù),所以它的一個(gè)周期為,故A正確;令,求得為最小值,故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,故B正確;對(duì)于,令,可得,故的一個(gè)零點(diǎn)為,故C正確;當(dāng),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上沒有單調(diào)性,故D錯(cuò)誤.故選:ABC10.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為,與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為,則()A.的最小正周期為 B.的最小正周期為C. D.【答案】AC【解析】由題意知,函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為,與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為,可得,所以,所以A正確、B錯(cuò)誤;又由
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