2023-2024學(xué)年山東省德州市高三上冊9月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省德州市高三上冊9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，若，則對應(yīng)的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A．2 B．－2 C．－3 D．34．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．95．已知，，則（

）A． B． C．3 D．6．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點（靠近點A）且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．邊長為8的等邊所在平面內(nèi)一點O，滿足，若M為邊上的點，點P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9．下列命題不正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．命題“，”的否定是“，”C．的充要條件是D．若，則x，y至少有一個大于110．已知a，b，c，d，e，f均為實數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若正數(shù)a，b滿足，則B．“”是“”的充分不必要條件C．若，，，則D．已知，則存在負數(shù)c使成立11．已知函數(shù)，且，在上的圖象與直線恰有2個交點，則的值可能是（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列選項正確的有（

）A．函數(shù)的極大值為B．函數(shù)在點處的切線方程為C．當(dāng)時，方程恰有2個不等實根D．當(dāng)時，方程恰有3個不等實根三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知非零向量滿足，則與的夾角為.14．已知函數(shù)，.若有且只有1個零點，則a的取值范圍是.15．已知函數(shù)，若，使不等式成立，則實數(shù)m的取值范圍為.16．已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①的最小正周期是；②的一條對稱軸方程為；③若函數(shù)在區(qū)間上有5個零點，從小到大依次記為，，，，，則；④存在實數(shù)a，使得對任意，都只有一個，滿足.其中所有正確結(jié)論的序號是.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合，集合．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得是的必要不充分條件？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．18．函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若任意，對任意，總有不等式成立，求的取值范圍.19．已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.20．函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)對于，是否總存在唯一的實數(shù)，使得成立？若存在，求出實數(shù)m的值或取值范圍；若不存在，說明理由.21．為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設(shè)∠BAD＝，(，)．（1）當(dāng)cos＝時，求小路AC的長度；（2）當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．22．設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；(3)若方程有兩個實數(shù)根，證明.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）1．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由，可得，解得，所以，又由，可得，解得，所以，所以.故選：C.2．C【分析】根據(jù)，先把化簡，從而求得、的值，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，寫出，即可確定其對應(yīng)點所在的象限.【詳解】因為，所以，可化簡得：，則有：，，所以，則，對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.3．A【分析】結(jié)合題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，先確定函數(shù)的一個周期為，再按照函數(shù)的周期性計算即可.【詳解】因為函數(shù)滿足，且為上的奇函數(shù)，所以，所以，即的一個周期為4，又因為，所以.故選：A.4．C【分析】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號.故選：C.5．B【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得，利用三角恒等變換結(jié)合齊次式問題運算求解即可.【詳解】因為，則，解得或，且，則，所以，可得.故選：B.6．A【分析】畫出的圖象，設(shè)，可知關(guān)于t的方程在有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.【詳解】作函數(shù)的圖象如下：由函數(shù)圖象可知：要使關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，設(shè)，則關(guān)于t的方程在有兩個不同的實數(shù)根，因此，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選.7．B【分析】根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到，求得，設(shè)，得到，再結(jié)合正弦定理，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，可得，即，所以，，則，設(shè)，則，且，在中，且，則，在中，由，則，由，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又因為，故當(dāng)，即時，所以.故選：B.8．D【分析】把已知向量等式變形可得取AB中點H，BC中點G，連接GH，則，即，取GH中點K，延長KG到O，使，則O為所求點，然后求解三角形得答案．【詳解】如圖，由，得，即，取BC中點G，AB中點H，連接GH，則，即，取GH中點K，延長KG到O，使，則O為所求點，此時，所以，，∵點P滿足，M為邊上的點，∴當(dāng)M與A重合時，有最大值，為，而，∴的最大值為，D正確.故選：D.9．BC【分析】選項A和C，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可判斷出選項的正誤；選項B，利用全稱量詞的否定即可判斷出正誤，選項D，利用反證法即可判斷出正誤.【詳解】對于選項A，由得到，故“”是“”的必要不充分條件，故選項A正確；對于選項B，命題“，”的否定是“，”，故選項B錯誤；對選項C，由得到且，故的充分不必要條件是，故選項C錯誤；對于選項D，假設(shè)x、y全都不大于1，即且，則，與條件矛盾，假設(shè)不成立，故D正確.故選：BC.10．CD【分析】利用不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，A：∵，∴，故且時，原不等式也成立，故A錯誤.B：當(dāng)時，a，b的大小不確定，即“”不能推出“”，充分性不成立，故B錯誤；C：，∵，，，則，∴，，，即，故C正確；D：，，若c為負數(shù)，則，當(dāng)時，，此時成立，故D正確；故選：CD.11．BD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，然后由可得，求在上，由小到大的第二和第三個根，由求解可得.【詳解】.由，得，，又，得，.由，得，因為，即在中，由小到大的第二和第三個根分別為，所以要使在上的圖象與直線恰有2個交點，只需，得.故或.故選：BD.12．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)可判斷A；利用點斜式求出直線方程可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求出極值可得的大致圖象，轉(zhuǎn)化為圖象的交點個數(shù)求參數(shù)可判斷CD.【詳解】對于選項A：∵，在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，故A正確；對于選項B：因為，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即，故B錯誤；對于選項C、D：，當(dāng)時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)或時，有1個實數(shù)根；當(dāng)或時，有2個實數(shù)根；當(dāng)時，有3個實數(shù)根，故C錯誤，D正確.故選：AD.關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是利用數(shù)形結(jié)合思想求解.13．【分析】由已知可得：，并且，整理可得，進而可得，即可得到，即，再根據(jù)向量的夾角公式可求答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，兩式相減得，所以，將代入第一個式子可得：，所以，即.設(shè)向量與的夾角為，則，因為，所以向量與的夾角大小為.故答案為.14．【分析】令，將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)問題，然后在同一坐標系中，畫出與的函數(shù)圖象，最后根據(jù)圖象求解出結(jié)果.【詳解】令，則,在同一坐標系中畫出，圖象的示意圖，如圖所示，若存在2個零點，則的圖象與的圖象有2個交點，平移的圖象可知，當(dāng)直線過點時，有2個交點，此時，得到，當(dāng)在上方，即時，僅有1個交點，符合題意；當(dāng)在下方，即時，有2個交點，不符合題意，綜上，a的取值范圍為，故答案為.15．【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為在，上有，由的單調(diào)性求出其最小值，然后分，和三種情況求的最小值，從而可求出實數(shù)m的取值范圍【詳解】令，則問題可轉(zhuǎn)化為在，上有，易知在上單調(diào)遞增，故，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，所以，可得；②當(dāng)時，則，不符合題意；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，所以，可得.綜上所述，.故答案為.16．②③④【分析】作出的圖像，根據(jù)圖像可以逐一判斷前3個選項，對于④利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)的值域進行求解.【詳解】的圖象如下：對于①，的最小正周期是，①錯誤；對于②，的一條對稱軸方程為，②正確；對于③，畫出圖象，與在上有5個交點，這5個交點即為函數(shù)在區(qū)間上有5個零點，從小到大依次記為，，，，，且，關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，則，，，，故，③正確；對于④，時，單調(diào)遞增，且，對任意，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，由單調(diào)性可知存在實數(shù)a，使得對任意，只有一個，滿足，④正確.故②③④.17．(1)或；(2)存在，.【分析】（1）化簡集合N，求出其補集，由列出不等式組求解即可；（2）根據(jù)必要不充分條件轉(zhuǎn)化為，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意，，所以或，因為，所以或，解得或，所以實數(shù)m的取值范圍是或.（2）假設(shè)存在實數(shù)m，使得是的必要不充分條件，則，即，則，解得，故存在實數(shù)使得是的必要不充分條件.18．（1）；（2）或.【分析】（1）當(dāng)時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得在區(qū)間上的值域；（2）首先求得在區(qū)間上的最大值和最小值，由此得到對任意，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，對稱軸，，∴函數(shù)在上的值域為.（2）∵，∴對稱軸，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，∴，即對任意，不等式恒成立，設(shè)，由于在區(qū)間上恒成立，所以則，即，解得或.本小題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于難題.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇偶性求m，然后解不等式可得；（2）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，然后利用單調(diào)性求函數(shù)最值即可.【詳解】（1），由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即恒成立，∴.所以不等式為，解得：，所以原不等式的解集是.（2）由題得恒成立，即恒成立，因為，所以，所以恒成立，令，令，則，因為在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.∴.∵對任意的恒成立，且，∴.∴實數(shù)a的取值范圍是.20．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2)存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得與周期，從而可求得，再利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)平移變換的原則即可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；（2）由，得，分別求出和的范圍，再根據(jù)題意可得的范圍是的范圍的子集，進而可得出答案.【詳解】（1）由函數(shù)圖象可知，，，∴，，∴，當(dāng)時，，∴，由得，∴，由，得，由，解得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由，得，由，可得，∴，∴，又，得，所以，由的唯一性可得：即，由，得，解得，綜上所述，當(dāng)時，使成立.21．（1）；（2）【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ，根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB，進而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據(jù)三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結(jié)合題意當(dāng)θ﹣φ時，四邊形ABCD的面積最大，即θ＝φ，此時cosφ，sinφ，從而可求BD的值．【詳解】（1）在中，由，得，又，∴．∵

∴由得：，解得：，∵是以為直角頂點的等腰直角三角形

∴且∴在中，，解得：（2）由（1）得：，，此時，，且當(dāng)時，四邊形的面積最大，即，此時，∴，即答：當(dāng)時，小路的長度為百米；草坪的面積最大時，小路的長度為百米．本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22．(1)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)；(3)詳見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論根據(jù)其正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，即得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程，進而可得的表達式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即得；（3）由題可得，利用換元法變形為，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值進而即得.【詳解】（1）因為，所以，，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，設(shè)切點為，則切線斜率，切線方程為，，∴，，所以，令，則，由，可得，由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值