2023-2024學(xué)年河南省信陽(yáng)市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省信陽(yáng)市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置．2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A．或 B．或C． D．2．已知和均為等差數(shù)列，，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)的和為（

）A．5000 B．5050 C．5100 D．51503．已知函數(shù)，則在區(qū)間上存在極值的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購(gòu)人污水過濾系統(tǒng)對(duì)污水進(jìn)行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個(gè)小時(shí)過濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時(shí)共能過濾掉污染物的（

）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%6．已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－4 B．4 C．5 D．87．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則有（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A． B． C． D．10．四個(gè)實(shí)數(shù)，2，x，y按照一定順序可以構(gòu)成等比數(shù)列，則xy的可能取值有（

）A． B． C． D．11．已知，，且，則不正確的是（

）A． B． C． D．12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．若的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)镽，則C．的圖象存在對(duì)稱中心D．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知，，則．15．若函數(shù)與的圖象在一個(gè)公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)．16．已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足：①在上單調(diào)

②③對(duì)恒成立

④對(duì)恒成立若，，，，記與形成的封閉圖形的面積為，，則滿足的最小的n的值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．18．已知函數(shù)，且滿足.（1）求函數(shù)的定義域及a的值；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍.19．已知函數(shù)（）．(1)若，求不等式的解集；(2)若，，求的最小值．20．相應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)修自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬(wàn)元，每生成x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本W(wǎng)（x）萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足4萬(wàn)件時(shí)，W（x）=x3+2x.在年產(chǎn)量不小于4萬(wàn)件時(shí)，W（x）=7x+-27.每件產(chǎn)品售價(jià)6元.通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)P（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式.（年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？21．已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù)，其中為非零實(shí)數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明.1．B【分析】分別解對(duì)數(shù)不等式、一元二次不等式，求集合的并集即可.【詳解】因?yàn)?，或，所以?故選：B.2．B【分析】由題設(shè)易知為等差數(shù)列，結(jié)合已知求公差，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】由題設(shè)也為等差數(shù)列，且公差為、公差的和，又，，故，所以前50項(xiàng)和為.故選：B3．A【分析】根據(jù)極值的定義，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，要想在在區(qū)間上存在極值，只需，顯然四個(gè)選項(xiàng)中，只有能推出，但是推不出，故選：A4．C【分析】根據(jù)分段函數(shù)每段遞增，以及左邊一段的最高點(diǎn)不高于右邊一段的最低點(diǎn)，列不等式組求解即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，解得故選：C.5．C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，結(jié)合已知數(shù)據(jù)列出方程求解作答.【詳解】依題意，前2個(gè)小時(shí)過濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時(shí)過濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時(shí)共能過濾掉污染物的.故選：C6．C【分析】根據(jù)不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以的最小值為5.故選：C7．A【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】，由于，所以的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得，所以不等式的解集是.故選：A給定一個(gè)不等式以及函數(shù)解析式的題目，要考慮函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域等基本性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解題.是否要構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造什么類型的函數(shù)，關(guān)鍵是要根據(jù)已知函數(shù)的結(jié)構(gòu)，選擇合適的構(gòu)造方法.8．A【分析】由條件變形為，令，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋疫f減，所以，故選：A9．BCD【分析】易得函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且過定點(diǎn)，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項(xiàng).故選：BCD.10．ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，分情況討論，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)也相同，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)時(shí)，則第三，四項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第四項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第四項(xiàng)時(shí)，則第一，二項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)時(shí)，則第三，四項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第三項(xiàng)時(shí)，則第一，二項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第一項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，故選：ABD11．ACD【分析】由基本不等式及不等式的性質(zhì)判斷A，B；由基本不等式“1”的妙用判斷C；通過構(gòu)造，，由導(dǎo)數(shù)得出判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由A得，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ACD．12．BCD【分析】A.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及是奇函數(shù)得到是偶函數(shù)判斷；B.由的對(duì)稱性，為奇函數(shù)判斷；C.由，結(jié)合為奇函數(shù)判斷；D.由C得到時(shí)，，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)A，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及的對(duì)稱性，在和處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其斜率總相等，故是偶函數(shù)，對(duì)稱軸為，A錯(cuò)；對(duì)B，由的對(duì)稱性，在和處的切線關(guān)于縱軸對(duì)稱，其斜率互為相反數(shù)，故為奇函數(shù)，又定義域?yàn)椋珺對(duì)；對(duì)C，，由為奇函數(shù)知為奇函數(shù)，圖像關(guān)于對(duì)稱，可以看作由按向右移動(dòng)4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位而得，所以的圖象存在對(duì)稱中心，故C對(duì)；對(duì)D，由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，由等差數(shù)列性質(zhì)，同理，…，故，D正確.故選：BCD13．【分析】由原命題是假命題知它的否定命題是真命題，由此求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】“，”是假命題，則它的否定命題：“，”是真命題；所以,，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故．14．##【分析】由對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化可得出，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由可得，所以，.故答案為.15．-1或0【分析】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象上和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，解方程即可得到.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以得到①，由函數(shù)得，由函數(shù)得，所以得②，解①②得或.故-1或0.16．9【分析】由題意可畫出圖象，從而可得，再根據(jù)對(duì)稱性以及定義計(jì)算得到，從而以此類推得到，，再根據(jù)等比數(shù)列的前和公式及性質(zhì)列出不等式，進(jìn)而求解即可．【詳解】由題意可知當(dāng)時(shí)，的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其圖象如下：

又根據(jù)對(duì)稱性可知與形成的封閉圖形的面積為，又，，所以與形成的封閉圖形的面積為，即，故以此類推，有，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由，，且數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以滿足的最小的n的值為9．故9．本題主要考查抽象函數(shù)性質(zhì)以及等比數(shù)列性質(zhì)，屬中檔題．17．（1）或.（2）.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）定義域?yàn)椋唬?）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于零列出關(guān)于的不等式組，從而定義域可求；再根據(jù)求解出的值；（2）通過化簡(jiǎn)將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布列出滿足的不等式組，求解出的取值范圍即可.【詳解】（1）由，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所?所以.又，故化簡(jiǎn)得所求.（2）由（1）可知，其中，所以由題設(shè)得關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.（*）設(shè)函數(shù)，則因?yàn)樵摵瘮?shù)圖像的對(duì)稱軸方程為，所以結(jié)合（*）知只需，解得.故所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是.本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)與二次函數(shù)的零點(diǎn)分布的綜合應(yīng)用，難度一般.解答有關(guān)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，對(duì)于對(duì)稱軸、與的關(guān)系、特殊點(diǎn)處函數(shù)值的分析是重要突破點(diǎn).19．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式；（2）用換元法，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值．【詳解】（1）若，則所以，即，所以，所以或，解得或，即不等式的解集為．（2）若，即，解得．所以，令，，所以．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．綜上，．20．（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，為5萬(wàn)元.【分析】（1）分別求得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求得函數(shù)的關(guān)系式；（2）由（1）中的解析式，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求得函數(shù)的最大值，即可得到答案.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以年利潤(rùn)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，為5萬(wàn)元.21．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）對(duì)兩邊同時(shí)除以，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，再由裂項(xiàng)相消法求和求出，則，即，求解即可.【詳解】（1）兩邊同時(shí)除以，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，，.（2），可得，，即，即恒成立..22．(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)證明見解析【分析】(1)求導(dǎo)，得，分、、三種情況討論