江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則a的值可能為（）A.，3 B. C.，3，8 D.，8【答案】D【解析】【分析】由集合與元素的關(guān)系分類討論即可求解.【詳解】由題意若，解得或，若，解得，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則B.若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.與為同一函數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A；利用冪函數(shù)的定義確定的值，從而利用單調(diào)性解不等式，可判斷B；利用反比例函數(shù)的單調(diào)性判定C；利用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯(cuò)誤；對于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，所以，其在上為減函數(shù)，若，則，解得，B正確；對于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)證明正確選項(xiàng)，舉反例排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，無意義，故A錯(cuò)誤，對于B，當(dāng)時(shí)，無意義，故B錯(cuò)誤，對于C，若且，則，，故C正確，對于D，令，則，，顯然，故D錯(cuò)誤，故選：C4.太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過程中，每過濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，至少需要過濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】【分析】由條件列不等式，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過次過濾達(dá)到要求，原來水中雜質(zhì)為1，由題意，即，所以，所以，所以至少需要過濾的次數(shù)為44次.故選：C.5.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先比較出，由已知可得函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，由于，又，，則，所以，函數(shù)是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，所以，即.故選：A6.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（）A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【答案】B【解析】【分析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，然后由獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.故選：B.7.若把函數(shù)的圖象平移，可以使圖象上的點(diǎn)變換成點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由平移法則得函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)即可判斷.【詳解】由題意可知圖象上點(diǎn)變換成點(diǎn)，意味著函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位且向下平移2個(gè)單位，此時(shí)對應(yīng)的函數(shù)解析式為，若，則時(shí)，且單調(diào)遞減，時(shí)，且單調(diào)遞增，對比選項(xiàng)可知D選項(xiàng)符合題意.故選：D.8.已知，且滿足，則的值為（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性、奇偶性，利用性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，令，因?yàn)樵谏隙紴閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，又時(shí)，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，可得，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個(gè)奇數(shù)能被3整除”B.“菱形是正方形”是全稱命題C.式子化簡后為D.“”是“，有為真命題”的充分不必要條件【答案】AD【解析】【分析】對于A，由命題否定的定義即可判斷；對于B，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對于C，首先，由此即可進(jìn)一步化簡驗(yàn)算；對于D，首先得“，有為真命題”的充要條件，由此即可求解.【詳解】對于A，命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，故A符合題意；對于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；對于C，若式子有意義，則，即，所以，故C不符合題意；對于D，，有，等價(jià)于，有，等價(jià)于，所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.故選：AD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A. B.圖象的對稱中心為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.滿足的x的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A，只需將代入等式，求解即可；選項(xiàng)B，將等式變形為，可得出其對稱性；選項(xiàng)C，結(jié)合對稱性和函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；選項(xiàng)D，先討論函數(shù)在上的符號(hào)，結(jié)合的符號(hào)，解不等式即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，將代入等式，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若函數(shù)滿足，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，可得：當(dāng)時(shí)，，解得，則；當(dāng)時(shí)，，解得，則；所以不等式的解集為，選項(xiàng)D不正確.故選：BC.11.已知樣本甲：與樣本乙：滿足關(guān)系，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.樣本乙的極差等于樣本甲的極差B.若某個(gè)為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)C.樣本乙的眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)D.若某個(gè)為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解．【詳解】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故A中結(jié)論不正確；不妨令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，所以若某個(gè)為樣本甲中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結(jié)論正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結(jié)論不正確；若某個(gè)為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結(jié)論不正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，則的取值可能是（）A.2 B. C.0 D.4【答案】AC【解析】【分析】通過零點(diǎn)相同可確定，解得，，進(jìn)而確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)相同將問題轉(zhuǎn)化成方程無解或與方程的解相同，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)的零點(diǎn)為，則，又，故，解得，則．，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，所以．故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.某班擬從2名男學(xué)生和1名女學(xué)生中隨機(jī)選派2名學(xué)生去參加一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動(dòng)的概率是______．【答案】【解析】【分析】由列舉法求古典概型概率即可.【詳解】設(shè)2名男學(xué)生分別為,1名女學(xué)生為，所以選派2名學(xué)生去參加一項(xiàng)活動(dòng)共有：三種情況，符合題意的情況有兩種，所以恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動(dòng)的概率是.故答案為：.14.在一次籃球比賽中，某球隊(duì)共進(jìn)行了9場比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．【答案】40【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將得分從小到大排列有又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，即40.故答案為：4015.已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題可得a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，進(jìn)而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.【詳解】因?yàn)閰^(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個(gè)不同的正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，等號(hào)成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.16.記表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】通過數(shù)形結(jié)合首先得，進(jìn)一步若要滿足題目條件，只需，由此即可得解.【詳解】如圖所示：若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；如圖所示：若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，且，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，只需保證當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，則，解不等式組得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先得到，進(jìn)一步通過畫圖，列出滿足題意的不等式組即可順利得解.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求得集合，，由交集運(yùn)算即可得出結(jié)果.（2）根據(jù)已知條件得集合A是集合B的真子集，討論，兩種情況，求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，可得或，所以；【小問2詳解】由題知，集合A是集合B的真子集，當(dāng)時(shí)，，即，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，即，且滿足，兩式不能同時(shí)取等號(hào)，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個(gè)近似解（精確度為0.1）．【答案】18.單調(diào)遞增，證明見解析19.2.6（內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二分法分析求解.【小問1詳解】在單調(diào)遞增；證明如下：任取，不妨設(shè)，，因?yàn)?，則，，，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，可知其在區(qū)間上的零點(diǎn)即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長度1此時(shí)解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解，比如2.6是方程在上的一個(gè)近似解．19.已知函數(shù)（，且），從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)進(jìn)行解答．①的反函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)；②的解集為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，，求的最值及對應(yīng)x的值．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】（1）根據(jù)所選的條件，利用對數(shù)的性質(zhì)解方程求參數(shù)a即可；（2）由（1）得，換元法有，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值，并確定對應(yīng)x的值.【小問1詳解】若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；若選②：由題知，的解集為，因?yàn)椋?，即；【小?詳解】由（1）知，，則，令，則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．20.從某學(xué)校800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組的人數(shù)為4．（1）求第七組的頻率；（2）估計(jì)該校800名男生身高的中位數(shù)；（3）從樣本身高屬于第六組和第八組的男生中隨機(jī)抽取兩名，若他們的身高分別為x，y，記為事件E，求．【答案】（1）0.06（2）174.5cm（3）【解析】【分析】（1）由頻率和（即小矩形的面積和）為，求得結(jié)果即可；（2）頻率分布直方圖中的中位數(shù)兩側(cè)矩形的面積和（頻率）各占；（3）由古典概型計(jì)算公式分別計(jì)算基本事件總數(shù)和事件E包含的基本事件個(gè)數(shù)，求解即可.【小問1詳解】第六組的頻率為，則第七組的頻率為；【小問2詳解】由圖知，身高在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由，得，所以這所學(xué)校800名男生身高的中位數(shù)為174.5cm；【小問3詳解】樣本身高在第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，在第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組時(shí)，事件E發(fā)生，所以事件E包含的基本事件為，，，，，，共7種情況，所以．21.已知，函數(shù)，．（1）若，求不等式的解集；（2）求不等式的解集；（3），不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）運(yùn)用換元法求解不等式即可.（2）討論參數(shù)范圍，求解不等式即可.（3）運(yùn)用分離參數(shù)法結(jié)合基本不等式求解參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】令，，即，解得或，所以或，解得；【小問2詳解】依題意得，，即