關(guān)于分段函數(shù)求極值的全解

關(guān)于分段函數(shù)求極值的全解

1極大值點(diǎn)的定義在現(xiàn)有的高等數(shù)學(xué)教材中，有一個(gè)關(guān)于分函數(shù)函數(shù)求極值的問題，并對(duì)已完工的示例給出詳細(xì)解釋，如圖1所示。例1設(shè)f(x)={x2x?x>0?x+2?x≤0f(x)={x2x?x+2?x>0?x≤0求f(x)的極值.解f(x)在x=0處不連續(xù),從而也不可導(dǎo).令f′(x)=0得駐點(diǎn)x=1e(詳細(xì)步驟參見).當(dāng)-∞<x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<1e時(shí),f′(x)<0;當(dāng)1e<x<+∞時(shí),f′(x)>0.故點(diǎn)x=0為f(x)的極大值點(diǎn),且極大值為f(0)=2;點(diǎn)x=1e為f(x)的極小值點(diǎn),且極小值為f(1e)=e-2/e.不難看出,在上面的解題中,判斷分段點(diǎn)x=0為極大值點(diǎn)所用的方法有失妥當(dāng).若將題目改為f*(x)={x2x+3?x>0?x+2?x≤0?用上面方法求解時(shí),仍會(huì)得出x=0為極大值點(diǎn),而實(shí)際上f*(x)在x=0處無(wú)極值.錯(cuò)誤的原因在于f(x)及f*(x)在分段點(diǎn)x=0處不連續(xù),故不能通過考察x=0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷是否為極值點(diǎn).我們知道分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的情形非常復(fù)雜,例如分段點(diǎn)是間斷點(diǎn),在分段點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo),或分段點(diǎn)是駐點(diǎn)等.要判斷函數(shù)是否在分段點(diǎn)處有極值時(shí),若采用常規(guī)的方法去判別的話,計(jì)算量非常大且煩瑣,到目前為止,還沒有專門判斷分段點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的方法,本文就針對(duì)這一問題加以討論.2fx在x0處表達(dá)下面我們將在分段函數(shù)在分段點(diǎn)處有定義且在該點(diǎn)的左、右極限都存在的條件下,給出判斷分段點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法.為討論方便起見,不妨設(shè)函數(shù)f(x)只有一個(gè)分段點(diǎn),記作x0.情形Ⅰ:若f(x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù),且在x0的左鄰域及右鄰域內(nèi)分別可導(dǎo),則可根據(jù)第一判別法判斷.情形Ⅱ:若f(x)在分段點(diǎn)x0處不連續(xù),我們有定理1若f(x-0)=f(x+0)≠f(x0),則(i)當(dāng)f(x-0)=f(x+0)>f(x0)時(shí),f(x)在x0處有極小值;(ii)當(dāng)f(x-0)=f(x+0)<f(x0)時(shí),f(x)在x0處有極大值.證(i)因?yàn)閒(x-0)=limx→x-0f(x)>f(x0),由函數(shù)極限的局部保號(hào)性知,?δ1>0,對(duì)?x∈(x0-δ1,x0),都有f(x)>f(x0).同理,由f(x+0)>f(x0)知,?δ2>0,對(duì)?x∈(x0,x0+δ2),都有f(x)>f(x0).取δ=min{δ1,δ2},則對(duì)于?x∈U(x0,δ),都有f(x)>f(x0),故f(x)在x0取處得極小值.(ii)類似(i)的證明即可得結(jié)論,證畢.定理2若f(x-0)≠f(x+0),且f(x)={φ(x)?x<x0?A?x=x0?ψ(x)?x>x0?則(i)當(dāng)f(x-0)<A且f(x+0)<A時(shí),f(x)在x0處有極大值;(ii)當(dāng)f(x-0)>A且f(x+0)>A時(shí),f(x)在x0處有極小值;(iii)當(dāng)f(x-0)<A<f(x+0)(或f(x+0)<A<f(x-0))時(shí),f(x)在x0處無(wú)極值.證只需在定理1證明中將f(x0)替換成A,即可得結(jié)論(i),(ii).(iii)只證f(x-0)<A<f(x+0)的情況.因?yàn)閒(x-0)<A,所以?δ3>0,對(duì)?x∈(x0-δ3,x0),有f(x)<A.因?yàn)閒(x+0)>A,所以?δ4>0,對(duì)?x∈(x0,x0+δ4),有f(x)>A.因此,在x0的任意去心鄰域U(x0)內(nèi),不能保證對(duì)?x∈U(x0),有f(x)<A(或f(x)>A)恒成立,故f(x)在x0處無(wú)極值.定理3若f(x-0)≠f(x+0)?f(x)={φ(x)?x≤x0?ψ(x)?x>x0?且f(x)在x0的某左鄰域(x0-δ,x0)內(nèi)可導(dǎo),則(i)當(dāng)f(x+0)>f(x0)時(shí),在(x0-δ,x0)內(nèi),若f′(x)<0,那么f(x)在x0處有極小值.若f′(x)>0,那么f(x)在x0處無(wú)極值.(ii)當(dāng)f(x+0)<f(x0)時(shí),在(x0-δ,x0)內(nèi),若f′(x)>0,那么f(x)在x0處有極大值.若f′(x)<0,那么f(x)在x0處無(wú)極值.證(i)由f(x+0)>f(x0)知,?δ5>0,對(duì)?x∈(x0,x0+δ5),有f(x)>f(x0).又因?yàn)樵?x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)<0,所以對(duì)?x∈(x0-δ,x0),有f(x)>f(x0).取δ′=min{δ,δ5},則對(duì)于?x∈U(x0,δ′),有f(x)>f(x0),即f(x)在x0處有極小值.(ii)類似(i)的證明即可得到結(jié)論.定理3′若f(x-0)≠f(x+0)?f(x)={φ(x)?x<x0?ψ(x)?x≥x0?且f(x)在x0的某右鄰域(x0,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo),則(i)當(dāng)f(x-0)>f(x0)時(shí),在(x0,x0+δ)內(nèi),若f′(x)>0,那么f(x)在x0處有極小值.若f′(x)<0,那么f(x)在x0處無(wú)極值.(ii)當(dāng)f(x-0)<f(x0)時(shí),在(x0,x0+δ)內(nèi),若f′(x)<0,那么f(x)在x0處有極大值.若f′(x)>0,那么f(x)在x0處無(wú)極值.3分段點(diǎn)為極值點(diǎn)在例1中,f(0+)=1<f(0)=2,且當(dāng)x<0時(shí),f′(x)=1>0.由定理3知,f(x)在x=0處有極大值,極大值為f(0)=2.例2判斷f(x)={sinxx?x<0?0?x=0?cosx?x>0在x=0處是否有極值?是極大值還是極小值?解f(0-)=limx→0-sinxx=1>0?f(0+)=limx→0+cosx=1>0.由定理1知f(x)在x=0處有極小值,極小值為f(0)=0.例3討論函數(shù)f(x)=limn→∞1-x2n1+x2nx的極值.解f(x)={x,|x|<1?0,|x|=1,-x?|x|>1.在分段點(diǎn)x=-1處,因?yàn)閒(-1-)=limx→-1-(-x)=1?f(-1+)=limx→-1+x=-1?f(-1)=0,所以f(-1-)>f(-1)>f(-1+).由定理2知,f(x)在x=-1處無(wú)極值.在分段點(diǎn)x=1處,f(1-)=limx→1-(x)=1?f(1+)=limx→1+(-x)=-1?f(1)=0,所以f(1-)>f(1)>f(1+).由定理2知,f(x)在x=1處無(wú)極值.可以看出,f(x)在各個(gè)分區(qū)間內(nèi)都是嚴(yán)格單調(diào)的,所以在各個(gè)分區(qū)間內(nèi)也無(wú)極值,從而f(x)在整個(gè)定義域上無(wú)極值.由以上的討論,我