重難專題04 證一條線段等于兩條線段和差問(wèn)題（原卷版）

重難專題04證一條線段等于兩條線段和差問(wèn)題如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問(wèn)題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．如圖，在中，，的角平分線交于D，交的角平分線于E，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，求證：．【分析】延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)M，分別證明和即可得解．【詳解】證明：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)M，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線的定義，通過(guò)添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．已知的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作，交直線AB于點(diǎn)G．(1)如圖，若為銳角三角形，．求證：①，②．(2)如圖，當(dāng)為135°時(shí)，寫(xiě)出FG，DC，AD之間的等量關(guān)系，說(shuō)明相應(yīng)理由．【分析】（1）①可以證明為等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小問(wèn)中三角形全等可知DF＝DC，再去證明FA＝FG，則FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF為等腰直角三角形，BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，再證明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，則得到FG＝DC+AD．【詳解】（1）①證明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GFBC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，利用三角形全等證明線段相等是經(jīng)常使用的重要方法，注意熟練掌握．已知，中，，，直線m過(guò)點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：與、的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出，不必證明）【分析】（1）利用條件證明，再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖，可得、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：，，．如圖1時(shí)，，如圖2時(shí)，，如圖3時(shí)，，（證明同理）【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì)．（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請(qǐng)寫(xiě)出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．一、單選題1．如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結(jié)BE，且BE也平分∠ABC，則以下的命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①BC+AD=AB；②Ｅ為CD中點(diǎn)③∠AEB=90°；④S△ABE=S四邊形ABCDA．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．如圖，點(diǎn)E是CD上的一點(diǎn)，Rt△ACD≌Rt△EBC，則下結(jié)論：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有_____個(gè)．4．如圖，已知在中，平分，，則___________.（用含的代數(shù)式表示）.三、解答題5．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．(1)求∠APC的度數(shù)；(2)若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．6．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD7．如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說(shuō)明的理由．8．如圖1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥m于D，CE⊥m于E．我們把這種常見(jiàn)圖形稱為“K”字圖．（1）悟空同學(xué)對(duì)圖1進(jìn)行一番探究后，得出結(jié)論：DE＝BD＋CE，現(xiàn)請(qǐng)你替悟空同學(xué)完成證明過(guò)程．（2）悟空同學(xué)進(jìn)一步對(duì)類似圖形進(jìn)行探究，在圖2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，則結(jié)論DE＝BD＋CE，還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明之．9．【問(wèn)題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，探究當(dāng)為多少度時(shí)，使得成立．小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，則可求出∠EAF的度數(shù)為_(kāi)_____；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，依然有成立，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD中，，若的周長(zhǎng)為8，求正方形ABCD的面積．10．問(wèn)題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過(guò)這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說(shuō)明理由．問(wèn)題2：試問(wèn)在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)，不需要說(shuō)明理由．問(wèn)題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12．（1）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結(jié)論，他