新教材2023高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理分層演練新人教A版選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理A級基礎鞏固1.設p:a,b,c是三個非零向量;q:{a,b,c}為空間的一個基底,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:當非零向量a,b,c不共面時,{a,b,c}可以是空間的一個基底,否則不是空間的一個基底.當{a,b,c}是空間的一個基底時,一定有a,b,c為非零向量.因此,p?/q,q?p.答案:B2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC延長線上一點,若BC=2CE,則D1E=(A.AB+AD+AB.AB+12ADC.AB+AD-AD.AB+13AD解析:如圖,取BC的中點F,連接A1F,則A1D1FE,所以四邊形A1D1EF是平行四邊形,所以A1FD1E,所以A1F=D又因為A1F=A1A+AB+BF=-AA1+AB+12AD,所以D1答案:B3.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,點E為BD的中點,若A1E=xAA1+yAB+zAD解析:連接AE(圖略),由題意可得AE=12AB+則A1E=AE-AA1=12因為A1E=xAA1+y所以x=-1,y=z=12所以x+y+z=0.4.在空間四邊形ABCD中,對角線AC,BD的中點分別為L,M,則AB+CB+AD+CD=4LM.解析:如圖,取CD的中點E,連接EL,EM,則LE+EM=LM.又因為LE+EM=12AD+12CB=12所以AD+CB=2LM,同理AB+CD=2LM.所以AB+CB+AD+CD=4LM.5.如圖,四棱錐P-OABC的底面為一矩形,PO⊥平面OABC,設OA=a,OC=b,OP=c,E,F分別是PC,PB的中點,試用{a,b,c}表示向量BF,BE,AE,EF.解:如圖,連接BO,則BF=12BP=12(BO+OP)=12(-a-b+c)=-12BE=BC+CE=BC+12CP=BC+12(CO+OP)=-a-1AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)=-a+12EF=12CB=12B級能力提升6.若M,A,B,C四點互不重合,且任意三點不共線,則能使向量MA,MB,MC成為空間的一個基底的條件是()A.OM=13OA+1B.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC解析:對于選項A,由OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),得M,A,B,C四點共面,知MA,MB,MC共面;同理可知選項C中MA,MB,MC不共面,可構成空間一個基底;對于選項B,D,易知MA,MB,MC共面.故選C.答案:C7.如圖,在四面體OABC中,D是BC的中點,G是AD的中點,則OG=()A.13OA+1B.12OA+1C.12OA+1D.14OA+1解析:連接OD(圖略).在四面體OABC中,因為D是BC的中點,G是AD的中點,所以OG=12(OA+OD),OD=12(OB+OC所以OG=12OA+14故選C.答案:C8.給出下列命題:①若{a,b,c}可以作為空間的一個基底,d與c共線,d≠0,則{a,b,d}也可以作為空間的一個基底;②若向量a∥b,則a,b與任意一個向量都不能構成空間的一個基底;③A,B,M,N是空間四點,若BA,BM,BN不能構成空間的一個基底,則A,B,M,N四點共面;④已知{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析:根據(jù)基底的概念,知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底,顯然命題②正確.命題③,由BA,BM,BN不能構成空間的一個基底,知BA,BM,BN共面.又因為BA,BM,BN過相同點B,知A,B,M,N四點共面,故命題③正確.假設d與a,b共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得d=λa+μb.因為d與c共線,c≠0,所以存在實數(shù)k,使得d=kc.因為d≠0,所以k≠0,從而c=λka+μkb,所以c與a,b共面,與條件矛盾,所以d與a,b不共面.故命題①正確.同理可證命題④也是正確的.答案:D9.若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z,使得xa+yb+zc=0,則x,y,z滿足的條件是x=y=z=0.解析:若x≠0,則a=-yxb-zxc,即a與b,c共面.由{a,b,c}是空間的一個基底,知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=10.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M是線段A1D的中點,點N在線段C1D1上,且D1N=13D1C1,∠A1AD=∠A1AB=60°,∠BAD=90°,AB=AD=AA1=1(1)求滿足MN=xAB+yAD+zAA1的實數(shù)x,y,z(2)求AC1的長.解:(1)因為MN=MD1+D1N=12(AA1+AD)+1所以x=13,y=12,z=(2)因為AC1=AD+AB+所以|AC1|2=(AD+AB+AA1)2=AD2+AB22AB·AA1=1+1+1+0+1+1所以|AC|=5,所以AC1=5.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新11.多選題下列說法中正確的是()A.任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底B.空間的基底不唯一C.兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中的基向量與基底{e,f,g}的基向量對應相等解析:只有不共面的三個非零向量才能構成空間向量的基底,基底不唯一,因此選項A,D均不正確,選項B,C正確.答案:BC12.多選題已知在三棱錐O-ABC中,點M在OA上,且OM=2MA,N為BC中點,設OA=a,OB=b,OC=c,則()A.AN=12a+12b-B.NM=23a-12b-C.CM=23a-D.BM=23a+23b-解析:AN=12(AC+AB)=12[(OC-OA)+(OB-OA)]=12c+12NM=OM-ON=23OA-12(OB+OC)=23a-12CM=CO+OM=-c+23aBM=BA+AM=(OA-OB)+-13OA=23答案:BC13.多空題如圖,在平行六面體OABC-O'A'B'C'中,OA=a,OC=b,OO'=c,設G,H分別是側面BB'C'C和底面O'