2022屆（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)模擬試卷一（學(xué)生版+解析版）

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷一

（全國乙卷?文科）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號—二三總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

"s——上一一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（本題5分）己知集合4={刈-3<%<1},B=（^|x+2>0）,則Ap|B=（）

A.{^|-2<x<1}B.{x|-2<x<l}

C.{x|-3<JC<2）D.{x|-3<x<2）

2.（本題5分）若復(fù)數(shù)z滿足則z2的最大值為（）

A.1B.2C.4D.9

3.（本題5分）已知等差數(shù)列{斯}的公差存0,它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則

這個等比數(shù)列的公比是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（本題5分）已知平面a,直線，*，〃滿足mua,貝廣"_L/w”是“"_1便’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（本題5分）某市一年12個月的月平均氣溫）’與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)

y=a+Acos**-6）（x=l,2,3,…,12）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高,

O_

為28C,12月份的平均氣溫最低，為18C，則該市8月份的平均氣溫為（）

A.255CB.22.5CC.20.5CD.13c

6.(本題5分)已知直線，i：xsina+y—l=0,直線4：x—3ycosa+l=0,若則

tana—()

A.-B.—C.3D.—3

33

7.（本題5分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）

8.（本題5分）如圖，在有五個正方形拼接而成的圖形中，B-a=（）

9.（本題5分）甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制（無平局），

甲在每局比賽中獲勝的概率均為：，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件

下，比賽進行了三局的概率為（）

\_

A.BC.-D.-

3-135

I[log,Lx9x>0，則,”/務(wù)1））（

10.（本題5分）已知函數(shù)）

A.B.-C.-D.-

2468

11.（本題5分）人們常用里氏震級”,表示地震的強度，表示地震釋放出的能量，其

2

關(guān)系式可以簡單地表示為月-4.8,2021年1月4日四川省樂山市犍為縣發(fā)生

里氏4.2級地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏6.（）級地震，則后者釋放

的能量大約為前者的（）倍.（參考數(shù)據(jù)：10°二2.00,IO。）=5.01）

A.180B.270C.500D.720

12.（本題5分）已知。是三角形ABC的外心，若*福?荷+\!林?荷=2/?（而

且sin8+sinC=g，則實數(shù)加的最大值為（）

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.體題5分）已知向量Z=（3x,l）,向量5=（2,1）,且?！Γ恑]x=.

14.（本題5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若匕=acosC+；c,

則角A為.

15.（本題5分）若函數(shù)/（x）=e*+ox-l的圖象經(jīng)過點（l,e）,則過點（1,0）的曲線y=f（x）

的切線的斜率k=.

16.（本題5分）如圖，過點M?0）作直線4、勾與拋物線E：V=4x相交，其中《與E交

于A、8兩點，A與E交于C、。兩點，直線AD過E的焦點尸，若AO、8c的斜率為

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

17.（本題12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“=2向+4,若｛4｝為等比數(shù)列.

（1）求實數(shù)A及｛a“｝的通項公式；

（2）設(shè)”,=log2”“，求數(shù)列｛”,/“｝的前〃項和r..

18.體題12分）如圖，在多面體A8CDE/中，438是正方形，B尸_L平面ABC。,鹿，

平面ABCD,防=￡>E,點M為棱AE的中點.

（1）求證：平面8AQ〃平面EEC；

（2）若AB=1,防=2,求三棱錐A-CEF的體積.

19.（本題12分）某省電視臺為了了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東，西

部各5個城市，得到觀看節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：千人），并畫出如下的莖葉圖，

其中一個數(shù)字被污損.

東部西部

988337

2109-9

（1）求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾人

數(shù)的平均人數(shù)的概率；

（2）該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語知識學(xué)習(xí)積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀

眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾學(xué)習(xí)成語知識的周均時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），

并制作了如下對照表：

年齡X（歲）20304050

周均學(xué)習(xí)成語知識時間近小時）2.5344.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求回歸方程尸8+&,并預(yù)測年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識

的時間.

八方。-加a

參考公式：^=-?~2----------，a=y-bx

￡菁-nx2

20.(本題12分)設(shè)線段GH的長為3,且其端點G,“分別在x軸和y軸上運動，動點

戶滿足杼=2咫，記動點P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)設(shè)圓。：/+/=5,過點C(0,l)作互相垂直的兩條直線34,其中《與曲線E

的一個交點為。(不與C重合)，4與圓。相交于A,8兩點，求的最大面積.

21.(本題12分)已知x=O是函數(shù)f(x)=ln(a+x)+-^--ax的一個極值點.

1+x

(1)求。的值；

(2)證明：/?>］.

(-)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(本題10分)如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點"(2,0),曲線G是以極點。為圓心，以

OM為半徑的半圓，曲線G是過極點且與曲線G相切于點(2,搟)的圓.

(1)分別寫出曲線G，G的極坐標(biāo)方程；

(2)直線9=a(0<a<;r,夕eR)與曲線G，g分別相交于點A,B(異于極點),

求AABM面積的最大值.

［選修4—5:不等式選講］

23.(本題10分)已知函數(shù)〃力=卜+"-k一2問(加>0)的最大值為6.

(1)求切的值；

(2)若正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=〃?，求證：y[xy+4xz<4m.

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷一

（全國乙卷?文科）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號—二三總分

得分

注意事項：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（本題5分）已知集合4={幻-3<、<1},e={x|x+2>0},則AQ8=（）

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x|-3<x<2）D.{x|-3<x<2}

【答案】A

【分析】

根據(jù)交集的定義計算即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，B={x|x>-2}AAnfl={x|-2<x<l},選項A正確.

故選：A.

2.（本題5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|42,則方的最大值為（）

A.1B.2C.4D.9

【答案】D

【分析】

由于云=|zf,Z5的最大值即復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點到原點距離的平方的最大值.

【詳解】

設(shè)z=a+R),

則zz=^a+bi^a-bi）=cr+b2,

的最大值即復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點到原點距離的平方的最大值，

又復(fù)數(shù)Z滿足卜一心2,

???復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以（0,1）為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部（包括邊界），

.?.|z|的最大值為3,

:.方的最大值為9.

故選：D

3.（本題5分）已知等差數(shù)列｛斯｝的公差得0,它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則

這個等比數(shù)列的公比是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由題意得到根據(jù)等差數(shù)列的通項公式分別求出這三項，解得q=2d,求出

第5項與第1項的比值得到公比4.

【詳解】

由題意=6，

即（4+4dy=a1（4+16d）=>q=2d,

_46d今

于是%=4+44=6d,所以“二二二癡^.

故選：C.

4.（本題5分）已知平面a,直線相，"滿足a,ncta,則“〃_Lm”是“〃_1_.”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得答案.

【詳解】

解：由直線，"，"滿足，"ua,則""Lm時，”與a可垂直，可不垂直，

當(dāng)且，"ua,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可以得到”，機，

所以“必加”是的必要不充分條件.

故選：B.

5.(本題5分深市一年12個月的月平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)

y=a+Acos-(x-6)(*=1,2,3/、12)來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高,

O_

為28C,12月份的平均氣溫最低，為18c，則該市8月份的平均氣溫為()

A.25.5CB.22.5CC.20.5CD.13C

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件列方程可求得。和A的值，可得函數(shù)解析式，將x=8代入即可求解.

【詳解】

由題意可得：

jr

/(6)=Q+ACOS-(6-6)二28

。+A=28a=23

1即…二18,解得：

/(12)=?+Acos^(12-6)=18A=5

■jr

所以/(X)=23+5COS-(JC-6),

o

jr-jr

所以該市8月份的平均氣溫為〃8)=23+5cos-(8-6)=23+5cos-=25.5C,

_oJ3

故選：A.

6.(本題5分)已知直線4：xsina+y-l=0,直線4:x-3ycosa+l=0,若，1上“，則

tana=()

A.-B.—C.3D.—3

33

【答案】C

【分析】

根據(jù)垂直可得斜率相乘等于-1,即可建立關(guān)系得出所求.

【詳解】

因為32,易得兩直線斜率都存在，且(5a).短一,

?,sina

則tana=-------=3.

cosa

故選：C.

7.(本題5分)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是()

B.f(x)=-5—+x5

「21

D.f(x)=---5---x5

''2x-l

【答案】A

【分析】

根據(jù)〃0)<0排除CD,根據(jù)x-時，-排除B,得到答案.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)圖像知：/(0)<0,計算CD中〃0)=1>0,排除；

當(dāng)X—時，/(x)f-oo,B中當(dāng)x—>+?時，/(x)f+oo,排除.

故選：A.

8.(本題5分)如圖，在有五個正方形拼接而成的圖形中，B-a=()

【答案】C

【分析】

根據(jù)已知條件可得tana,tan￡,結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，即可求解.

【詳解】

解：由圖可得，tana=1,tan/?=3,

.?,an("a)=「n"tana=—=].

1+141n,13na]+3x]

2

因為0<￡<],0<?<|,所以一|"-a音

:邛-a=%

故選：C.

9.（本題5分）甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制（無平局），

甲在每局比賽中獲勝的概率均為：2，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件

下，比賽進行了三局的概率為（）

1c2「2e4

A.—B.—C.—D.一

3535

【答案】B

【分析】

先求出甲獲得冠軍的概率，再求得甲獲得冠軍情況下比賽進行了3局的概率，代入條件

概率公式，即可得答案.

【詳解】

2221212220

解：由題意，甲獲得冠軍的概率為++=

3333333327

其中比賽進行了3局的概率為彳+=9,

33333327

所以所求概率為白Q709

27275

故選：B.

Ilog,x,x>0

10.體題5分)已知函數(shù)f(x)=~,則/(/(15))()

I乙,41—V/乙/

A._1_B.C.D.

~2468

【答案】D

【分析】

運用代入法，結(jié)合對數(shù)運算的性質(zhì)和指數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】

八嗚））="嗚1）=/（log.,3-3）=/（-3）=2y,

故選：D

11.（本題5分）人們常用里氏震級K.表示地震的強度，Es表示地震釋放出的能量，其

2

關(guān)系式可以簡單地表示為M，=§lgE,-4.8,2021年1月4日四川省樂山市犍為縣發(fā)生

里氏4.2級地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏6.0級地震，則后者釋放

的能量大約為前者的（）倍.（參考數(shù)據(jù)：10°3~2.00,10°7=5.01）

A.180B.270C.500D.720

【答案】C

【分析】

設(shè)前者、后者的里氏震級分別為“；、M；,前者、后者釋放出的能量分別為E、E",

根據(jù)已知關(guān)系式列式相減，利用對數(shù)運算法則可得.

【詳解】

設(shè)前者、后者的里氏震級分別為,前者、后者釋放出的能量分別為￡、E：

22

則其滿足關(guān)系M=]lgE,'-4.8和此"=-/§￡；-4.8,

兩式作差可以得到M；-M'=-lgE；--lgE's,,

FF

即t=1027,所以—=1027=IO34-10°3x500,

EsE、

故選：C.

12.（本題5分）已知。是三角形ABC的外心，若生而?荷+空林?荷=2加（而丫，

ABAC、7

且sinb+sinC=6，則實數(shù)巾的最大值為（）

A.3B.—C.—D.一

552

【答案】D

【分析】

設(shè)AB=c,AC=b,NBAO=e,ACAO=a,由題設(shè)條件得到氏c、a、6、的關(guān)系：

Acos。+ccosa=2mA。，

由。是三角形ABC的外心可得cos0=——,cosa=--，對b+c=2&AO，消去A。，

2Ao2AO

利用基本不等式求得m的范圍.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)AB=c,AC=b,NBAO=B，ZCAO=a,

山生福?亞+"恁.而=2,”（正丫

ABAC'/

得一cAOcos0+-b-AOcosa=2m-AO*2,

cb

化筒得bcos夕+ccosa=2mA0^

cb

由。是三角形ABC的外心可知，。是三邊中垂線交點，^cosO=——,cosa=--.

LADLAU

be

代入上式得be=2fnAO2,m=——7.

2Ao~

bc

根據(jù)題意知，A。是三角形ABC外接圓的半徑，可得sinB=E，sinC=F，

2AO2AO

彳弋入sinB+sinC=百得6+C=2GAO,

當(dāng)且僅當(dāng)“6=c”時，等號成立.

故選：D.

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）已知向量a=（3x,l）,向量5=（21），且。//力，則》=.

【答案】|2

【分析】

直接根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算計算即可.

【詳解】

解：因為allb）

2

則3x=2,得％=§

2

故答案為：y

14.(本題5分)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若b=“cosC+；c,

則角A為.

JT

【答案】60°y

【分析】

由6=acosC+：c,利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得到sinCcosA=gsinC求

解.

【詳解】

b=acosC+-c.

2

由正弦定理可得：sin8=sinAcosC+；sinC,

即sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+kinC,

2

即sinCcosA=-sinC,

VsinC^O,

cosA=—,

2

VAC(0°,180°),

.M=60°.

故答案為:60°

15.(本題5分)若函數(shù)/(x)=e*+?r—1的圖象經(jīng)過點(l,e),則過點(1,0)的曲線y=〃x)

的切線的斜率々=.

【答案】e2+le2

【分析】

將點帶入函數(shù)計算得到a=l,求導(dǎo)得到，'(x)=e*+l,設(shè)過點(1,0)的切線為廣Mx-l),

根據(jù)切線公式計算得到答案.

【詳解】

???函數(shù)〃x)=e*+ox—l的圖象經(jīng)過點(l,e),;.e=Hl)=e+a—l,解得a=l,

/./(x)=eA+x-l,/./r(x)=eA+1.

設(shè)過點(1,。)的曲線y=的切線為y=?(xT),切點為(x0,%).

%=e*,+Xo-l,ko=2,

由題意得k=e&+L解得%=/+1,.

y0=/:（%?-1）.[k=e?+l.

故答案為:e2+1.

16.（本題5分）如圖，過點M（a,0）作直線J4與拋物線E：V=4x相交，其中4與E交

于A、B兩點,4與E交于C、。兩點，直線AZ）過E的焦點凡若A。、BC的斜率為

K，&2滿足Zi=3右，則實數(shù)。的值為.

【分析】

設(shè)直線4的方程為x=Ly+a,設(shè)直線，2的方程為Xjy+a，設(shè)點4（X1，X）、網(wǎng)々，%）、

C（三,%）、。（匕，乂），設(shè)直線AD的方程為x=）+l,將直線4、4、A。的方程均與

拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用直線的斜率公式結(jié)合已知條件可求得實數(shù)。的

值.

【詳解】

設(shè)直線4的方程為x=C+a,設(shè)直線4的方程為》=，2，+4，

設(shè)點A（x”yJ、Bfxj,%）、。（鼻,外）、〃（毛，丫4），

聯(lián)立[]7+”,可得丁-4仆-4a=0,所以，%+%=丸，%%=-4a,

[y=4x

同理可得%+%=4*=-4a,

易知點尸（1,0），設(shè)直線AD的方程為x=（y+1，

x=ty+l,

聯(lián)立/=4X,可得卜一例一4=0,所以，乂+乂=4，，.一，

4

k"f一…-4k2==—--=-一乂為=--

1西一七才-￡乂+”，'%+必_色_””()1+%)4％+/)，

4M%

412

因為匕=3%，則衣；=而/7解得7?

故答案為：3.

評卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

17.(本題12分)已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S,=2"“+A,若｛《,｝為等比數(shù)列.

(1)求實數(shù)A及｛q｝的通項公式；

(2)設(shè)，=log2a?,求數(shù)列｛。,也,｝的前"項和Tn.

【答案】(1)A=—2,a?=2"；(2)7L=2+(n-l)x2n+1.

【分析】

⑴利用5“=2向+4,兩式相減可得%=2""-2"=2"522),結(jié)合等比定義可得結(jié)

果；

⑵由⑴可得紇a“=〃x2”,利用錯位相減法可得數(shù)列｛4｝的前〃項和7；.

【詳解】

n+

(1)\-Sn=2'+A①

當(dāng)“22時S"_1=2"+A②

①@得《=2"“-2"=2"(〃22).

??.｛為｝為等比數(shù)列，；.q=2,

又51=2中+4=2,A=—2.

,,1

.?.??=?l<'=2x2-=2\

(2),/bn=log2an=log,2"=n,

.\bna?=nx2".

7；=1X2+2X22+3X23+???+(?-I)x2z,-l+/ix2,'@

27；=1x2?+2x2?+3x2、…+(“-1)x2"+〃x2"?

③-④得-%=2+2?+2?+…+2"-〃x2"+,,

7；,=-(2+22+23+--.+2,,)+nx2,,+1

=2+(n-l)x2"+,.

18.體題12分)如圖，在多面體ABCDE產(chǎn)中，ABCD是正方形,8尸JL平面ABCD,OEJ_

平面43CDM=Z)E,點〃為棱AE的中點.

(1)求證：平面8MD〃平面EFC；

(2)若鉆=1,5尸=2,求三棱錐A-CEF的體積.

2

【答案】(1)見解析；(2)三棱錐A-CEF的體積為多.

【詳解】

試題分析：

(1)設(shè)ACLJBO交于點a,則N為AC的中點，由三角形中位線的性質(zhì)可得MN//平

WiEFC,由面面垂直的性質(zhì)定理可得8￡>〃EF,則平面EFC.最后利用面面平行

的判斷定理可得平面BDM//平面EFC.

(2)連接硒,FN.由幾何關(guān)系可證得ACL平面跳出尸，且垂足為N,則

匕-=§,ACS,"=-x>/2x-x>/2x2=—.

試題解析：

(1)證明：設(shè)AC與BD交于點N,則N為4C的中點,

E

：.MNIIEC.

?.?政7?平面砂。，ECu平面EFC,

.?.MN〃平面EFC.

,:3尸_L平面ABCD,DE，平面ABCD,且BF=DE，

：.BF：DE,

：.BDEF為平行四邊形，二8?！ㄋ?

BD<z平面EFC,EFu平面EFC,

8。//平面EFC.

又：MNCBD=N,

：.平面BDM〃平面EFC.

(2)連接EMFN.在正方形A8CD中，ACA.BD,

又V8FJ_平面ABCD,BFVAC.

'：BFcBD=B,

，AC_L平面BDEF,且垂足為N,

I||

*,■匕-CKE=§，4。5則防=-X>/2X-XV2X2=-,

2

三棱錐A-CEF的體積為-.

19.（本題12分）某省電視臺為了了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東，西

部各5個城市，得到觀看節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：千人），并畫出如下的莖葉圖,

其中一個數(shù)字被污損.

東部西部

988337

2109?9

（1）求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾人

數(shù)的平均人數(shù)的概率;

（2）該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語知識學(xué)習(xí)積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀

眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾學(xué)習(xí)成語知識的周均時間（單位：小時）與年齡（單位：歲）,

并制作了如下對照表:

年齡X（歲）20304050

周均學(xué)習(xí)成語知識時間>'（小時）2.5344.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求回歸方程產(chǎn)B+法，并預(yù)測年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識

的時間.

參考公式:8=旦-------------

》-辰2

<=|

【答案】

(1)1

721

(2)>'=--X+—,5.25小時.

10020

【分析】

（1）先根據(jù)兩個平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進行求解;

（2）先利用最?。海撼朔ㄇ蟪鼍€性回歸方程，再利用方程進行預(yù)測.

(1)

⑴設(shè)被污損的數(shù)字為“，則。的所有可能取值為：0,1，2,3,4,5,6,7,8,

9共10種等可能結(jié)果，

令88+89+90+91+92>83+83+87+90+4+99,解得”8,

則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)

的‘七的取值有0,1,2.3,4,5,6.7共8個，

84

所以其概率為P=歷=歲

（2）

44

由表中數(shù)據(jù)得\>）=525,元=35,5=3.5,=5400,

f=lf=l

八721

：.b=—a=—.

1002f0

線性回歸方程為廣高7光+早21.

1UvZU

可預(yù)測年齡為60觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識時間為5.25小時.

20.（本題12分）設(shè)線段G”的長為3,且其端點G,〃分別在x軸和N軸上運動，動點

P滿足稱=2用，記動點P的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)圓0：V+y2=5,過點C（0,l）作互相垂直的兩條直線卜%,其中4與曲線E的

一個交點為。（不與C重合），4與圓。相交于A,8兩點，求△ABD的最大面積.

【答案】

（1）—+y2=\

4'

（2）5

【分析】

（1）設(shè)點尸（x,y）,G（a,o）,”（0力），根據(jù)/+從=9及喬=2而計算即可.

（2）假設(shè)4,4方程，4與橢圓方程聯(lián)立可得|CD|,根據(jù)圓的弦長公式得到|AB|,然后

計算并結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.

（1）

22

設(shè)點P（x,y）,G（a,0）,H（0,b）,由|GH|=3得，a+b=9.

2

x=-a,

3

由蘇=2而得，

y=-^

3x

所以“=5'代入/+從=9,得上+/=1,

b=3y,4

9

即所求曲線E的方程為工+尸=1.

4

(2)

當(dāng)直線4的斜率左存在且不為。時，可設(shè)4：y="+l,3尸Jx+1

K

y=fcr+l,

聯(lián)立方程組f+2_［整理得(1+4公卜2+8fcc=0,

4)'

解得士=。，”一備，所以皿=卡卜止吧*，

而圓心0(0,0)到直線4的距離

\J\+k2

22

所以3=#加如期辰布JX4臥麻+5i6k+4k+5「

--<--------；=5>

1+4公1+4公1+4公

當(dāng)且僅當(dāng)4kl="&2+5,即&=±平時取等號.

當(dāng)宜線4的斜率不存在時，|四=2,|AB|=4,可得S”即=4<5；

當(dāng)直線4的斜率為o時，c,O重合，與題意不符.

綜上所述，的最大面積為5.

21.(本題12分)已知x=0是函數(shù)/(x)=ln(a+x)+———以的一個極值點.

1+x

(1)求”的值：

(2)證明：/(%)>1.

【答案】

(1)a=l

(2)證明見解析

【分析】

(1)結(jié)合已知條件，利用7(0)=()即可求解；(2)對/(x)求導(dǎo)可得利(x)=*；;”，再

通過對g(x)=e'-x-1求導(dǎo)以確定g(x)在(-1,+8)的符號，從而可得到〃x)的單調(diào)性,

然后利用7M的單調(diào)性即可求解.

(1)

1xex

由題意，/'(/)=---------1------------7

a+x(1+x)-

因為x=0是函數(shù)〃x)的?個極值點，

所以f(O)=：-a=O,解得a=±L

又因為。+0〉0,所以a=l.

(2)

證明：山(1)可知/(x)=ln(x+l)+-^--x的定義域為(T,+℃),

1+X

1xexx