差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式及其應(yīng)用

差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式及其應(yīng)用

1差分-微分維數(shù)及其分配經(jīng)典的g洛布尼基方法在解決幾個問題方面發(fā)揮了重要作用。許多研究人員在不同的情況下推廣了經(jīng)典的g洛布尼基方法。作為該算法的有力研究工具，它已經(jīng)成為研究線性微分方程系統(tǒng)各種算法問題的有力工具。然而，已經(jīng)在線性差分-差分混合方程系統(tǒng)中建立了基于nn或nn單項(xiàng)公式的g洛布尼基理論，該理論無法直接應(yīng)用。對于pauer和dhadhich使用組件異常鏈結(jié)構(gòu)的grobner基，但只能在交換情況下使用。leven在差分分量算子環(huán)上的自由模型中引入了資源集的概念，但其使用的是一個特殊的序列，而不是一般的序列。微分維數(shù)多項(xiàng)式概念由Kolchin作為微分域擴(kuò)張的維數(shù)描述而引入.Johnson證明了微分域擴(kuò)張的微分維數(shù)多項(xiàng)式與一個微分濾模的Hilbert多項(xiàng)式是一致的.這一結(jié)果使得利用Gr?bner基技術(shù)計(jì)算微分維數(shù)多項(xiàng)式成為可能.從那以后各種涉及微分維數(shù)多項(xiàng)式的微分代數(shù)問題被深入研究(參見文獻(xiàn)).差分維數(shù)多項(xiàng)式和差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式分別由Levin,Mikhalev和Pankratev引入.它們在差分代數(shù)和差分-微分代數(shù)中所起的作用與Hilbert多項(xiàng)式在多項(xiàng)式代數(shù)(或微分維數(shù)多項(xiàng)式在微分代數(shù))中的作用類似.差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式用于研究差分-微分域擴(kuò)張的維數(shù)理論和差分-微分代數(shù)系統(tǒng)的維數(shù)理論.Mikhalev和Pankratev用經(jīng)典Gr?bner基方法間接證明了差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式的存在性.Wu也用導(dǎo)出序方法計(jì)算了一些線性差分-微分方程系的維數(shù).然而對于微分部分和差分部分的分別維數(shù)描述,這一方法不再有效.本文提出一種新的差分-微分Gr?bner基方法以計(jì)算差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式.在本文中Z,N,Z和Q分別表示整數(shù)集、非負(fù)整數(shù)集、非正整數(shù)集和有理數(shù)集.環(huán)指有單位元的結(jié)合環(huán).環(huán)A上的模指幺作用左A模.定義1.1設(shè)R為交換noetherian環(huán),Δ={δ1,...,δm}和σ={α1,...,αn}分別是R上的一個導(dǎo)子集和一個自同構(gòu)集,使得β(x)∈R和β(γ(x))=γ(β(x))對一切β,γ∈ΔUσ和x∈R成立,則稱R為一個差分-微分環(huán),或簡稱為Δ-σ-環(huán).若R為域,則稱R為一個差分-微分域,或簡稱為Δ-σ-域.若R是一個Δ-σ-環(huán),以A記所有形如的元素組成的交換半群,其中(k1,...,km)∈Nm,(l1,...,ln)∈Zn.這個半群包含了由集合Δ生成的自由交換半群Θ和由集合σ生成的自由交換半群Γ.∧的子集{α1,...,αn,,...,}記為σ*.定義1.2設(shè)R為一個Δ-σ-環(huán).形如的元素稱為R上的差分-微分算子(或簡稱為Δ-σ-算子),其中aλ∈R對所有λ∈∧成立,且只有有限多個aλ異于零.兩個Δ-σ-算子∑λ∈Λaλλ和∑λ∈Λbλλ相等當(dāng)且僅當(dāng)aλ=bλ對所有λ∈Λ成立.R上的所有Δ-σ-算子所成集合是一個環(huán),基本算律為其中aλ,bλ∈R,λ,μ∈Λ,a∈R,δ∈Δ,τ∈σ*.注意其中的“項(xiàng)”λ∈Λ不能與系數(shù)aλ∈R交換.定義1.3R上所有Δ-σ-算子所成的環(huán)記為D,稱為R上的差分-微分算子環(huán)(或Δ-σ-算子環(huán)).一個左D-模M稱為一個差分-微分模(或Δ-σ-模).若M作為D-模是有限生成的,則稱為有限生成差分-微分模.若σ=?,則D是微分算子環(huán)R[δ1,...,δm],若系數(shù)環(huán)R還是域上的多項(xiàng)式環(huán),則D是Weyl代數(shù)Am,故Δ-σ-模是微分算子環(huán)上模的拓廣.但在Δ-σ-算子環(huán)中,“單項(xiàng)式”形如(1.1)式,其中α1,...,αn的指數(shù)為(l1,...,ln)∈Zn,從而經(jīng)典的單項(xiàng)式序不再可用.下面將單項(xiàng)式序的概念予以推廣.2廣義單項(xiàng)式序定義2.1設(shè)Zn是有限多個子集的并,其中(j=1,...,k)滿足下列條件:(ⅰ),且不包含任何一對可逆元c=(c1,...,cn)≠0和c-1=(-c1,...,-cn),(ⅱ)是有限生成的Zn子半群,(ⅲ)生成的群是整個Zn,則稱{,j=1,...,k}是Zn的一個軌道分解,稱為這個分解的第j軌道.例2.2取為所有不同的由n個集合作成的Descartes積,這些集合的每一個或者是N,或者是Z-,則是Zn的一個軌道分解.每個軌道作為半群的生成元集是其中ci是1或-1,i=1,...,n.我們稱這個分解為Zn的正則軌道分解.例2.3取為由生成的Zn的子半群,為由生成的Zn的子半群,則是Zn的一個軌道分解.當(dāng)n=2時,這個軌道分解為定義2.4設(shè){,j=1,...,k}是Zn的軌道分解.Nm×Zn中兩個元素a=(k1,...,km,l1,...,ln)和b=(r1,...,rm,s1,...,sn)稱為相似的,如果(l1,...,ln)和(s1,...,sn)在同一個軌道中.定義2.5設(shè){,j=1,...,k}是Zn的一個軌道分解.Nm×Zn上的一個全序<稱為相對于這個軌道分解的廣義單項(xiàng)式序,如果(ⅰ)(0,...,0)是Nm×Zn的最小元,(ⅱ)若a<b,則對任何與b相似的c,有a+c?b+c.其中a,b,c∈Nm×Zn.注定義2.5的條件(ⅱ)意味著廣義單項(xiàng)式序在每一個軌道內(nèi)是單項(xiàng)式序.例2.6取Zn的正則軌道分解如例2.2.對每個a=(k1,…,km,l1,…,ln)∈Nm×令設(shè)a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定義a?b當(dāng)(|a|,k1,...,km,l1,...,ln)按字典序小于(|b|,r1,...,rm,s1,...,sn),則“?”是Nm×Zn上的廣義單項(xiàng)式序.設(shè)a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定義a?b當(dāng)按字典序小于則“?”是Nm×Zn上的廣義單項(xiàng)式序.例2.8取Zn的軌道分解如例2.3.對每個a=(k1,…,km,l1,…,ln)∈Nm×Zn,令設(shè)a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定義a?b當(dāng)(‖a‖,k1,...,km,l1,...,ln)按字典序小于(‖b‖,r1,...,rm,s1,...,sn),則“?”是Nm×Zn上的廣義單項(xiàng)式序.為考察Δ-σ-模,需要把廣義單項(xiàng)式序概念拓展到集合Nm×Zn×E上.其中E={e1,...,eq}是模的生成元集.定義2.9設(shè){,j=1,...,2n}是Zn的軌道分解,E={e1,...,eq}是q個不同元素的集合.Nm×Zn×E上的一個全序<稱為Nm×Zn×E上的廣義單項(xiàng)式序,如果(ⅰ)(0,...,0,ei)是Nm×Zn×{ei}(ei∈E的最小元,(ⅱ)若(a,ei)<(b,ej),則對任意與b相似的c,有(a+c,ei)?(b+c,ej).其中a,b,c∈Nm×Zn,ei,ej∈E.存在多種把Nm×Zn上的廣義單項(xiàng)式序拓展到集合Nm×Zn×E上的方法.也可以在Nm×Zn×E上直接定義.例2.10取Zn的軌道分解和廣義單項(xiàng)式序如例2.7.給定E={e1,...,eq}上的一個序“?′”.設(shè)(a,ei)=(k1,...,km,l1,...,ln,ei),(b,ej)=(r1,...,rm,s1,...,sn,ej)∈Nm×Zn×E定義則“?1”,“?2”,“?3”都是Nm×Zn×E上的廣義單項(xiàng)式序.“<1”稱為“<”的TOP拓展,“<2”稱為“<”的POT拓展.“<3”在Nm×Zn×E上直接定義.引理2.11設(shè){,j=1,...,k}是Zn的軌道分解,每個軌道作為半群同構(gòu)于Nn,“<”是Nm×Zn上相對于該軌道分解的廣義單項(xiàng)式序,則Nm×Zn中每個嚴(yán)格下降序列是有限的.特別地,Nm×Zn的每個子集含有最小元.證明設(shè)a1>a2>a3>…是Nm×Zn中嚴(yán)格下降序列.由于只有有限多個軌道,不失一般性可假定所有aj是相似的,在同一個中.由條件它作為半群同構(gòu)于Nm+n.在Nm+n上定義<1,其中f是到Nm+n的同構(gòu)映射,則<1是Nm+n上的單項(xiàng)式序.由單項(xiàng)式序的熟知性質(zhì),引理得證.引理2.11保證了基于廣義單項(xiàng)式序的算法能夠在有限步后終止.它可直接推廣到差分-微分模情形.推論2.12設(shè)Zn上的軌道分解及Nm×Zn×E上的廣義單項(xiàng)式序“<”已給定,則Nm×Zn×E中每個嚴(yán)格下降序列是有限的.特別地,Nm×Zn×E的每個子集含有最小元.證明設(shè)a1>a2>a3>...是Nm×Zn×E中嚴(yán)格下降序列.由于E={e1,...,eq}是有限集,可假定所有aj在同一個Nm×Zn×{ei}中,由引理2.11即得推論成立.3e類目的定義以下皆假設(shè)給定了Zn上一個軌道分解{,j=1,...,k}及Nm×Zn上一個廣義單項(xiàng)式序“<”.∧是所有形如(1.1)式的元所成半群.由于∧同構(gòu)于Nm×Zn,“<”定義了∧上一個序,我們也稱“<”為∧上的廣義單項(xiàng)式序.設(shè)K是Δ-σ-域,D是K上的Δ-σ算子環(huán),F是以E={e1,...,eq}為生成元集的有限生成自由D模,則F可看作由所有形如λei(i=1,...,q,λ∈A)的元素生成的K-向量空間.該生成元集記為∧E,其中元素稱為F的項(xiàng).特別地,∧中元素稱為D的項(xiàng).若“<”是Nm×Zn×E上廣義單項(xiàng)式序,則它也定義了∧E上一個廣義單項(xiàng)式序.F中每個元素f可唯一地表示為一些項(xiàng)的線性組合其中0≠ai∈R(i=1,...,d),是互不相同的項(xiàng).若(k1,...,km,l1,...,ln)與(r1,...,rm,s1,...,sn)相似,則稱相似,以及u=λ1e1與v=λ2ej∈AE相似.定義3.1設(shè)“<”是∧E上廣義單項(xiàng)式序,f∈F形如(3.1)式,則稱為f的首項(xiàng).當(dāng)時,稱lc(f)=ai為f的首項(xiàng)系數(shù).定義3.2設(shè)λ形如(1.1)式,則稱為Λ的第j軌道,其中是Zn的第j軌道.若F是有限生成D-模,ΛE是F的所有項(xiàng)所成集合,則稱為∧E的第j軌道.引理3.3設(shè)λ∈A,a∈K,“<”是∧?D上廣義單項(xiàng)式序,則其中a′=α(a)對某個α∈Γ.若a≠0則a′≠0;ξ∈D滿足lt(ξ)<λ,且ξ的每項(xiàng)都相似于λ.證明設(shè),記為α.由(1.3)式有其中η∈R[Δ],a′=α(a).因?yàn)棣羓∈σ,j=1,...,n是可逆的,故當(dāng)a≠0時a′≠0.若,由(1.3)式顯見.即有.又由于δα與ηα總是相似的,故ξ=ηα的每項(xiàng)都相似于λ.注意在A的每個軌道中,有.引理3.4設(shè)F是有限生成自由D-模,0≠f∈F,則下列論斷成立:(ⅰ)若λ∈A,則lt(λf)=max<{λui},其中ui是f的項(xiàng).且有f的唯一項(xiàng)使lt(λf)=λu.(ⅱ)若lt(f)∈Λje,則對任意λ∈Aj有證明(ⅰ)設(shè)及λ∈A,由引理3.3可得其中ξi∈D滿足lt(ξi)λ.由引理3.3的證明還可知ξi的每項(xiàng)形如σiα且σi∈Θ,滿足,從而有這樣得到.又若對f的唯一的項(xiàng)u成立.(ii)設(shè)f如前,.若λ∈Λj,則在(3.2)式中有.再由λ相似于λ1得由(3.3)及(3.4)式即得lt(λf)=λlt(f)∈ΛjE.引理3.5設(shè)F是有限生成自由D-模,0≠f∈F,則對每個j,存在λ∈A及f的項(xiàng)uj,使得滿足上式的f的項(xiàng)uj還是唯一的:若,則.我們把這個唯一的項(xiàng)uj記為ltj(f).證明設(shè)f形如(3.1)式,{|i=l,...,d}是f的所有項(xiàng).記,si∈Nm和ti∈Zn.由定義2.1(ⅲ),生成的群為Zn,從而存在ui,,使得ui-vi=ti.即,則λ·λi∈Aj對所有i=1,...,d成立.再由引理3.3得因?yàn)樵讦酥袥]有δ因子,故由引理3.3的證明可知ξi=0.即知λf的所有項(xiàng)在ΛjE中,當(dāng)然lt(λf)∈AjE.現(xiàn)設(shè)f的項(xiàng)u和v都滿足lt(λf)=λu∈ΛjE和lt(ηf)=ηv∈AjE.對λ,η∈∧已證明存在C∈∧j,使得ζλ,ζη∈Aj.因?yàn)棣啤蔄j,故由λv≤λu,ηu≤ηv有ζλv≤ζλu,ζηu<ζηv.又因?yàn)棣痞?ζη∈∧j,故(ζη)ζλv≤(ζη)ζAu,(ζλ)ζηu≤(ζλ)ζηv,從而ζηζλv=ζηζλu,即得u=v.記這個u為ltj(f),則對任意滿足lt(λf)∈AjE的λ∈Λ,有l(wèi)t(λf)=λltj(f).命題3.6設(shè)0≠f∈F,0≠h∈D,則lt(hf)=max<{Aiuk},其中λi是h的項(xiàng),uk是f的項(xiàng).且有h中唯一的項(xiàng)λ和f中唯一的項(xiàng)u,使得lt(hf)=λu.證明設(shè)h=∑i∈Ibiλi,其中I是有限集,λi,i∈I,是∧中不同元素,則由引理3.4(ⅰ),存在f的唯一的項(xiàng),使得對所有f的項(xiàng)uk成立.且,i∈I,必互不相同:若,則它們必在同一個ΛjE中,由引理3.5存在f的唯一的項(xiàng)ltj(f),使得得到,矛盾.故即存在唯一的i0,使得對一切h的項(xiàng)λi和f的項(xiàng)uk成立.定理3.7設(shè)f1,...,fp∈F\{0},則每個g∈F可表示為其中h1,...,hp∈Ar∈F滿足(ⅰ)hi=0或lt(hifi)≥lt(g),i=1,...,p,(ii)r=0或lt(r)≤≤lt(g),使得lt(r)?{lt(λfi)|λ∈A,i=1,...,p}證明h1,...,hp∈D和r∈F可由下列算法得到:首先令r=g,hi=0,i=1,...,p.若r≠0,即lt(r)=lt(λifi)對某個fi和某個λi∈Λ成立,則有其中ci=lc(λifi),lt(ξi)<lt(λifi),從而令,則再以ri代替r,以hi十biλi代替hi進(jìn)入下一個循環(huán).在每一次循環(huán)中有故由推論2.12,算法可在有限步后終止.定義3.8設(shè)f1,...,fp∈F\{0},g∈F,等式(3.6)成立且滿足定理3.7的條件(ⅰ)和(ⅱ).若r≠g則稱g可被{f1,...,fp}約化到r,此時必有l(wèi)t(r)<lt(g).若r=g且hi=0,i=1,...,p,則稱g相對于{f1,...,fp}是約化的.下例說明了定理3.7中的條件(ii)的含義.例3.9設(shè)K=Q(x1,x2),D=K[δ1,δ1.δ2,α,α-1]其中δ1和δ2分別對x1和x2的偏導(dǎo)算子,α是K的自同構(gòu).取N2×Z上的廣義單項(xiàng)式序如例2.6,即其中|u|=k1+k2+|l|.取g=δ1α-2+δ2α2,f=δ1α-1+α,則盡管lt(r1)=δ2α2不是lt(f)=δ1α-1的倍式,仍有λ=<δ2α,使得lt(r1)=lt(λf)=lt(δ1δ2+δ2α2),從而現(xiàn)r2滿足定理3.7中的條件(ii),故g可被f約化到r2.定義3.10設(shè)W是有限生成自由D-模F的子模,<是∧E上的廣義單項(xiàng)式序,G={g1,...,gp}∈W\{0}.稱G為W的Gr?bner基(相對于廣義單項(xiàng)式序<),如果對任意f∈W\{0},lt(f)=lt(λgi),λ∈A,gi∈G.若G的每個元素相對于G的其他元素約化,則稱G為W的約化Gr?bner基.命題3.11設(shè)G是W\{0}的有限集.下列論斷成立:(ⅰ)G是W的Gr?bner基當(dāng)且僅當(dāng)每個f∈W可被G約化到0,從而W的Gr?bner基生成D-模W.(ⅱ)若G是W的Gr?bner基,f∈F,則f∈W當(dāng)且僅當(dāng)f可被G約化到0.(ⅲ)若G是W的Gr?bner基,則f∈W相對于G約化當(dāng)且僅當(dāng)f=0.證明(ⅰ)若G是W的Gr?bner基,f∈W,則由定理3.7,f可被G約化到r,且lt(r)不等于任意一個lt(λg),λ∈∧,g∈G.若r≠0則r∈W,從而lt(r)=lt(λg)對某個g∈G,λ∈∧,矛盾.若每個f∈W可被G約化到0,則f=∑g∈Ghgg.由命題3.6,存在g∈G,使得lt(f)=maxg∈G{lt(hgg)}=λu對hg的項(xiàng)λ及g的項(xiàng)u成立,故lt(f)=lt(λg).由定義3.10即得G是W的Gr?bner基.(ⅱ)和(ⅲ)由定理3.7及定義3.10立得.例3.12若W由一個元素g∈F\{0}生成,則W\{0}的任意包含了g的有限子集G是W的Gr?bner基.事實(shí)上,由0≠f∈W可得f=hg對某個h∈D\{0}成立.由命題3.6,lt(f)=λu=max<{λiuk}對h的項(xiàng)λ及g的項(xiàng)u成立.故lt(f)=lt(λg).再由定義3.10得G是W的Gr?bner基.定義3.13設(shè)F是有限生成自由D-模,f,g∈F\{0}.對每個Λj記V(j,f,g)為K[Λj}-模K[Λj]<lt(λf)∈ΛjE|λ∈Λ>∩K>[Λj]<lt(ηg)∈AjE|η∈A>的有限生成元集(這些生成元都是項(xiàng)),則對每個生成元u∈V(j,f,g),稱為f和g的相對于j和u的S-多項(xiàng)式.在定義3.13中考慮的K[Λj]-模是“單項(xiàng)式?！?即它可由單項(xiàng)式生成.這種?？傆小皢雾?xiàng)式基”.以下總設(shè)V(j,f,g)是一個單項(xiàng)式基.V(j,f,g)的計(jì)算涉及所取的廣義單項(xiàng)式序.Pauer和Unterkircher在Laurent多項(xiàng)式環(huán)的計(jì)算中研究了V(j,f,g),并給出了一些重要情形下的算法.這些算法對差分-微分模仍適用.例3.14設(shè),K=Q(x1,x2).其中δ1和δ2分別是對x1和x2的偏微分算子,α1和α2是K上的兩個自同構(gòu).取N2×Z2上的廣義單項(xiàng)式序如例2.8,即其中‖u‖=-min(0,l1,l2).設(shè).∧的軌道為Λ0,∧1,Λ2(見例2.3).可得從而.再由定義3.13得類似可得從而及最后,故以及引理3.15設(shè){r1,...,rl}?F,{a1,…,al}?K若,則存在bj∈K,使得證明顯見因?yàn)閍1+a2+…+al=0,故有bj∈K,引理3.16設(shè)gi,gk∈F,lt(λgi)=lt(ηgk)=u∈ΛjE,其中λ,η∈A,則存在ζ∈Λj及v∈V(j,gi,gk),使得u=ζv.又若G是F\{0}的有限子集,S-多項(xiàng)式S(j,gi,gk,v)可被G約化到0,則且對一切g(shù)∈G有l(wèi)t(hgg)<u.證明設(shè)V(j,gi,gk)={v1,...,ul},則其中pμ∈K[Λj].由于pμ=∑νaμνλμν,aμν∈R,λμν∈Λj,故又由于u和λμvuμ都是ΛjE的項(xiàng),故可重寫上式右邊,使得項(xiàng)λμvvμ各不相同.這樣存在唯一的aμv-1其他為0.得到u-ζv對某個ζ∈Aj和v∈V(j,gi,gk)成立.現(xiàn)若S(j,gi,gk,v)可被G約化到0,則且對一切g(shù)∈G有.從而其中.由引理3.4(ⅰ),對的某項(xiàng)w有,從而得到,ζ∈Aj以及ζw<ζv=u.定理3.17(Buchberger定理的推廣)設(shè)F是有限生成自由D-模,<是AE上廣義單項(xiàng)式序,G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模,則G是W的Gr?bner基當(dāng)且僅當(dāng)對所有Λj,所有g(shù)i,gk∈G,以及所有v∈V(j,gi,gk),S-多項(xiàng)式S(j,gi,gk,v)可被G約化到0.證明若G是W的Gr?bner基,則S(j,gi,gk,v)是W的元素,由命題3.11即知S(j,gi,gk,v)可被G約化到0.現(xiàn)設(shè)G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模.并設(shè)對所有Λj,所有g(shù)k,gk∈G,以及所有v∈V(j,gi,gk),S-多項(xiàng)式S(j,gi,gk,v)可被G約化到0.只要證明對任意f∈W\{0},必有λ∈∧和g∈G,使得lt(f)=lt(Ag).由于W由G生成,故存在{hg}g∈G?D,使得令u=max<{lt(hgg)|g∈G}.可選擇{hg|g∈G},使得u達(dá)到最小,即若有.由命題3.6知u≥λg對hg的所有項(xiàng)λ和所有g(shù)∈G成立.若lt(f)=u=lt(hgg)對某個g∈G成立,則由(3.5)式知存在hg的項(xiàng)λ,使得lt(f)=lt(λg).定理自然成立.這樣只要證明lt(f)<u不可能成立.現(xiàn)設(shè)lt(f)u.記B={g|lt(hgg)=u>lt(f)}.由(3.5)式知存在hg的唯一的項(xiàng)λg,g∈B,使得對任意hg的項(xiàng)ηg≠λg有u=lt(Agg)>lt(ηgg).設(shè)cg是hg在λg的系數(shù).得到其中所有出現(xiàn)在后兩個和式中的項(xiàng)都<u.由引理3.4(ⅰ),可設(shè)vg為g的一項(xiàng),它使得對任何g的項(xiàng)v≠vg有u=lt(λgg)=λgvg>λgv.設(shè)dg是g在vg的系數(shù).由引理3.3,對某些和ξg∈D成立,且所有出現(xiàn)在最后一個和式中的項(xiàng)都<i.現(xiàn)u只出現(xiàn)在且所有出現(xiàn)在最后一個和式中的項(xiàng)都<u.因lt(f)<u故.記為rg,則由引理3.15,對于某些gi,gk∈B.由于且對某Aj成立,故由引理3.14可得,,從而且.又由于對所有Aj,所有g(shù)i,gk∈G,以及所有v∈V(j,g,gk),S-多項(xiàng)式S(j,gi,gk,v)可被G約化到0,故由引理3.16可知且lt(pgg)<u把(3.10)式代入(3.9)式右邊的,再把(3.9)式代入(3.8)式右邊的第1個和式,再把(3.8)式代入(3.7)式右邊的第1個和式,得到另一個f的表達(dá)式且,這與u的最小性矛盾.定理得證.例3.18若W是F的由有限集G生成的子模,而每個g∈G只有一項(xiàng),則G是W的Grobner基.事實(shí)上此時所有S-多項(xiàng)式S(j,gi,gk,v)為0.由定理3.17得G是W的Gr?bner基.定理3.19(Buchberger算法)設(shè)F是有限生成自由D-模,<是∧E上廣義單項(xiàng)式序,G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模.對Λj及f,g∈F\{0}令V(j,f,g)和S(j,f,g,v)如定義3.13,則由下列算法可得到W的一個Gr?bner基:Input:G={g1,...,gμ},W的生成元集output:,W的一個Gr?bner基BeginG0:=GWhile存在f,g∈Gi及v∈V(j,f,g)使得S(j,f,g,v)被Gi約化到r≠0DoGi+1:=Gi∪{r}End證明由定理3.17,只要證明存在i∈N,使得Gi+1=Gi.若不然,可得到一個無窮的集合鏈G1?G2?…?Gi?….由于只有有限多個軌道Λj(j=1,...,n),可設(shè)在每個Gi+1中的lt(r)∈∧jE對一個固定的j成立.由于在算法的每一個循環(huán)中r滿足:lt(r)不等于任意一個lt(λg),λ∈A,g∈Gi.同時ηlt(λg)=lt(ηλg)=lt(λ′g)∈AjE對任意η∈Aj及任意lt(λg)∈ΛjE成立(見引理3.4(ⅱ)).故若lt(r)∈ΛjE,則有,g∈Gi+1>作為⊕e∈EK[∧j]e的K[∧j]-子模成立,從而對每個i∈N有m∈N,使得.由K[Λj]的noetherian性這是不可能的.例3.20設(shè)F和Λ上廣義單項(xiàng)式序如例3.14.設(shè)G={g1,g2,g3},,則G是它生成的子模W的Gr?bner基.要證明這點(diǎn),需要證明G的所有S-多項(xiàng)式被G約化到0.用例3.14中描述的方法,可得以及上式右邊滿足定理3.7(ⅰ),即lt(higi)lt(S),其中,i-1,3.最后,故上式右邊也滿足定理3.7(ⅰ).由定理3.17,G是W的一個Gr?bner基4--同態(tài)或差分-微分同構(gòu)本節(jié)給出利用差分-微分模的Gr?bner基計(jì)算差分-微分維數(shù)多項(xiàng)式的方法,它比傳統(tǒng)的方法更一般和更直接.設(shè)K是Δ-σ-域,D是K上的Δ-σ-算子環(huán),M是有限生成D-模,F是有限生成自由D-模.其它記號如前.對形如(1.1)式的λ∈A,令ordλ=k1+…+km+|l1|+…+|ln|.對F中的項(xiàng)w=λei∈∧E,令ordw=ordλ.若u=∑λ∈Λaλλ∈D,令ordu=max{ordλ|aλ≠0}.D可看作濾環(huán),其上的濾(Dμ)μ∈Z滿足Dμ={u∈D|ordu≤μ},μ∈N,且Dμ=0當(dāng)μ<0.顯見∪{Dμ|μ∈}Z=D,Dμ?Dμ+1當(dāng)μ∈Z,以及DvD=Dμ+v當(dāng)μ,v∈Z.定義4.1設(shè)K和M如上.模M的一個K-線性子空間序列(Mμ)μ∈Z稱為M上的一個濾,如果(ⅰ)Mμ?Mμ+1,μ∈Z,以及存在μ0∈Z,使得Mμ=0對一切μ≤μ0成立.(ii)∪{Wμ|μ∈Z}=M.(iii)DvMμ?Mμ+v,μ∈Z,v∈N.若每個K-線性子空間Mμ有有限維數(shù),并存在μ0∈Z,使得DvMμ=Mμ+v對一切μ≥μ0,v∈N成立,則稱濾(Mμ)μ∈Z為M上的良濾.例4.2設(shè)M有生成元h1,...,hq.作μ∈Z,則(Mμ)μ∈Z是M上的良濾.定義4.3設(shè)M和N是兩個D-模.一個K-模同態(tài)f:M→N稱為Δ-σ-同態(tài)(或差分-微分同態(tài)),如果f(βx)=βf(x),x∈M,β∈Δ∪σ*.滿的(單的或雙的)Δ-σ-同態(tài)分別稱為Δ-σ-滿同態(tài)(單同態(tài)或同構(gòu)).取Zn的正則軌道分解如例2.2,并定義AE上廣義單項(xiàng)式序“<”如下(見例2.10):設(shè),則定理4.4設(shè)M有生成元h1,...,hq,F是以e1,...,eq為基的自由D模,π:F→M是F到M的自然Δ-σ-滿同態(tài)(即π(ei)=hi,i=1,...,q)設(shè)Mμ如例4.2的K-線性子空間.G={g1,...,gd}是N=kerπ的相對于如上定義的廣義單項(xiàng)式序“<”的Gr?bner基,Uμ是所有滿足ordwμ和wλ∈∧(i=1,...,d),的項(xiàng)w∈∧E所成集合,則π(Uμ)是K-線性空間Mμ的基.證明首先證明π(Uμ)生成K-線性空間Mμ=Dμh1+...+Dμhq.設(shè)有i∈{1,...,q},λ∈∧,ordλ≤μ,使得λhi∈Mμ且λhi?π(Uμ),則λei?Uμ,從而有λ′∈∧,gj∈G,使得λei=lt(λ∧gj).故其中aj≠0,且只有有限多個av≠0.進(jìn)而,λvev>λei且ordλv≤μ.因G?N=ker(π),有0=π(gj)及故而λhi是一些形如λvhv(1≤v≤q)的元素的有限線性組合(系數(shù)在K中),并滿足ordλv≤μ,λvev<λei.這樣,我們可在λej(λ∈A,1≤j≤q)上對“<”用歸納法得到:每個λhi(ordλ≤μ,1≤i≤q)是形如π(Uμ)的元素的有限線性組合(系數(shù)在K中).其次,證明π(Uμ)在K上線性獨(dú)立.設(shè)u1,...,ul∈Uμ,a1,...,al∈K,使得,則π(h)=0且h∈N.因lt(h)=ui∈{u1,...,ul},由Uμ的定義有l(wèi)t(h)∈Uμ及l(fā)t(h)≠lt(λgi),λ∈A,i=1,...,d.由于G是N的Gr?bner基,命題3.11(iii)導(dǎo)出h=0.故a1=…=al=0.定理得證.定義4.5l個變元t1,...,tl的有理系數(shù)多項(xiàng)式f(t1,...,tl)稱為numerical多項(xiàng)式,如果存在(s1,…,sl)∈Zl,使得對一切整數(shù)ri≥si(1≤i≤l)有f(r1,...rl)∈Z.由Levin證明的下列定理把Kondrateva關(guān)于Nm上numerical多項(xiàng)式的結(jié)果推廣到Nm×Zn上.定理4.6設(shè)A是Nm是×Zn的子集.取Zn的正則軌道分解如例2.2.設(shè)是Nm×Zn上的偏序:(k1,...,km,l1,...ln)(r1,...,rm,s1,...,sn)當(dāng)且僅當(dāng)(l1,...,ln)與(s1,...,sn)在同一個軌道并滿足令及則存在滿足下列條件的兩變元numerical多項(xiàng)式ψA(t1,t2):(ⅰ)ψA(r,s)=CardWA[r,s]對充分大的(r,s)∈N2成立.(ii)degψA≤m+n,+(iv)ψA(t1,t2)=0當(dāng)且僅當(dāng)(0,...,0)∈A.推論4.7設(shè)A,及WA如定理4.6所述.令則存在滿足下列條件的numerical多項(xiàng)式φA(t):(ⅰ)φA(μ)=CardWA[μ]對充分大的μ∈N成立.(ⅱ)degφA≤m+n,且若A=?則degφA=m+n.(ⅲ)φA(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)(0,...,0)∈A.定理4.8設(shè)M為有限生成D-模,(Mμ)μ∈Z是M上的良