非整數(shù)量子躍遷

非整數(shù)量子躍遷(普朗克情結(jié))Commun.Theor.Phys.47(2007)1017-1023,quant-ph/0512028目錄玻爾條件共振還是能量守恒激光光電效應(yīng)II.1愛因斯坦的光電效應(yīng)理論II.2圓偏振激光在氫原子上光電效應(yīng)的

非微擾理論

1.圓偏振激光光電效應(yīng)的形式理論2.計(jì)算方法3.數(shù)值結(jié)果分立能級(jí)間的躍遷III.1贗薛定諤方程與躍遷概率III.2微擾與玻爾條件III.3非微擾與玻爾條件的破壞IV.認(rèn)識(shí)論意義I.玻爾條件

共振還是能量守恒一般認(rèn)為量子躍遷中輻射或吸收的光頻須符合玻爾條件對(duì)多光子過程一般地有(1)(2)其中為躍遷系統(tǒng)始末兩態(tài)能量差.(1)即被解釋為單光子過程的能量守恒;(2)即n為整數(shù),被解釋為多光子過程的能量守恒.這種解釋是近似的,有條件的,因?yàn)樗雎粤塑S遷系統(tǒng)與光子(電磁場(chǎng))的相互作用能,只當(dāng)這種相互作用能比系統(tǒng)和光子的能量小得多時(shí)才是正確的.,,玻爾條件(1)或(2)從來沒有嚴(yán)格成立過.原子光譜是線狀的,符合(1).然譜線有寬度(自然寬度)即表明(1)并不嚴(yán)格成立.不過線光譜的譜線寬度比譜線間距離窄得多,(1)是很好(但不是嚴(yán)格)成立的.磁共振現(xiàn)象中1.躍遷系統(tǒng)只有有限幾個(gè)能級(jí),1/2自旋粒子只有兩個(gè)磁狀態(tài),其磁共振可嚴(yán)格求解;2.磁作用強(qiáng)度與磁能級(jí)距離可以比擬,不是微擾,磁共振頻率位置和磁共振頻譜寬度可以比擬,大部分磁躍遷不符合(1)或(2).一般說來躍遷中不是整數(shù),即都是非整數(shù)躍遷.表示躍遷中系統(tǒng)能量變化一般都不是的整數(shù)倍.只是線光譜非常接近整數(shù),系統(tǒng)能量變化非常接近的整數(shù)倍罷了.在量子力學(xué)的推導(dǎo)中玻爾條件(1)來自時(shí)間它表示周期過程的共振條件下.(3)嚴(yán)格講來玻爾條件(1)或(2)表示的不是能量守恒而是共振,是可以違背的.對(duì)共振過程成立,對(duì)非共振過程可以不成立.玻爾條件乃是共振條件II.激光光電效應(yīng)II.1愛因斯坦的光電效應(yīng)理論[A.EinsteinAnn.Phys.(Leipzig)17(1905)132]每種物質(zhì)有一臨界頻率,低于臨界頻率的光不能在該物質(zhì)上引起光電效應(yīng),高于臨界頻率的光立即產(chǎn)生光電效應(yīng),無時(shí)間滯后;光電子能量只與光的頻率有關(guān),而與光的強(qiáng)度無關(guān);3.光電子流強(qiáng)度正比于光強(qiáng).早期光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律是:據(jù)此規(guī)律,愛因斯坦提出了光電效應(yīng)的量子理論:以W表示將一個(gè)電子從物資中取出需作的功,稱為脫出功,是該物資的一個(gè)特征量;T表示光電子動(dòng)能;表示引起光電效應(yīng)的光頻;愛因斯坦指出,它們之間有關(guān)系,(4)并以此解釋了光電效應(yīng)的上述實(shí)驗(yàn)規(guī)律.這是量子論發(fā)展過程中的一座里程碑.若令(4)式即是(1)式,可見愛因斯坦關(guān)系(4)是玻爾條件(1)的最早特例.從玻爾條件不必滿足可聯(lián)想到愛因斯坦關(guān)系(4)也不一定成立.(5),

量子力學(xué)的微擾法導(dǎo)出了愛因斯坦關(guān)系(4)和他的光電效應(yīng)理論.從量子力學(xué)的大視野看,愛因斯坦的光電效應(yīng)理論是一種微擾理論.在發(fā)明激光后人們認(rèn)識(shí)到激光與物質(zhì)的作用不是微擾,不能用微擾法討論.于是提出了多光子過程,在這種過程中,光電子吸收不止一個(gè)光子,愛因斯坦關(guān)系(4)被修改為.(6)采用(5),此式即是(2).其實(shí),這仍然是沿微擾論方向的思維.高階微擾即可給出多光子躍遷,在這里就給出多光子電離,文獻(xiàn)中稱MPI(Multi-PhotonIonisation)此問題可相當(dāng)嚴(yán)格地解出,適宜用來演示光電效應(yīng)中真正的非微擾效應(yīng)II.2圓偏振激光在氫原子上光電效應(yīng)的

非微擾理論

1.圓偏振激光光電效應(yīng)的形式理論[Q.-R.Zhang,Phys.Lett.A216(1996)125]激光可很好地當(dāng)作經(jīng)典光場(chǎng).沿z方向傳播的圓偏振激光在庫侖規(guī)范中由一矢勢(shì)(7)表示.由于涉及的電子能量比它的靜止能量0.51MeV小得多,電子在輕原子中和在光電效應(yīng)中的運(yùn)動(dòng)可用非相對(duì)論量子力學(xué)描述(包括不考慮自旋),哈密頓量為,(8)其中V(r)為中心場(chǎng).忽略原子核的運(yùn)動(dòng),m就是電子的質(zhì)量.在激光場(chǎng)(7)和中心場(chǎng)V(r)的聯(lián)合作用下,電子的哈密頓量成為,(9)其中(10)它是時(shí)間有關(guān)的.設(shè)電子起始時(shí)處于的一個(gè)本征態(tài)考察它隨時(shí)間的發(fā)展.在相互作用圖象中,電子與激光的相互作用能(10)成為,(11)其中,(12),(13)它們都成為與時(shí)間無關(guān)的.現(xiàn)在問題化成了一個(gè)有效哈密頓量為(14)的不含時(shí)間的單體量子力學(xué)問題.在中心場(chǎng)V(r)中

可同時(shí)確定,因而可將取為的共同本征態(tài),因而也是的本征態(tài).在相互作用圖象中,它從發(fā)展到時(shí)刻,將成為薛定諤圖象中的本征態(tài)(Gell-MannLow定理)[M.Gell-MannandF.Low,Phys.Rev.84(1951)350]另一方面,設(shè)態(tài)從時(shí)刻發(fā)展到時(shí)成為所考慮的末態(tài),按形式理論它們之間符合Lippmann-Schwinger方程:.(15)由于時(shí)激光的作用已卸除,乃是的本征態(tài),本征值分別為,為態(tài)的磁量子數(shù).從到的躍遷振幅就是從到的躍遷振幅.這兩個(gè)態(tài)在同一時(shí)刻,它們之間的躍遷振幅即是,其中為態(tài)的的本征值:(16)單位時(shí)間的躍遷概率便是,(17)為末態(tài)在處的能態(tài)密度.此式是本問題的費(fèi)米黃金規(guī)則.現(xiàn)在它為等效擾動(dòng)哈密頓量是嚴(yán)格的.只是(18)由于都與A有關(guān),(17)表示的躍遷概率與光強(qiáng)不會(huì)是簡(jiǎn)單的正比關(guān)系.截面不是表示激光光電效應(yīng)強(qiáng)度的好量.不過還是可以用它表示,只要記住截面本身與強(qiáng)度有關(guān)即可.激光(7)的能量密度為,光子流密度為.若不考慮自旋,能態(tài)密度為.代入(17),將所得除以j,即得激光光電效應(yīng)的微分截面,(19)其中是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),是真空介電常數(shù),是在磁量子數(shù)為的子空間中的投影.若取然而且就是電子在一個(gè)孤立原子內(nèi)的能量,(18)即是(6).不是電子在一個(gè)孤立原子內(nèi)的能量,而是(12)-(14)定義的的本征值.由(13)看出,它會(huì)隨A連續(xù)變化.這使(18)和(20)定義的光電子能量T隨激光強(qiáng)度連續(xù)變化.若將固定為孤立原子中電子的能量,.由于W與的差(由于)隨光強(qiáng)連續(xù)變化,一般地說光電效應(yīng)一般為非整數(shù)躍遷.2.計(jì)算方法2.1對(duì)(12)-(14)定義的作幺正變換,得有效哈密頓量,(21)對(duì)態(tài)作相應(yīng)的幺正變換,得有效態(tài)矢量(16)式成為.(23)這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的本征方程,可用數(shù)值方法求解.2.2對(duì)氫原子中的電子,.(24).(22)將(23)寫入位置表象.將的位置表象用氫原子的定態(tài)波函數(shù)(25)展開得.(26)(25)中分別為氫原子的主量子數(shù),道量子數(shù),磁量子數(shù),為玻爾半徑.為了使本征方程在氫原子能量表象中成為一個(gè)代數(shù)方程,(26)右邊只取了分立譜,且只保留主量子數(shù)不超過某一最大值的那些態(tài).在以下的計(jì)算中取的態(tài),共2109個(gè).這使(23)成為一個(gè)n,l,從這個(gè)方程求解贋?zāi)芰亢陀行Рㄊ噶?2.3微分截面(19)可在前兩步基礎(chǔ)上化簡(jiǎn).以為單位的微分截面為,(27)其中是一個(gè)復(fù)雜的解析表達(dá)式,在(26)有截?cái)嗟臈l件下是有限和.3.數(shù)值結(jié)果是光電子速度.c=299792458m/s取,,,eV光電子能量(eV)激光能流密度臨界強(qiáng)度(18)中的每一μ值對(duì)應(yīng)此圖中的一條曲線.其中光電子能量都隨光強(qiáng)連續(xù)變化,不符合(4)或(6).若硬表成(6),則其中本來表示光子數(shù)的n現(xiàn)在要用非整數(shù)代替,表示

非整數(shù)量子躍遷.在此情形中,量子性不表現(xiàn)在n為整數(shù)(光量子數(shù))上,而表現(xiàn)在給定頻率和強(qiáng)度的光會(huì)激發(fā)出不同能量的光電子(對(duì)應(yīng)不同的μ或上圖中的不同曲線),它們的能量差為光量子能量hν的整數(shù)倍.對(duì)每一頻率有一臨界強(qiáng)度,只有超過臨界強(qiáng)度的光才能產(chǎn)生相應(yīng)的光電效應(yīng).截面的計(jì)算歸結(jié)為下面的計(jì)算積分,它可解析地作出:其中為匯合超幾何函數(shù),一個(gè)來自出射電子的庫侖波函數(shù),一個(gè)來自氫原子中電子的徑向波函數(shù).為第二類Appell二元超幾何函數(shù).在這里是一二元多項(xiàng)式,只需作有限的數(shù)值計(jì)算.結(jié)果見下頁:截面與光強(qiáng)(光子流強(qiáng))的關(guān)系是高度非線性的,違背愛因斯坦定理.表明不是一個(gè)個(gè)光子分別單獨(dú)與電子作用,而是激光整體與電子作用.復(fù)雜結(jié)構(gòu)可能攜帶豐富信息截面激光能流密度III.分立能級(jí)間的躍遷III.1贗薛定諤方程與躍遷概率在原子核的庫侖場(chǎng)和激光場(chǎng)(7)的聯(lián)合作用下,電子的哈密頓量由(9)以及(8)和(10)定義,是時(shí)間有關(guān)的.這使薛定諤方程時(shí)間有關(guān)而不好解.作變換(28),(29)得,(30)其中由(14)以及(12)和(13)定義,是與時(shí)間無關(guān)的.這使(30)有定態(tài)解.用(31)表示第i定態(tài)的位置表象,它滿足定態(tài)方程.(32)要注意的是:并非通常所指的哈密頓量,可稱為贗哈密頓量;它的本征值也就不是電子能量,而是贗能量;(30)則應(yīng)稱為贗薛定諤方程.用變換(22)可將(32)變換成有效哈密頓量(21)的本征方程,即(23)的位置表象.實(shí)際上,對(duì)此處考慮的光波,,這使基態(tài)或不太高的激發(fā)態(tài)氫原子中,可將(32)寫成的本征方程,將解寫成(26),并按那里的辦法求解.設(shè)起始(t=0)時(shí)氫原子處于態(tài),此時(shí)激光到達(dá),開始與氫原子作用.將始態(tài)用贗定態(tài)解(31)展開,按(26),得贗薛定諤方程(30)有解.(33)由于(25)中采用了虛歸一化因子,系數(shù)皆為實(shí)數(shù).由nlμ態(tài)到n’l’μ’態(tài)的躍遷概率為.(34)這是t的周期函數(shù),實(shí)際觀察到的概率為它在宏觀時(shí)間間隔中的平均.不同的項(xiàng)的積在這種平均中消失.因而觀察到的平均概率為由歸一性得歸一性.(35)(36),(37)表明(35)是合理的.III.2微擾與玻爾條件在A很小(弱光)條件下可用微擾法解方程(32).又由于,贗哈密頓量簡(jiǎn)化為.(38)這相當(dāng)于在(21)表示的去掉含k的項(xiàng).在A=0的極限下,.(39)這便是未被微擾時(shí)的贗哈密頓量.在A很小,可只考慮其一次冪的貢獻(xiàn),而忽略二次冪的貢獻(xiàn)的條件下,微擾贗哈密頓量為.(40)考慮它的一個(gè)不簡(jiǎn)并的本征態(tài),例如氫原子基態(tài)在附近的微擾,以求得的形如(26)的本征態(tài).不過現(xiàn)在未被微擾的贗哈密頓量為(39)表示的如果玻爾條件(41)不滿足,這個(gè)態(tài)與的其它本征態(tài)也不簡(jiǎn)并,在的極限下的零級(jí)近似本征態(tài)中,這個(gè)態(tài)和的其它本征態(tài)不會(huì)同時(shí)在疊加式(26)中出現(xiàn).按(34),它和其它態(tài)間的躍遷概率為零.如條件(41)得到滿足,是簡(jiǎn)并的,此時(shí)要將此二態(tài)疊加起來構(gòu)成正確的零級(jí)近似態(tài).按(34),它們之間可以躍遷.具體的推導(dǎo)結(jié)果與傳統(tǒng)理論一致.可見:

玻爾條件是微擾法的結(jié)果它表示共振III.3非微擾與玻爾條件的破壞用II.2中的計(jì)算方法可求出(26)中的展開系數(shù).再按(35)便得到躍遷概率.它們隨光強(qiáng)和光量子能量的變化在下二圖中.對(duì)強(qiáng)激光而言,它們隨光強(qiáng)的變化是連續(xù)的,非線性的;它們隨頻率或光量子能量的變化