4.3.1等比數(shù)列的概念（第2課時(shí)）（導(dǎo)學(xué)案）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

等比數(shù)列的概念（第2課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)理解復(fù)利計(jì)算方法，能解決存款利息的有關(guān)計(jì)算方法.通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決生活中的實(shí)際問題.理解等比數(shù)列的常用性質(zhì).掌握等比數(shù)列的判斷及證明方法．重點(diǎn)難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2、教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì)，課前預(yù)習(xí)自主梳理知識(shí)點(diǎn)一實(shí)際應(yīng)用題常見的數(shù)列模型1．儲(chǔ)蓄的復(fù)利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.2．總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列．(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq\f(p,q).知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用一般來說，當(dāng)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2或eq\f(a,q)，a，aq，此時(shí)公比為q；當(dāng)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3(公比為q)，當(dāng)四個(gè)數(shù)均為正(負(fù))數(shù)時(shí)，可設(shè)為eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3(公比為q2)．自主檢測(cè)1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)在等比數(shù)列{an}中，若aman＝apaq，則m＋n＝p＋q.()(2)若數(shù)列{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則數(shù)列{an＋bn}也一定是等比數(shù)列．()(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{λan}也是等比數(shù)列．() 【答案】（1）×(2)×(3)×2.已知等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．14 C．128 D．256【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：，故,故選：C3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（

）A．16 B．8 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故選：C4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則等于（

）A． B．32 C．12 D．【答案】B【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算，再根據(jù)所有的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)可求得的值，再由即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，因?yàn)椋曰?，因?yàn)樗运裕蔬x:B.5.根據(jù)下列通項(xiàng)能判斷數(shù)列為等比數(shù)列的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可判斷A和B，根據(jù)可判斷C，根據(jù)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，則有,故數(shù)列不為等比數(shù)列；對(duì)于B，則有，，則有，故數(shù)列不為等比數(shù)列；對(duì)于C，，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；對(duì)于D，，故數(shù)列不為等比數(shù)列．故選：C．新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題例4用10000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年．（1）若以月利率的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）?（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到)?分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息，所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開始，各期的本利和，，，…構(gòu)成等比數(shù)列．解：（1）設(shè)這筆錢存?zhèn)€月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以所以，12個(gè)月后的利息為(元)．（2）設(shè)季度利率為，這筆錢存?zhèn)€季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則也是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，于是．因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為元．解不等式，得所以，當(dāng)季度利率不小于時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例5 已知數(shù)列的首項(xiàng)．（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若為等差數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明．證明：（1）由，，得的通項(xiàng)公式為設(shè)，則．又，所以，是以27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列．（2）由，，得兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得所以又所以，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考：已知且，如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等比數(shù)列？如果數(shù)列是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%．從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品．1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)?分析：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，，則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列．由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，是等差數(shù)列．由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法．解：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，．由題意，知，，其中，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是．由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1），并列表（表)．表n1234567anbnn891011121314anbn環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時(shí)，遞減，且即可．由，得．所以，當(dāng)時(shí)，遞減．又，所以，當(dāng)時(shí)，．所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能控制在100個(gè)以內(nèi)．為什么？環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識(shí)清單：(1)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．(2)等比數(shù)列的常用性質(zhì)．(3)等比數(shù)列的判定和證明．2．方法歸納：方程和函數(shù)思想．3．常見誤區(qū)：不注重運(yùn)用性質(zhì)，使解題過程煩瑣或者性質(zhì)運(yùn)用不正確而出錯(cuò)．等差數(shù)列等比數(shù)列不同點(diǎn)(1)強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項(xiàng)唯一.(1)強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項(xiàng)有兩個(gè)值．相同點(diǎn)(1)都強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系；(2)結(jié)果都必須是常數(shù)；(3)數(shù)列都可以由a1、d或a1、q確定．聯(lián)系(1)若{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，則{logaan}為等差數(shù)列；(2){an}為等差數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則{ban}為等比數(shù)列.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第34頁練習(xí)第1，2，3,4題備用練習(xí)1.在等比數(shù)列中，若，則（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可知，再結(jié)合條件即求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，又因?yàn)椋?故選：D.2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，再計(jì)算求值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，并且，，，.故選：B3.在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及題干條件，可得q值，根據(jù)，代入計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，又，所以．故選：A4.已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列一定成立的是A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且若，則，所以，故正確，不正確；若，則，因此不正確，正負(fù)不定，D不正確.故選C5.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C．10 D．15【答案】C【分析