6全國中學生物理競賽復賽試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第十六屆全國中學生物理競賽復賽試題1999年1999年全卷共六題，總分為140分。一、（20分)一汽缸的初始體積為，其中盛有的空氣和少量的水（水的體積可以忽略）.平衡時氣體的總壓強是，經(jīng)做等溫膨脹后使其體積加倍,在膨脹結束時，其中的水剛好全部消失,此時的總壓強為。若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使體積再次加倍.試計算此時：1。汽缸中氣體的溫度；2.汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；3。汽缸中氣體的總壓強。假定空氣和水蒸氣均可以當作理想氣體處理。二、(25分）兩個焦距分別是和的薄透鏡和，相距為，被共軸地安置在光具座上。1。若要求入射光線和與之對應的出射光線相互平行,問該入射光線應滿足什么條件？2。根據(jù)所得結果,分別畫出各種可能條件下的光路示意圖。三、（25分)用直徑為的超導材料制成的導線做成一個半徑為的圓環(huán)。圓環(huán)處于超導狀態(tài)，環(huán)內(nèi)電流為.經(jīng)過一年，經(jīng)檢測發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)內(nèi)電流的變化量小于。試估算該超導材料電阻率數(shù)量級的上限.提示：半徑為的圓環(huán)中通以電流后,圓環(huán)中心的磁感應強度為，式中、、各量均用國際單位，.

四、（20分）經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測,人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形勢和分布情況有了較深刻的認識。雙星系統(tǒng)由兩個星體構成,其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當作孤立系統(tǒng)處理?，F(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是,兩者相距.他們正繞兩者連線的中點作圓周運動。

1。試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期。

2。若實驗上觀測到的運動周期為,且。為了解釋與的不同，目前有一種流行的理論認為,在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質,而不考慮其它暗物質的影響。試根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度.五、（25分）六個相同的電阻（阻值均為）連成一個電阻環(huán)，六個接點依次為1、2、3、4、5和6，如圖復16—5—1所示?，F(xiàn)有五個完全相同的這樣的電阻環(huán),分別稱為、、┅?，F(xiàn)將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導線連接，如圖復16-5—2所示。然后將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導線連接，┅依此類推。最后將的1、3、5三點分別連接到的2、4、6三點上。1．證明全部接好后,在上的1、3兩點間的等效電阻為.2．求全部接好后，在上的1、3兩點間的等效電阻。

六、（25分）如圖復16—6所示，軸豎直向上,平面是一絕緣的、固定的、剛性平面。在處放一帶電量為的小物塊，該物塊與一細線相連，細線的另一端穿過位于坐標原點的光滑小孔,可通過它牽引小物塊?，F(xiàn)對該系統(tǒng)加一勻強電場，場強方向垂直與軸,與軸夾角為（如圖復16-6所示).設小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為,且靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)相同。不計重力作用。現(xiàn)通過細線來牽引小物塊,使之移動。在牽引過程中，我們約定：細線的端只準沿軸向下緩慢移動，不得沿軸向上移動;小物塊的移動非常緩慢，在任何時刻，都可近似認為小物塊處在力平衡狀態(tài).若已知小物塊的移動軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。第十六屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答一、參考解答1只要有液態(tài)水存在，平衡時汽缸中氣體的總壓強就等于空氣壓強與飽和水蒸氣壓強之和:（1）第一次膨脹后（2）由于第一次膨脹是等溫過程，所以（3)解(1）、（2）、（3）三式，得（4）（5）（6）由于，可知汽缸中氣體的溫度(7)根據(jù)題意，經(jīng)兩次膨脹,氣體溫度未改變.2設水蒸氣為．經(jīng)第一次膨脹，水全部變成水蒸氣，水蒸氣的壓強仍為，這時對于水蒸氣和空氣分別有（8)（9）由此二式及（5）、(6)式可得（10）3。在第二次膨脹過程中，混合氣體可按理想氣體處理，有(11)由題意知，，，再將（2）式代入，得（12）二、參考解答l．在所示的光路圖（圖復解16—2-1）中，人射光經(jīng)透鏡折射后沿射向，經(jīng)折射后沿出射．、、與透鏡主軸的交點分別為、和，如果為物點，因由沿主軸射向的光線方向不變，由透鏡性質可知，為經(jīng)過所成的像,為經(jīng)所成的像,因而圖中所示的、、、之間有下列關系：（1）(2)（3)當入射光線與出射光線平行時,圖中的，利用相似三角形關系可求得,從而求得（4）聯(lián)立方程（1）、（2)、（3）、（4),消去、和，可得（5）由于、、均已給定，所以為一確定值，這表明:如果入射光線與出射光線平行,則此入射光線必須通過主軸上一確定的點,它在的左方與相距處,又由于與無關，凡是通過該點射向的入射光線都和對應的出射光線相互平行．2．由所得結果（5）式可以看出，當時，，此情況下的光路圖就是圖復解16-2—1．當時，，，此時入射光線和出射光線均平行于主軸，光路如圖復解16-2—2．當時，,這表明點在的右方，對來說,它是虛物．由(1）式可知，此時，由可知，,又由可知，,所以此時的光路圖如圖復解16-2-3．三、參考解答根據(jù)題中所給的條件，當圓環(huán)內(nèi)通過電流時，圓環(huán)中心的磁感應強度穿過圓環(huán)的磁通量可近似為（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，電流變化產(chǎn)生的感生電動勢的大?。?）圓環(huán)的電阻(3）根據(jù)題設條件，，，,代入（3）式得（4）由電阻與電阻率、導線截面積、長度的關系及已知導線的直徑，環(huán)半徑，得電阻率(5）四、參考解答1．雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，設運動速率為，向心加速度滿足下面的方程:（1)(2）周期（3）2．根據(jù)觀測結果，星體的運動周期（4)這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力,按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一質量等于球內(nèi)暗物質的總質量位于中點處的質量點相同．考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有（5）(6)因為在軌道一定時，周期和速度成反比，由（4）式得（7)把（2）、(6）式代入（7）式得（8）設所求暗物質的密度為,則有故（9）五、參考解答解法一:1．（1）電阻圖變形．此題連好的線路的平面圖如圖預解16-5—1所示．現(xiàn)將電阻環(huán)改畫成三角形,1、3、5三點為頂點，2、4、6三點為三邊中點，如圖預解1—5-2與圖預解16-5-3所示．整個連好的線路相當于把的三個頂點分別接到的三個中點上，圖預解16-5—1變?yōu)閳D16-5—4．這樣第1問歸結為求圖預解16-5—4中最外層三角環(huán)任意兩頂點間的等效電阻。（2）遞推公式．為使圖形簡化，討論如何將接好的兩個電阻環(huán)化簡成為一個單環(huán)。由六個阻值為的電阻構成一個三角環(huán)，將其頂點接在另一由六個阻值為的電阻構成的三角環(huán)的中點上(如圖預解16-5—5所示).圖預解16—5-6是由六個阻值為的電阻構成的三角環(huán)。若圖預解16—5-5頂點1、3間的電阻與圖預解16-5—6頂點l、3間的電阻阻值相等，我們稱圖預解16-5—6中的為等效單環(huán)電阻．用符號“//"表示電阻的并聯(lián)，如由圖預解16-5-5中的對稱性可知l、3兩頂點間的電阻等于圖預解16-5-7中1、0間的電阻的2倍，即（1)同理，圖預解16—5-6中1、3兩頂點間的電阻為(2）由（1）、（2）式得等效單環(huán)電阻為（3）2.第一問現(xiàn)在考慮把、、、、按相反的次序，由內(nèi)向外依次連接的情況．首先將接在外面，求雙環(huán)的等效單環(huán)電阻〔即（3）式中的〕．這時．由（3)式得到為其次，在雙環(huán)外面接上,這時．三環(huán)的等效單環(huán)電阻為由此可得一般公式，環(huán)的等效單環(huán)電阻可由求出(4）于是由（2）式得出由一個環(huán)（）、兩個環(huán)（）直至五個環(huán)（）構成的線路1、3點間的電阻為答：所求的五個環(huán)的1與3間的等效電阻確為．證畢。3。第二問根據(jù)五個組成的圓柱形網(wǎng)絡的對稱性，的l、3兩點等價于的2、4兩點．等價線路如圖預解16—5—8與圖預解16—5-9所示．設二圖等價，求圖預解16—5—9中的即可．圖復解圖復解16-5-8圖復解16-5-9所以答：所求值為。解法二:第一問圖預解16—5-3可看做的接線圖，其一半如圖預解16—5-10所示，豎直粗線為一短路線．一個環(huán)（）構成線路的1與0點間的阻值用表示,根據(jù)對稱性，。當接入后,由兩個環(huán)(類似圖預解16—5-5）構成線路圖的一半如圖預解16-5-11所示．三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形(）中的2與間的阻值就是圖預解16-5-10中1與0間的阻值.其等效電路如圖預解16-5—12所示．圖預解16—5—11（或圖預解16-5-12）中的l與0點間的阻值用表示．有再將雙環(huán)接入，其一半如圖預解16—5-13所示，三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形中含有六個電阻，其2與間的阻值就對應為，參看圖預解16-5—12的等效電路，得同理，得由此得第二問五個電阻環(huán)構成線路后，最外層環(huán)(）上2點與4點間的等效電阻可借用圖預解16-5-12求得，將圖中換成,五個環(huán)構成的線路中2與4間阻值可如下求得：因故六、參考解答設所加勻強電場的場強為，它在方向和方向的分量分別為，。由于物塊帶負電，電場作用于物塊的電力的兩個分量分別為（1）(2）在平面內(nèi)，方向沿軸正方向．垂直于平面，被絕緣平面的支持力所平衡，故物塊對絕緣平面的正壓力的大小和的大小相等,即絕緣平面作用于物塊的摩擦力（3)的方向決定于物塊移動的方向．根據(jù)題意,物塊在平面內(nèi)的運動可看做是