9全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第十九屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題一、（20分）某甲設(shè)計(jì)了1個如圖復(fù)19—1所示的“自動噴泉”裝置,其中A、B、C為3個容器，D、E、F為3根細(xì)管，管栓K是關(guān)閉的．A、B、C及細(xì)管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分別為和如圖所示．A、B、C的截面半徑為12cm，D的半徑為0。2cm．甲向同伴乙說：“我若擰開管栓K,會有水從細(xì)管口噴出．”乙認(rèn)為不可能．理由是：“低處的水自動走向高外,能量從哪兒來？”甲當(dāng)即擰開K，果然見到有水噴出,乙啞口無言，但不明白自己的錯誤所在．甲又進(jìn)一步演示．在擰開管栓K前,先將噴管D的上端加長到足夠長，然后擰開K，管中水面即上升，最后水面靜止于某個高度處．（1)．論證擰開K后水柱上升的原因．（2)．當(dāng)D管上端足夠長時(shí)，求擰開K后D中靜止水面與A中水面的高度差．(3）．論證水柱上升所需能量的來源．二、(18分）在圖復(fù)19—2中,半徑為的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直紙面指向紙外，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻變化,變化率（為一正值常量），圓柱形區(qū)外空間沒有磁場，沿圖中弦的方向畫一直線,并向外延長，弦與半徑的夾角．直線上有一任意點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)與點(diǎn)的距離為,求從沿直線到該點(diǎn)的電動勢的大?。?、（18分)如圖復(fù)19—3所示，在水平光滑絕緣的桌面上，有三個帶正電的質(zhì)點(diǎn)1、2、3,位于邊長為的等邊三角形的三個頂點(diǎn)處。為三角形的中心，三個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量皆為，帶電量皆為。質(zhì)點(diǎn)1、3之間和2、3之間用絕緣的輕而細(xì)的剛性桿相連，在3的連接處為無摩擦的鉸鏈.已知開始時(shí)三個質(zhì)點(diǎn)的速度為零,在此后運(yùn)動過程中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)3運(yùn)動到C處時(shí)，其速度大小為多少?四、(18分）有人設(shè)計(jì)了下述裝置用以測量線圈的自感系數(shù)．在圖復(fù)19-4-1中,E為電壓可調(diào)的直流電源。K為開關(guān)，為待測線圈的自感系數(shù)，為線圈的直流電阻，D為理想二極管，為用電阻絲做成的電阻器的電阻，A為電流表。將圖復(fù)19—4-1中、之間的電阻線裝進(jìn)圖復(fù)19-4—2所示的試管1內(nèi),圖復(fù)19-4-2中其它裝置見圖下說明．其中注射器筒5和試管1組成的密閉容器內(nèi)裝有某種氣體（可視為理想氣體），通過活塞6的上下移動可調(diào)節(jié)毛細(xì)管8中有色液注的初始位置，調(diào)節(jié)后將閥門10關(guān)閉，使兩邊氣體隔開．毛細(xì)管8的內(nèi)直徑為．已知在壓強(qiáng)不變的條件下，試管中的氣體溫度升高1K時(shí)，需要吸收的熱量為，大氣壓強(qiáng)為。設(shè)試管、三通管、注射器和毛細(xì)管皆為絕熱的，電阻絲的熱容不計(jì)．當(dāng)接通電鍵K后，線圈中將產(chǎn)生磁場,已知線圈中儲存的磁場能量，為通過線圈的電流，其值可通過電流表A測量，現(xiàn)利用此裝置及合理的步驟測量的自感系數(shù)．1．簡要寫出此實(shí)驗(yàn)的步驟．2．用題中所給出的各已知量（、、、、等）及直接測得的量導(dǎo)出的表達(dá)式，五、(20分）薄凸透鏡放在空氣中時(shí)，兩側(cè)焦點(diǎn)與透鏡中心的距離相等。如果此薄透鏡兩側(cè)的介質(zhì)不同，其折射率分別為和，則透鏡兩側(cè)各有一個焦點(diǎn)（設(shè)為和），但、和透鏡中心的距離不相等，其值分別為和。現(xiàn)有一個薄凸透鏡,已知此凸透鏡對平行光束起會聚作用，在其左右兩側(cè)介質(zhì)的折射率及焦點(diǎn)的位置如圖復(fù)19—5所示。1．試求出此時(shí)物距，像距，焦距、四者之間的關(guān)系式。2．若有一傍軸光線射向透鏡中心，已知它與透鏡主軸的夾角為,則與之相應(yīng)的出射線與主軸的夾角多大？3．，，，四者之間有何關(guān)系?六、（20分）在相對于實(shí)驗(yàn)室靜止的平面直角坐標(biāo)系中，有一個光子,沿軸正方向射向一個靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)的電子．在軸方向探測到一個散射光子．已知電子的靜止質(zhì)量為，光速為,入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的1／10．1．試求電子運(yùn)動速度的大小,電子運(yùn)動的方向與軸的夾角；電子運(yùn)動到離原點(diǎn)距離為(作為已知量）的點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．2．在電子以1中的速度開始運(yùn)動時(shí),一觀察者相對于坐標(biāo)系也以速度沿中電子運(yùn)動的方向運(yùn)動(即相對于電子靜止）,試求測出的的長度．七、（26分)一根不可伸長的細(xì)輕繩,穿上一粒質(zhì)量為的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)），繩的下端固定在點(diǎn),上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動(小環(huán)的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽略不計(jì)）,細(xì)桿與在同一豎直平面內(nèi)．開始時(shí),珠子緊靠小環(huán),繩被拉直,如圖復(fù)19—7—1所示，已知，繩長為，點(diǎn)到桿的距離為，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷，求細(xì)繩被拉斷時(shí)珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無摩擦）注：質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做曲線運(yùn)動時(shí)，它在任一點(diǎn)的加速度沿該點(diǎn)軌道法線方向的分量稱為法向加速度，可以證明,，為質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)時(shí)速度的大小，為軌道曲線在該點(diǎn)的“曲率半徑”，所謂平面曲線上某點(diǎn)的曲率半徑，就是在曲線上取包含該點(diǎn)在內(nèi)的一段弧，當(dāng)這段弧極小時(shí)，可以把它看做是某個“圓"的弧，則此圓的半徑就是曲線在該點(diǎn)的曲率半徑．如圖復(fù)19—7—2中曲線在點(diǎn)的曲率半徑為，在點(diǎn)的曲率半徑為．第十九屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題參考解答20022002年一、參考解答實(shí)踐證明，甲的設(shè)計(jì)是正確的,所以乙的結(jié)論肯定是錯的。(1）設(shè)大氣壓為，水的密度為。擰開前的情況如圖復(fù)解19—l的（a）圖所示。由流KKDHAAKKDHAABBFCCEh1h2(a)(b)圖復(fù)解19-1（1）中氣體的壓強(qiáng)為（2）由（1）、（2）兩式可得即，當(dāng)擰開后，中氣體壓強(qiáng)降至，此時(shí)（3）即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上,所以管中水柱上升。（2)擰開后，水柱上升，因管上端已足夠長，故水不會從管口噴出．設(shè)到中的水面靜止時(shí)中增加水量的體積為，則中減少水量的體積亦為，其水面將略有降低,因而及中氣體壓強(qiáng)路有下降,中的水將通過管流入中，當(dāng)從流入水量的體積等于時(shí)，、中氣體壓強(qiáng)恢復(fù)原值。因?yàn)?、、的半徑為管半徑?0倍，截面積比為3600倍，故、、中少量水的增減（）引起的、、中水面高度的變化可忽略不計(jì)，即和的數(shù)值保持不變.設(shè)中水面靜止時(shí)與中水面的高度差為,（見圖復(fù)解19-1（b）），則有（4）由此可得（5）（3）將圖復(fù)解19—l(a）和（b)兩圖相比較可知，其差別在于體積為的水從移至中,另的水又由移入中,前者重力勢能減少，而后者重力勢能增大，前者的重力勢能減少量為(6）中增加的水柱的重心離中水面的高度為，故后者的重力勢能增量為（7）即。由此可知,體積為的水由流入中減少的勢能的一部分轉(zhuǎn)化為同體積的水由進(jìn)入中所需的勢能，其余部分則轉(zhuǎn)化為水柱的動能，故發(fā)生上下振動，中水面靜止處為平衡點(diǎn)．由于水與管間有摩擦等原因，動能逐步消耗，最后水面停留在距中水面處.二、參考解答由于圓柱形區(qū)域內(nèi)存在變化磁場，在圓柱形區(qū)域內(nèi)外空間中將產(chǎn)生渦旋電場，電場線為圓,圓心在圓柱軸線上,圓面與軸線垂直，如圖中虛點(diǎn)線所示．在這樣的電場中,沿任意半徑方向移動電荷時(shí)，由于電場力與移動方向垂直，渦旋電場力做功為零，因此沿半徑方向任意一段路徑上的電動勢均為零．1．任意點(diǎn)在磁場區(qū)域內(nèi)：令為任意點(diǎn)(見圖復(fù)解19-2-1）,在圖中連直線與。取閉合回路，可得回路電動勢，式中，，分別為從到、從到、從到的電動勢。由前面的分析可知,，故（1)令的面積為，此面積上磁通量，由電磁感應(yīng)定律,回路的電動勢大小為根據(jù)題給的條件有（2）由圖復(fù)解19-2—2可知（3）由（1)、(2）、(3）式可得沿線段的電動勢大小為（4)AACCAOORRPxDQ圖復(fù)解19-2－1圖復(fù)解19-2－22．任意點(diǎn)在磁場區(qū)域外：令為任意點(diǎn)(見圖復(fù)解19—2—2）,。在圖中連、。取閉合回路，設(shè)回路中電動勢為，根據(jù)類似上面的討論有(5)對于回路,回路中磁通量等于回路所包圍的磁場區(qū)的面積的磁通量，此面積為，通過它的磁通量.根據(jù)電磁感應(yīng)定律可知回路中電動勢的大小（6)在圖中連，令，則，于是當(dāng)時(shí)，，中有于是得（7）由（5）、（6）、（7）式可得沿線的電動勢的大小為（8）三、參考解答以三個質(zhì)點(diǎn)為系統(tǒng)，由對稱性可知，開始時(shí)其質(zhì)心應(yīng)位于處，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零,由質(zhì)心運(yùn)動定理可知，質(zhì)心總是固定不動的。質(zhì)點(diǎn)1、2在靜電力作用下，彼此間距離必增大,但不可能保持在沿起始狀態(tài)時(shí)1、2連線上運(yùn)動，若是那樣運(yùn)動，由于桿不圖復(fù)解19-31A能伸長，質(zhì)點(diǎn)3必向左運(yùn)動，三者的質(zhì)心勢必亦向左運(yùn)動,這與“質(zhì)心不動”相矛盾，故不可能。由此可知，由于桿為剛性，質(zhì)點(diǎn)1、2在靜電力作用下，C要保持質(zhì)心不動，質(zhì)點(diǎn)1、2必將分別向題圖中右上方和右下方運(yùn)動，而質(zhì)3點(diǎn)3將向左運(yùn)動．當(dāng)3運(yùn)動到處時(shí),1、2將運(yùn)動到、處，、、三點(diǎn)在一直線上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如圖復(fù)解19—32B所示）。令、、分別表示此時(shí)它們的速度大小，則由對稱性可知此時(shí)三質(zhì)點(diǎn)的總動能為圖復(fù)解19-31AC32B（1）再由對稱性及動量守恒可知(2）系統(tǒng)原來的電勢能為（3)其中為靜電力常數(shù)．運(yùn)動到國復(fù)解19—3所示的位置時(shí)的電勢能為（4）根據(jù)能量守恒有(5)由以上各式可解得（6）四、參考解答1.（1)調(diào)整活塞6使毛細(xì)管8中有色液柱處于適當(dāng)位置，將閥門10關(guān)閉使兩邊氣體隔絕，記下有色液柱的位置；（2）合上開關(guān)，測得電流；（3）打開開關(guān);（4）測出有色液體右移的最遠(yuǎn)距離;（5)改變電源電壓，重復(fù)測量多次，記下多次的和值。2.合上開關(guān)后,線捆貯有磁場能量，因二極管的存在，中無電流.打開開關(guān)后,由于中有感應(yīng)電動勢，在線圈、電阻器和二極管組成的回路中有電流通過,最后變?yōu)榱?。在此過程中原來線圈中儲存的磁場能量將轉(zhuǎn)化為和上放出的熱量,其中上放出的熱量為（1)此熱量使試管中的氣體加熱、升溫。因?yàn)槭堑葔哼^程，所以氣體吸熱為（2）式中為氣體質(zhì)量，為其摩爾質(zhì)量，為溫升，因?yàn)槭堑葔哼^程,設(shè)氣體體積改變量為，則由理想氣體狀態(tài)方程可得（3）而（4）由以上各式可得(5）五、參考解答QQPPQQPPF1F2uvn1n2yyf1f2圖復(fù)解19-5-1（1）用和分別表示物和像的大小，則由圖中的幾何關(guān)系可得（1)簡化后即得物像距公式,即,，，之間的關(guān)系式（2)（2）薄透鏡中心附近可視為籌薄平行板,入射光線經(jīng)過兩次折射后射出，放大后的光路如圖復(fù)解19-5—2所示。圖中為入射角，為與之相應(yīng)的出射角,為平行板中的光線與法線的夾角。設(shè)透鏡的折射率為，則由折射定律得（3）對傍軸光線，、≤1，得，,因而得n1n21n1n212n圖復(fù)解19-5-2（3)由物點(diǎn)射向中心的入射線，經(jīng)折射后，出射線應(yīng)射向,如圖復(fù)解19—5—3所示，QQQQPPF1F2L2uvuy1yn1n2圖復(fù)解19-5-3在傍軸的條件下，有（5）二式相除并利用（4）式,得（6）用（1）式的代入(6）式，得即（7）用（1)式的代入（6）式，得即（8）從而得，,,之間關(guān)系式（9)六、參考解答（1)由能量與速度關(guān)系及題給條件可知運(yùn)動電子的能量為(1）由此可解得（2）圖復(fù)解19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向電子A入射光子和散射光子的動量分別為和,方向如圖復(fù)解19—6圖復(fù)解19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向電子A（3）（4）已知(5）由（2)、（3）、（4）、（5）式可解得(6）(7）(8)電子從點(diǎn)運(yùn)動到所需時(shí)間為(9）（2)當(dāng)觀察者相對于沿方向以速度運(yùn)動時(shí)，由狹義相對論的長度收縮效應(yīng)得（10)（11）七、參考解答1.珠子運(yùn)動的軌跡建立如圖復(fù)解19-7所示的坐標(biāo)系,原點(diǎn)在過點(diǎn)的豎直線與細(xì)桿相交處，軸沿細(xì)桿向右,軸沿向下.當(dāng)珠子運(yùn)動到點(diǎn)處且繩子未斷時(shí)，小環(huán)在處，垂直于軸，所以珠子的坐標(biāo)為由知即有,得（1)這是一個以軸為對稱軸，頂點(diǎn)位于處，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為的拋物線，如圖復(fù)解19-7-1所示,圖中的，為焦點(diǎn)。OOBHPAChyFTTNxMxMxmg切線法線mg法線切線NmgxyCPAOHTCAN圖復(fù)解19-圖復(fù)解19-2.珠子在點(diǎn)的運(yùn)動方程因?yàn)楹雎岳K子的質(zhì)量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看做是珠子的一部分,則珠子受的力有三個，一是重力；另外兩個是兩繩子對珠子的拉力，它們分別沿和方向，這兩個拉力大小相等,皆用表示,則它們的合力的大小為（2)為點(diǎn)兩邊繩子之間夾角的一半，沿的角平分線方向。因?yàn)槭墙裹c(diǎn)至的連線,平行于軸,根據(jù)解析幾何所述的拋物線性質(zhì)可知，點(diǎn)的法線是的角平分線．故合力的方向與點(diǎn)的法線一致。由以上的論證．再根據(jù)牛頓定律和題中的注,珠子在點(diǎn)的運(yùn)動方程(沿法線方向)應(yīng)為（3）(4)式中是點(diǎn)處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在處時(shí)速度的大小。根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得（5)3.求曲車半徑當(dāng)繩子斷裂時(shí)，由（4）式可見,如果我們能另想其他辦法求得曲率