2023-2024學(xué)年山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat17頁(yè)2023-2024學(xué)年山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直線上任取兩個(gè)不重合的點(diǎn)，可得出直線的一個(gè)方向向量.【詳解】在直線上取點(diǎn)、，故直線的一個(gè)方向向量為.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由條件得，所以，其虛部為2.故選：A．3．兩條不同直線的方向向量分別為，則這兩條直線（

）A．平行 B．垂直 C．異面 D．相交或異面【答案】D【分析】根據(jù)方向向量的位置關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，，故直線不垂直，又，故直線不平行，所以兩條直線相交或異面.故選：D.4．同學(xué)們，當(dāng)你任意擺放手中筆的時(shí)候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】D【分析】由題設(shè)條件可知，可以借助投影的概念對(duì)及三垂線定理選出正確選項(xiàng)．【詳解】解：由題意，若筆所在直線若與地面垂直，則在地面總有這樣的直線，使得它與筆所在直線垂直；若筆所在直線若與地面不垂直，則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，綜上，當(dāng)你任意擺放手中筆的時(shí)候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線垂直．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直與三垂線定理，再結(jié)合直線與地面位置關(guān)系的判斷得出答案．5．是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作圖，找到直線在平面上的投影在構(gòu)建多個(gè)直角三角形，找出邊與角之間的關(guān)系，繼而得到線面角；也可將三條射線截取出來(lái)放在正方體中進(jìn)行分析.【詳解】解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選B．6．如果直線先沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，又回到原來(lái)的位置，那么直線的斜率是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】B【分析】設(shè)，寫(xiě)出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)，由此點(diǎn)也在原直線上，計(jì)算斜率即可．【詳解】設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則平移后得點(diǎn)，于是直線的斜率.故選：B.7．直線過(guò)點(diǎn)且與以點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段恒相交，則的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)過(guò)點(diǎn)且與以點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段恒相交得到直線的移動(dòng)范圍從到，根據(jù)直線傾斜角斜率之間的關(guān)系可得斜率范圍.【詳解】如圖，直線與以點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段恒相交時(shí)，直線從到，直線從到時(shí)，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，直線從到時(shí)，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，綜上，的斜率取值范圍為，故選：D8．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B二、多選題9．已知均為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則 B．若，則是實(shí)數(shù)C． D．若，則是實(shí)數(shù)【答案】BD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，舉反例即可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，進(jìn)一步計(jì)算即可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，舉反例即可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則，進(jìn)一步計(jì)算即可判斷正誤.【詳解】若，，，而，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，則，為實(shí)數(shù)，選項(xiàng)B正確；設(shè)，，則，，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，可令，則，則，選項(xiàng)D正確.故選：BD.10．已知平面的法向量為，點(diǎn)，點(diǎn)，若∥平面，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量判斷線面平行的條件列出等量關(guān)系，解之即可.【詳解】因?yàn)椤纹矫?，且平面的法向量為，所以，因?yàn)椋?，解得或，故選：CD.11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為120°B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．直線l：恒過(guò)定點(diǎn)D．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為4【答案】ACD【分析】對(duì)于A：先求斜率，進(jìn)而可得傾斜角；對(duì)于C：整理得，令，運(yùn)算求解即可；對(duì)于B、D：設(shè)直線l：，進(jìn)而可得截距，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，整理得，令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B、D：可知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l：，令，解得，即直線l在y軸上的截距為；令，解得，即直線l在x軸上的截距為；對(duì)于B：若在x，y軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線l與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則，可知，可得面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以△AOB面積的最小值為4，故D正確；故選：ACD.12．若將正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成的角為 B．與所成的角為C．與平面所成角的正弦值為 D．平面與平面所成角的正切值是【答案】BCD【分析】先找出空間中兩兩垂直的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的知識(shí)，分別計(jì)算判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由題得示意圖：作的中點(diǎn)，連接，由題可知，所以,又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨令.選項(xiàng)A：易知，所以，所以，則AD與BC所成的角為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A得，，所以，則，所以與所成的角為，故B正確；選項(xiàng)C:設(shè)平面的一個(gè)法向量為，易知，，所以，不妨令，得，又，所以BC與平面ACD所成角的正弦值為，故C正確；選項(xiàng)D：易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題13．設(shè)，則=.【答案】【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出.【詳解】解：，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.14．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為．【答案】或.【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況求直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，代入點(diǎn)，得，得，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，代入點(diǎn)，得，得，即，化簡(jiǎn)得.綜上可知，滿足條件的直線方程為或.故答案為：或.15．在四面體中，兩兩垂直，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到其他三個(gè)平面的距離分別是2，3，6，則點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是．【答案】7【分析】由題意畫(huà)出圖形，到的距離是圖形中長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，根據(jù)條件求解即可【詳解】由于兩兩垂直，是面內(nèi)一點(diǎn)，由題意作出長(zhǎng)方體如圖：到三個(gè)面的距離分別是，則到的距離即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)：.故答案為：7.16．已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，P是四面體外接球的球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】先根據(jù)題意求得外接球的半徑，再轉(zhuǎn)化可得，計(jì)算后利用余弦函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】由題知，如圖所示：設(shè)分別是的中點(diǎn)，作平面，垂足為，由正四面體的性質(zhì)可知，三點(diǎn)共線，且，其中外接球的球心在上，設(shè)球心為，又正四面體的棱長(zhǎng)為6，則設(shè)外接球的半徑為，則所以，解得則，所以又，，所以又，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用向量的運(yùn)算法則將問(wèn)題向量轉(zhuǎn)化為已知向量之間的關(guān)系，從而將問(wèn)題通過(guò)三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角函數(shù)有界性的性質(zhì)即可解決.四、解答題17．某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).①；②；③（是虛數(shù)單位）.（1）從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（2）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式（不用證明）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解；（2）類比（1）的結(jié)論求解.【詳解】（1）①；②；③；（2）由（1）知：.18．（1）如果直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線l的法向量為，求直線l的方程；（2）已知直線與直線垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的法向量與斜率的關(guān)系再結(jié)合點(diǎn)斜式計(jì)算即可；（2）根據(jù)直線垂直的充要條件計(jì)算即可.【詳解】（1）由直線l的法向量為可得直線的一個(gè)方向向量為，故直線的斜率為，由點(diǎn)斜式可知直線的方程為：；（2）因?yàn)閮芍本€垂直，故有.19．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條邊的長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【答案】【分析】設(shè)出基向量，然后根據(jù)圖形，結(jié)合幾何關(guān)系用基向量表示出，.進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量的模以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的定義公式得出以及夾角的余弦值.【詳解】設(shè)，，，由已知可得.因?yàn)?，，所以，，，，所以，，所以，，故與所成角的余弦值為.20．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)若為實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)．【答案】(1)7(2)或或【分析】（1）根據(jù)題意，可知的軌跡為以為圓心，以2為半徑的圓，表示點(diǎn)到的距離，結(jié)合幾何意義求得結(jié)果；（2）根據(jù)為實(shí)數(shù)，列出等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則，即，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，如圖∴的幾何意義為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最大值為.（2），由為實(shí)數(shù)，得，則或，若，則，又，得或，即（舍）或；若，又，即，解得，，即或.∴或或.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，且，，，，為上一點(diǎn)．(1)若為中點(diǎn)，求證：平面(2)若點(diǎn)不與和重合，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.【分析】（1）若為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，有，根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；（2）先證，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求得，再求、面的法向量，即可求線面角余弦值，進(jìn)而得正切值.【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接，又為中點(diǎn)，故且，而，，，故且，所以為平行四邊形，故，又面，面，所以平面.（2）由平面，平面，則，又，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，令且，故，若為面一個(gè)法向量，則，令，則，，若為面一個(gè)法向量，則，令，則，所以，可得.故，則，而面的法向量為，所以，故其正切值為1.22．箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形是一個(gè)箏形，，，，沿對(duì)角線將折起到點(diǎn)，形成四棱錐．(1)點(diǎn)為線段