理論力學周衍柏第三版第二章知識題目解析

**第二章習題解答2.1解 均勻扇形薄片，取對稱軸為x軸，由對稱性可知質(zhì)心一定在x軸上。謝謝閱讀drx2題2.1.1圖有質(zhì)心公式xdmxcdm設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元dS，精品文檔放心下載dmdSrddr又因為xrcos所以xdmxrddr2sinxcdmrddr3a對于半圓片的質(zhì)心，即2代入，有2asinsinx2a24ac33322.2解 建立如圖2.2.1圖所示的球坐標系**bO

zay題2.2.1圖把球帽看成垂直于z軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的謝謝閱讀密度為。則dmdvy2dz(a2z2)感謝閱讀由對稱性可知，此球帽的質(zhì)心一定在z軸上。代入質(zhì)心計算公式，即zdm3(ab)2zcdm4(2ab)2.3解 建立如題2.3.1圖所示的直角坐標，原來W與共同作一個斜拋運動。感謝閱讀人yv0O x題2.3.1圖當達到最高點人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為v，此人即以v的速感謝閱讀x x度作平拋運動。由此可知，兩次運動過程中，在達到最高點時兩次運動的水平距感謝閱讀**離是一致的（因為兩次運動水平方向上均以v

vcos

作勻速直線運動，運動水平

0的時間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次謝謝閱讀運動：從最高點運動到落地，水平距離s1svcosat①10vsingt②0sv2sincos③01g第二次運動:在最高點人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動量守恒，有謝謝閱讀(Ww)vcosWvw(vu)謝謝閱讀0 x x可知道vvcosawux0Ww水平距離svtv2sincoswuvsin0(wW)g2xg0跳的距離增加了sss=wuvsin(Ww)g2102.42.4解 建立如圖2.4.1圖所示的水平坐標。感謝閱讀am1vFm1x慣1vm2m1mgsin?x2O題2.4.1圖題2.4.2圖**以m，m為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動量守恒，有謝謝閱讀1 2mxmx0①1 1 2 2對m分析；因為1a a

a

②絕

相對在劈m上下滑，以m為參照物，則m受到一個慣性力Fmx（方向與m精品文檔放心下載1 2 2 1 慣 1 2 2加速度方向相反）。如圖2.4.2圖所示。所以m相對m下滑。由牛頓第二定律有精品文檔放心下載12mamgsinmxcos②11112所以m水平方向的絕對加速度由②可知1..③a//a'1cosx21絕......④xgsinxcoscosx122聯(lián)立①④，得x..m2sincosg⑤1221把⑤代入①，得..msinscosx2m1msin2g⑥21負號表示方向與x軸正方向相反。求劈對質(zhì)點反作用力R。用隔離法。單獨考察感謝閱讀1質(zhì)點m的受力情況。因為質(zhì)點垂直斜劈運動的加速度為0，所以感謝閱讀1R..0⑦mgcosmxsin1112把⑥代入⑦得，Rmmcosg⑧m121msin221**水平面對劈的反作用力R。仍用隔離法。因為劈在垂直水皮方向上無加速度，謝謝閱讀2所以RmgRcos0⑨2 2 1于是Rm(mm)g⑩m2122msin2212.52.5解因為質(zhì)點組隊某一固定點的動量矩Jnrmvi i ii1所以對于連續(xù)物體對某一定點或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如謝謝閱讀圖2.5.1圖所示薄圓盤，任取一微質(zhì)量元，drd題2.5.1圖dmrddrMa2所以圓盤繞此軸的動量矩JJr(dmv)rrdrdr=12Ma2精品文檔放心下載**2.6解炮彈達到最高點時爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行謝謝閱讀知，分成的兩個部分M，M，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻膙，v，并一此速感謝閱讀1 2 1 2度分別作平拋運動。由前面的知識可知，同一高處平拋運動的物體落地時的水謝謝閱讀平距離之差主要由初速度之差決定。進而轉(zhuǎn)化為求v，v。炮彈在最高點炮炸精品文檔放心下載1 2時水平方向上無外力，所以水平方向上的動量守恒：MMUMVMV ①1 2 1 1 2 2以MM質(zhì)點組作為研究對象，爆炸過程中能量守恒：感謝閱讀1 21MMU21MV21MV2E②212211222聯(lián)立①②解之，得vU2EM11MMM122vU2EM21MMM122所以落地時水平距離之差ss=ssvtvtV2E111212gMM122.7解建立如題2.7.1圖所示的直角坐標系。謝謝閱讀**ymMV xO題2.7.1圖m沿半圓球M下滑時，M將以V向所示正方向的反向運動。以M、m組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，即精品文檔放心下載MVmvxm相對于地固連的坐標系O的絕對速度xyVV絕對 相 牽V為m相對M的運動速度相ua ②故水平方向ucosV③x豎直方向vyusia ④m下滑過程中，只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機械能守恒：（以地面為重力零勢能面）感謝閱讀mgacosmgacos1mv21MV2⑤2絕2v2=v2v2⑥絕xy把③④代入⑥v2=u2V22uVcos⑦感謝閱讀絕**把①③代入⑤2gcosacosa1mcos2mM2.82.8證 以AB連線為x軸建立如題2.8.1圖所示的坐標。精品文檔放心下載vmvmx1A0xOABOB1題2.8.圖1v2題2.8.1圖設(shè)A初始速度為與x軸正向夾角0碰撞后，設(shè)A、B運動如題2.8.2圖所示。A、B速度分別為v、v，與x軸正向夾角分別為、。以A、B為研究對象，精品文檔放心下載1 2 1 2系統(tǒng)不受外力，動量守恒。x方向：mvmvcosmvcos①0 1 1 2 2垂直x軸方向有：0mvsinmvsin②1 1 2 2可知v2v2v22vvcos③0121212整個碰撞過程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機械能守恒：mv21mv21mv2④02122由③④得2vvcos01 2 1 2**kk0,1,2,122即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證。2.9解類似的碰撞問題，我們一般要抓住動量守恒定理和機械能守恒定理得運用，依次來分析條件求出未知量。設(shè)相同小球為AB，初始時A小球速度v0，碰精品文檔放心下載撞后球A的速度為v，球B的速度v以碰撞后B球速度所在的方向為x軸正向建精品文檔放心下載1 2立如題2.9.1圖所示的坐標(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡化表達式)。以A、B為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無外力做功，系統(tǒng)動量守恒。謝謝閱讀yv1 xvO 20題2.9.1圖方向上有：mvcosmvcosmv①012方向上有：mvsinmvsin②精品文檔放心下載0 1又因為恢復系數(shù)e碰后相對速度vvcos碰前相對速度2v1cos0即evcos=vvcos③感謝閱讀0 2 1**用①-③v1evcos④012cos用④代入②得vsin1evcossin002cos1etantan1e2tan21etanarctan1e2tan2謝謝閱讀求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。謝謝閱讀我們有d0d得1esec2(1eatan2)謝謝閱讀 01e2tan2即1eatan2=0所以1etan2maxarctan1ee81即tan1e81emax由因為**csc21cot2=181emaxmax1e2故sinmax11csc81e=1emax1e2所以1esin1max3e2.10以m,m為研究對象。當m,m發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)関，v，121212隨即m2在不可伸長的繩AB約束下作圓周運動。以AB的連線為x軸建立如題2.10.1圖所示。精品文檔放心下載yvv2AB1x?Ov1題2.10.1圖碰撞過程中無外力做功，動量守恒：mvmvmv①1 1 1 1 2 2隨即m在AB的約束下方向變?yōu)檠貀軸的正向，速度變?yōu)関精品文檔放心下載2 2故y方向上有mvsinmvsinmv②精品文檔放心下載11 11 2 2故恢復系數(shù)定義有：**碰后相對速度vsinve碰前相對速度=21v1即evvsinvsinv③感謝閱讀1 2 1 1聯(lián)立①②③得vmsin2emv121mmsin2121vm1esinv1msin22m1212.11解如圖所示，y0,a?A2ICOx0,avB?22

y vA2O x題2.11.1圖題2.12.2圖有兩質(zhì)點0,a0,a，質(zhì)量為mABB22，開始時靜止。現(xiàn)在有一沖量I作用與A，則I作用后，A得到速度vI，B感謝閱讀A m仍靜止不動：v0。它們的質(zhì)心C位于原點，質(zhì)心速度我為精品文檔放心下載BmvAmvBvAC2m2現(xiàn)在把坐標系建在質(zhì)心C上，因為系統(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率vA沿2謝謝閱讀x軸正向勻速正向、反向運動。由于質(zhì)心系是慣性系，且無外力，所以A，B分謝謝閱讀**別以速率vA繞質(zhì)心作勻速圓周運動，因而他們作的事圓滾線運動。經(jīng)過時間t后謝謝閱讀2，如圖所示：va2tvaAamIt2A于是在Oxy系中A的速度vuA(1cos)2AxuAsinvAy2的速度：vuA(1cos)2BxuAsinvBy2因此v2v2A(1cos)Asin1cosItE:E22:1v2cot2AB2v1sin2amA(1cos)Asin222.12解對于質(zhì)心系的問題，我們一般要求求出相對固定參考點的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運動情況，由此去計算物體相對或絕對物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前m速度為v，m速度v0。碰后速度m，m分別設(shè)為v,v謝謝閱讀1 1 2 2 1 2 1 2。碰撞過程中無外力做功，動量守恒。mvmvmv①1 1 1 1 2 2**有恢復系數(shù)evve②21v1聯(lián)立①②得vmemv121mm112vm(1e)v12mm112再由質(zhì)點組質(zhì)心的定義：rmrmr1122cmm12r為質(zhì)心對固定點位矢，r，r分別為m，m對同一固定點的位矢c1212所以mvmvmrmrmv221ccmmmmmm1121212（質(zhì)點組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對質(zhì)心的速度V，V。12Vvvmemvmvemv（負號表示與v相反）12m1211cmm1m1mm11121212Vvvm(1e)vmvemv1mm1m222cm1m1m1121212同理，碰撞前兩球相對質(zhì)心的速度Vvvvmvmvm1m211c1m1m11212Vvvmv（負號表示方向與v相反）222cmm1112所以開始時兩球相對質(zhì)心的動能：**T1mV21mV2=1mm21mm2=1mmv22v2v2m122112222122mmm1mm1212122.132.13用機械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以謝謝閱讀鏈條的機械能守恒。以桌面所平面為重力零勢能面。mlmgl1mv22g422有3glv22.14此類題為變質(zhì)量問題，我們一般研究運動過程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系精品文檔放心下載Ftdtdmv以豎直向上我x軸正向建立如題2.14.1圖所示坐標。精品文檔放心下載xlxo2.14.1圖繩索離地面還剩x長時受重力Ftxy則xydtdxvxydxvdxdxdt**gvdvdxvvdvxgdx0 hl所以v22g(hlx)求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對繩索的支持力N即可，它感謝閱讀們是一對作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對象。它的速度由v變?yōu)?。用動量守恒，有謝謝閱讀(lx)gd(mv)=d(xv)=vdxv2精品文檔放心下載dtdtdt又因為v22g(hlx)N(lx)g2g(hlx)=g2h3(lx)謝謝閱讀2.15解這是一道變質(zhì)量的問題，對于此類問題，我們由書上p.137的（2.7.2）式謝謝閱讀dtd(mv)dmdtuF①來分析。以機槍后退方向作為x軸爭先，建立如題2.15.1圖的坐標。感謝閱讀**NxO?u?fN(MMmt)g題2.15圖豎直方向上支持力與重力是一對平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力感謝閱讀fn(MMmt)g②精品文檔放心下載單位時間質(zhì)量的變化dMdtm③由①②式dtd(MMmt)vdMdtug(MMmt)謝謝閱讀vd(MMmt)vudMugMm(MMmt)dt精品文檔放心下載0o0(MMmM)vMug(MM)Mg1Mmm2m所以vMu(MM)2M2g精品文檔放心下載m 2Mm2.16解這是一個質(zhì)量增加的問題。雨滴是本題m。導致雨滴m變化的微元m的速度u0。謝謝閱讀所以我們用書上p.138的（2.7.4）式分析dtd(mv)F①**雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問題。我們知道處理這類問題常常理想謝謝閱讀化模型的幾何形狀。對于雨滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為r，則雨滴質(zhì)量m是精品文檔放心下載與半徑r的三次方成正比（密度看成一致不變的）。mkr3②1有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即dmk4r2kr2③謝謝閱讀dt 2k,k為常數(shù)。我們對②式兩邊求導1 2dmk3r2dr④dt 1 dt由于③=④，所以drk2⑤dt 3k1對⑤式兩邊積分rdrtdt0ta⑥mk(ta)3⑦1以雨滴下降方向為正方向，對①式分析dk(ta)3vk(ta)3g⑧dt11vdk(ta)3vtk(ta)3gdt謝謝閱讀0101k(ta)3v1kg1(ta)4k（k為常數(shù)）11433當t0時，v0，所以kga4k314**vgtaa344ta2.17 證這是變質(zhì)量問題中的減質(zhì)量問題，我們?nèi)杂脮蟨.137(2.7.2)式精品文檔放心下載dtd(mv)dmdtuF①來分析。設(shè)空火箭質(zhì)量m0，燃料質(zhì)量m。以向上為正方向，則火箭任一時刻的質(zhì)量精品文檔放心下載mmmmt②0600噴氣速度2074ms是指相對火箭的速度，即v相2074ms。有①式精品文檔放心下載dmvmdvdmuFdtdtdtFdm(vu)mdvdmvmdvdtdtdt相dtmmmmmmdvt000606060dt0相0化簡mmvdt0dvgdt60相mmmt0600對兩邊積分vgtvt③㏑160相此既火箭速度與時間的關(guān)系。當火箭燃料全部燃盡所用時間t，由題意知精品文檔放心下載**tm60mmmmm④0060代入③可得火箭最終的速度v ，（即速度的最大值）.精品文檔放心下載maxvg60mvln(1m)max相00考慮到dvv(1x)60gmax相(1x)2dx其中xm，易知當x0時，dvmax恒成立，即v為m的增函數(shù)。又當mdxmaxm00m300時，m0mm60mm0=11.25km/svg0vln1max1m相1mmm00而要用此火箭發(fā)射人造太陽行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速