山東省2022年中考數(shù)學(xué)(六三制)一輪習(xí)題-題型五幾何圖形探究題

題型五幾何圖形探究題類(lèi)型1動(dòng)點(diǎn)探究題(2020·涼山州)如圖，點(diǎn)P，Q分別是等邊△ABC邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B出發(fā)．(1)如圖1，連接AQ，CP.求證：△ABQ≌△CAP；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在AB，BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ，CP相交于點(diǎn)M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在AB，BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ，CP相交于點(diǎn)M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．【思路分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS定理證明△ABQ≌△CAP即可；(2)由(1)知△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；(3)先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°.【規(guī)范解答】1．(2019·威海)如圖，在正方形ABCD中，AB＝10cm，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AE，交直線BC于點(diǎn)F.點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)，沿著B(niǎo)D方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)△BEF的面積為ycm2，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)求證：CE＝EF；(2)求y與x之間關(guān)系的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)求△BEF面積的最大值．類(lèi)型2圖形變換探究題命題角度1圖形平移變換如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A′B′C′，使點(diǎn)A′落在∠ACB的外角平分線CD上，連接AA′.(1)判斷四邊形ACC′A′的形狀，并說(shuō)明理由；(2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝eq\f(12,13)，求CB′的長(zhǎng)．【思路分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理(有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)知四邊形ACC′A′是平行四邊形．再根據(jù)對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形是菱形知四邊形ACC′A′是菱形；(2)通過(guò)解直角三角形ABC得到AC，BC的長(zhǎng)度，由(1)中菱形ACC′A′的性質(zhì)知AC＝AA′，由平移的性質(zhì)得四邊形ABB′A′是平行四邊形，則AA′＝BB′，所以CB′＝BB′－BC.【規(guī)范解答】2．(2020·浙江嘉興)在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合(如圖1)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE，BD(如圖2)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形(如圖3)．求AF的長(zhǎng)．活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度(0≤α≤90)，連接OB，OE(如圖4)．【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．命題角度2圖形旋轉(zhuǎn)變換(2019·德州)(1)如圖1，菱形AEGH的頂點(diǎn)E，H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出HD∶GC∶EB的結(jié)果；(不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)(2)將圖1中的菱形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，求HD∶GC∶EB；(3)把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此時(shí)HD∶GC∶EB的結(jié)果與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫(xiě)出變化后的結(jié)果(不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)；若無(wú)變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】(1)連接AG，由菱形AEGH的頂點(diǎn)E，H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共線，延長(zhǎng)HG交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EG交DC于點(diǎn)N，連接MN，交GC于點(diǎn)O，則四邊形GMCN也為菱形，利用菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)論；(2)連接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易證△DAH≌△BAE與△DAH∽△CAG，利用相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可得結(jié)論；(3)連接AG，AC，易證△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【規(guī)范解答】3．(2021·煙臺(tái))有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上．連接BF，DE，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N，【觀察猜想】(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；【探究證明】(2)將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．命題角度3圖形翻折變換(2019·濟(jì)寧)如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求線段CE的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)M，N分別是線段AG，DG上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且∠DMN＝∠DAM，設(shè)AM＝x，DN＝y(tǒng).①寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；②是否存在這樣的點(diǎn)M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】(1)由翻折可知AD＝AF＝10.DE＝EF，設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8－x.在Rt△EFC中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；(2)①證明△ADM∽△GMN，可得eq\f(AD,MG)＝eq\f(AM,NG)，由此即可解決問(wèn)題；②存在．有兩種情形：如圖1中，當(dāng)MN＝MD時(shí)．如圖2中，當(dāng)MN＝DN時(shí)，作MH⊥DG于H.分別求解即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】4．(2021·菏澤)在矩形ABCD中，BC＝eq\r(3)CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處．(1)如圖1，當(dāng)EH與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PE＝PF；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，GH交AB于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；(3)當(dāng)AB＝5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．命題角度4圖形的其他變換(2019·淄博)如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點(diǎn)M，連接MD，MG，MB.(1)試證明DM⊥MG，并求eq\f(MB,MG)的值；(2)如圖2，將圖1中的正方形變?yōu)榱庑危O(shè)∠EAB＝2α(0<α<90°)，其他條件不變，問(wèn)(1)中eq\f(MB,MG)的值有變化嗎？若有變化，求出該值(用含α的式子表示)；若無(wú)變化，說(shuō)明理由．【思路分析】(1)延長(zhǎng)DM交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.證明△DMG是等腰直角三角形即可，連接EB，BF，DF，設(shè)BC＝a，則AB＝2a，BE＝2eq\r(2)a，BF＝eq\r(2)a，求出BM，MG即可解決問(wèn)題；(2)(1)中eq\f(MB,MG)的值有變化．連接BE，AD交于點(diǎn)O，連接OG，CG，BF，CG交BF于O′.首先證明O，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，再證明點(diǎn)M在直線AD上，設(shè)BC＝m，則AB＝2m，求出BM，MG(用m表示)，即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】5．【探究證明】(1)某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明：如圖1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H.求證：eq\f(EF,GH)＝eq\f(AD,AB)；【結(jié)論應(yīng)用】(2)如圖2，在滿(mǎn)足(1)的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上．若eq\f(EF,GH)＝eq\f(11,15)，則eq\f(BN,AM)的值為_(kāi)_______；【聯(lián)系拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求eq\f(DN,AM)的值．類(lèi)型3類(lèi)比、拓展類(lèi)探究題(2021·東營(yíng))已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為C和D.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．(1)[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________；(2)[探究證明]如圖2，當(dāng)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若∠COD＝60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AC，BD，OC之間的數(shù)量關(guān)系．圖1圖2圖3【思路分析】(1)猜想：OC＝OD.證明Rt△AOC≌Rt△BOD(AAS)，可得結(jié)論；(2)結(jié)論成立．過(guò)點(diǎn)O作直線EF∥CD，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E，證明△COE≌DOF(SAS)，可得結(jié)論；(3)①結(jié)論成立．如圖3中，延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明CO＝OE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；②結(jié)論：AC＋BD＝eq\r(3)OC.利用等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)證明即可．【規(guī)范解答】6．(2020·泰安)小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖1那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖2的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，F(xiàn)是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF(如圖2)，小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF.你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？________．(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)將(1)中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：(3)若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．

參考答案【類(lèi)型清單·過(guò)方法關(guān)】【例1】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.又∵點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ.在△ABQ與△CAP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,∠ABQ＝∠CAP，,AP＝BQ，))∴△ABQ≌△CAP(SAS)．(2)解：當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在AB，BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小不變．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC.∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°.(3)解：當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在AB，BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．由(1)知△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°.【跟蹤訓(xùn)練】1．(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作MN∥AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN.∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠EFN.∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM，∴△AEM≌△EFN(AAS)，∴AE＝EF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE.∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE＝CE，∴CE＝EF.(2)解：y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋5\r(2)x（0≤x≤\f(5\r(2),2)），,2x2－5\r(2)x（\f(5\r(2),2)<x≤5\r(2)）.))(3)解：△BEF面積的最大值是50cm2.【例2】解：(1)四邊形ACC′A′是菱形．理由如下：由平移的性質(zhì)得到AC∥A′C′，且AC＝A′C′，則四邊形ACC′A′是平行四邊形，∴∠ACC′＝∠AA′C′.又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，易證CD也平分∠AA′C′，∴四邊形ACC′A′是菱形．(2)CB′＝16.【跟蹤訓(xùn)練】2．解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形．理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【發(fā)現(xiàn)】如圖1，連接BE交AD于點(diǎn)O.∵四邊形ABDE為矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE.設(shè)AF＝xcm，則OA＝OE＝eq\f(1,2)(x＋4)，∴OF＝OA－AF＝2－eq\f(1,2)x.在Rt△OFE中，∵OF2＋EF2＝OE2，∴(2－eq\f(1,2)x)2＋32＝eq\f(1,4)(x＋4)2，解得x＝eq\f(9,4)，∴AF＝eq\f(9,4)cm.【探究】BD＝2OF.證明：如圖2，延長(zhǎng)OF交AE于點(diǎn)H.由矩形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，∴∠BDE＋∠DEA＝∠ABD＋∠EAB.∵∠ABD＋∠BDE＋∠DEA＋∠EAB＝360°，∴∠ABD＋∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB.∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF.∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，∴△EFO≌△EFH(ASA)，∴EO＝EH，F(xiàn)O＝FH，∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，∴△EOH≌△OBD(AAS)，∴BD＝OH＝2OF.【例3】解：(1)HD∶GC∶EB＝1∶eq\r(3)∶1.(2)如圖，連接AG，AC，BD，AC，BD交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD和四邊形AEGH都是菱形，∴AD＝AB，AH＝AE，∠DAB＝∠HAE＝60°，∴∠DAH＋∠HAB＝∠BAE＋∠HAB，∴∠DAH＝∠BAE(SAS)．在△DAH和△BAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,∠DAH＝∠BAE，,AH＝AE，))∴△DAH≌△BAE(SAS)，∴HD＝EB.∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝30°，AC⊥BD，BD＝2OD，AC＝2OA，∴在Rt△AOD中，tan∠DAO＝tan30°＝eq\f(OD,OA)＝eq\f(\r(3),3)，∴BD∶AC＝1∶eq\r(3).又∵∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∴AD∶AC＝1∶eq\r(3).同理可得，AH∶AG＝1∶eq\r(3)，∴AD∶AC＝AH∶AG.又∵∠DAC＝∠HAG，即∠DAH＋∠HAC＝∠CAG＋∠HAC，∴∠DAH＝∠CAG，∴△DAH∽△CAG，∴HD∶GC＝1∶eq\r(3).又∵HD＝EB，∴HD∶GC∶EB＝1∶eq\r(3)∶1.(3)有變化．HD∶GC∶EB＝1∶eq\r(5)∶2.【跟蹤訓(xùn)練】3．解：(1)DE＝2AMDE⊥AM(2)仍然成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH.∵點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，∴BM＝FM.又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF(SAS)，∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF.∵四邊形ABCD和四邊形AEGF均是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG＋∠DAB＝∠AFG＋∠AGF＝∠AFG＋∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH(SAS)，∴DE＝AH.又∵AM＝MH，∴DE＝AM＋MH＝2AM.∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA.∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM.又∵∠BAM＋∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE＋∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°－(∠ADE＋∠DAM)＝90°，即DE⊥AM.故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM，線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM.【例4】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知AD＝AF＝10，DE＝EF.設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝eq\r(AF2－AB2)＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.在Rt△EFC中，由勾股定理得(8－x)2＝x2＋42，∴x＝3，∴EC＝3.(2)①∵AD∥CG，∴eq\f(AD,CG)＝eq\f(DE,CE)，∴eq\f(10,CG)＝eq\f(5,3)，∴CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝16.在Rt△ABG中，AG＝eq\r(82＋162)＝8eq\r(5)，在Rt△DCG中，DG＝eq\r(62＋82)＝10.∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD.∵∠DMG＝∠DMN＋∠NMG＝∠DAM＋∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠GMN，∴△ADM∽△GMN，∴eq\f(AD,GM)＝eq\f(AM,GN)，∴eq\f(10,8\r(5)－x)＝eq\f(x,10－y)，∴y＝eq\f(1,10)x2－eq\f(4\r(5),5)x＋10.當(dāng)x＝4eq\r(5)時(shí)，y有最小值，最小值為2.②存在．有兩種情形：如圖1，當(dāng)MN＝MD時(shí)，圖1∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴eq\f(DM,DG)＝eq\f(MN,GM).∵M(jìn)N＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8eq\r(5)－10.如圖2，當(dāng)MN＝DN時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DG于點(diǎn)H.圖2∵M(jìn)N＝DN，∴∠MDN＝∠DMN.∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG.∵M(jìn)H⊥DG，∴DH＝GH＝5.由△GHM∽△GBA可得eq\f(GH,GB)＝eq\f(MG,AG)，∴eq\f(5,16)＝eq\f(MG,8\r(5))，∴MG＝eq\f(5\r(5),2)，∴x＝AM＝8eq\r(5)－eq\f(5\r(5),2)＝eq\f(11\r(5),2).【跟蹤訓(xùn)練】4．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.由翻折變換可知，∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF.(2)證明：如圖，連接AC交EF于點(diǎn)O，連接PM，PO.∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO.∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF.∵PE＝PF，∴PO平分∠EPF，PO⊥EF.∵AD＝BC，AE＝FC，∴ED＝BF.由折疊的性質(zhì)可知ED＝EH，∴BF＝EH，∴PE－EH＝PF－BF，∴PB＝PH.∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL)，∴PM平分∠EPF，∴P，M，O三點(diǎn)共線．∵PO⊥EF，OE＝OF，∴點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上．(3)解：點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)lBC⌒＝eq\f(120π·5,180)＝eq\f(10,3)π.【例5】(1)證明：如圖1，延長(zhǎng)DM交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵四邊形ABDE和四邊形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM＝∠FHM.∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM(AAS)，∴DE＝FH，DM＝MH.∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG.∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG.連接EB，BF，DF，設(shè)BC＝a，則AB＝2a，BE＝2eq\r(2)a，BF＝eq\r(2)a.∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(10)a.∵EM＝MF，∴BM＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(10),2)a.∵HM＝DM，GH＝FG，∴MG＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(\r(2),2)a，∴eq\f(MB,MG)＝eq\f(\f(\r(10),2)a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(5).(2)解：eq\f(MB,MG)的值有變化．理由：如圖2，連接BE，AD交于點(diǎn)O，連接OG，CG，BF，CG交BF于點(diǎn)O′.∵DO＝OA，DG＝GB，∴GO∥AB，OG＝eq\f(1,2)AB.∵GF∥AC，∴O，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線．∵FG＝eq\f(1,2)AB，∴OF＝AB＝DE.∵DE∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD與EF互相平分．∵EM＝MF，∴點(diǎn)M在直線AD上．∵GD＝GB＝GO＝GF，∴四邊形OBFD是矩形，∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°.∵OM＝MD，OG＝GF，∴MG＝eq\f(1,2)DF.設(shè)BC＝m，則AB＝2m，易知BE＝2OB＝2·2m·sinα＝4msinα，BF＝2BO′＝2mcosα，DF＝OB＝2msinα.∵BM＝eq\f(1,2)