5.1.2弧度制學(xué)案（教師版）人教版高中數(shù)學(xué)必修一

5.1.2弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行換算；2.理解引入弧度制的必要性；的弧長公式和面積公式.【教材知識梳理】一．度量角的兩種單位制1.角度制：(1)定義：用作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定義：以作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于的圓弧所對的圓心角．一般地，正角的弧度數(shù)是一個，負(fù)角的弧度數(shù)是一個，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝.這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈°度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起的關(guān)系：每一個角都有的一個實數(shù)(等于這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應(yīng)，如圖．二．扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則1.弧長公式：l＝.2.扇形面積公式：S＝＝.概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)1弧度的角是周角的eq\f(1,360).()(2)1弧度的角大于1度的角.()(3)比值eq\f(l,r)與所在的圓的半徑大小有關(guān).（）(4)與45°終邊相同的角可以寫成α＝2kπ＋45°，k∈Z.()【答案】一．1.度eq\f(1,360)2.弧度半徑長3.正數(shù)負(fù)數(shù)0eq\f(l,r)4.2ππ360°180°6.一一對應(yīng)唯一唯一二．αReq\f(1,2)lReq\f(1,2)αR2概念辨析：(1)×(2)√(3)×(4)×【教材例題變式】（源于P173例4、例5）例1.已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7,12)π，試比較它們的大小.【答案】(1)法一：(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，顯然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化為角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.顯然，15°＜18°°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.歸納：角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法1.關(guān)鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關(guān)鍵；2.方法：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×°＝度數(shù)；【源于P174例6】例2.已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．【答案】（1）設(shè)扇形的弧長為．，即，.（2）由題設(shè)條件知，,因此扇形的面積當(dāng)時，有最大值，此時,當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是．歸納：弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟1.明確弧長公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.2.分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式．3.根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解．【教材拓展延伸】例3.（1）將－1125°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角？（2）用弧度制表示終邊落在如圖（右）所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.【答案】（1）－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因為eq\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.（2）終邊落在射線OA上的角為θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.終邊落在射線OB上的角為θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故終邊落在陰影部分的角θ的集合為.歸納：α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．(1)仔細(xì)觀察圖形．(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示．(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角．例4.如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形.設(shè)弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則______.【答案】8【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故答案為：8.【課外作業(yè)】基礎(chǔ)過關(guān)：1.角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】角對應(yīng)的弧度數(shù)為，故選：B.2．圓的一條弧的長度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長，則這條弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)圓的半徑為r，由于圓內(nèi)接正六邊形每條邊長對應(yīng)的圓心角為，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長為r，所以這條弧長所對的圓心角為.故選：A.3.集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（）【答案】C【詳解】當(dāng)k＝2m，m∈Z時，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故選C.4．如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)半徑為，所以．所以，所以弧長．故選：A．5．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名．一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形如圖，已知某勒洛三角形的三段弧的總長度為，則該勒洛三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則由題意得：，解得：，所以扇形的半徑為，圓心角為，則其面積為，又等邊三角形的面積為，則該勒洛三角形的面積為，故選：B.6．（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660°C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°【答案】AD【詳解】因為，所以選項A正確；因為，所以選項B不正確；因為，所以選項C不正確；因為，所以選項D正確，故選：AD.7．終邊在直線上的角的集合是_______．（用弧度制表示）【答案】【詳解】當(dāng)角的終邊落到上，則①當(dāng)角的終邊落到上，則②①與②的并集得：，故答案為：.8．《九章算術(shù)》是我國算術(shù)名著，其中有這樣的一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”意思是說：“現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑16步，問面積是多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是_________.【答案】【詳解】因為直徑16步，故半徑為步，（平方步），設(shè)扇形的圓心角為，則，即．9．已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使與的終邊相同，且．【答案】（1）.（2），設(shè)，由可得，解得，，則，故.能力提升：10．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.11．（多選）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了弧度制知識后，對某扇形瓷器盤（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并臨摹出該瓷器盤的大致形狀，如圖2所示，在扇形中，，，則（

）A． B．弧長C．扇形的周長為 D．扇形的面積為【答案】BC【詳解】，所以A錯；弧長，所以B對；扇形的周長為，所以C對；面積為，所以D錯；故選：BC.12．（多選）設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，面積為，周長為，則（

）A．若，確定，則，唯一確定 B．若，確定，則，唯一確定C．若，確定，則，唯一確定 D．若，確定，則，唯一確定【答案】ABD【詳解】由弧長公式得，，周長，若，確定，則唯一確定，則，唯一確定，故A正確，若，確定，則唯一確定，則，唯一確定，故B正確，若，確定，則，，即，當(dāng)，有兩正實根，不唯一確定，所以，不一定唯一確定，故C錯誤，若，確定，則唯一確定，則唯一確定，故D正確，故選：ABD.13．已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是，若扇形的周長是12cm，當(dāng)______弧度時，該扇形有最大面積.【答案】2【詳解】設(shè)扇形的弧長為，則，即，扇形的面積為，即當(dāng)，即時，該扇形有最大面積.故答案為：.14．某城市一圓形空地的平面圖如圖所示，為了方便市民休閑健身，政府計劃在該空地建設(shè)運(yùn)動公園（圖中陰影部分）.若是以B為直角的等腰直角三角形，，則該公園的面積為________.【答案】【詳解】由題可知圓心為的中點，，連接，該公園的面積.故答案為：15．已知集合，，