第07講 有理數(shù)的混合運算(6類熱點題型講練)（解析版）

第07講有理數(shù)的混合運算1.掌握有理數(shù)的加減乘除及其乘方的混合運算.2.靈活應(yīng)用有理數(shù)的運算法則解決問題.知識點1有理數(shù)的加法法則（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得_____；（如果兩個數(shù)的和為_____，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）（4）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).【答案】0；0知識點2有理數(shù)的減法法則減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的_______，即.【注意】計算過程中，一定要注意符號.【答案】相反數(shù)知識點3有理數(shù)的乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.（4）有理數(shù)的乘法運算律①乘法交換律：；②乘法結(jié)合律：；③乘法分配律：．知識點4有理數(shù)的除法法則（1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的_______.（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.【答案】倒數(shù)知識點5有理數(shù)的乘方（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值.題型01有理數(shù)四則混合運算【典例1】（2022秋·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）計算(1)；(2)(3)；(4)；【答案】(1)1(2)7(3)(4)【分析】（1）先化簡符號，再算加減法；（2）利用乘法分配律展開計算；（3）先算乘法，再算加減法；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解運算性質(zhì)，確定運算順序是關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算絕對值，再計算乘除運算，最后計算加減運算即可；（2）先計算乘方與乘法運算，再計算加減運算即可．【詳解】（1）解：

；（2）【點睛】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟記混合運算的運算順序是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·廣東廣州·七年級廣州市南武實驗學(xué)校?？计谥校┯嬎泐}(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)14(2)2(3)(4)0【分析】（1）按照有理數(shù)的加減混合運算法則運算即可．（2）按照乘法對加法的分配律計算即可．（3）按照絕對值與有理數(shù)乘除運算法則進行運算即可．（4）按照乘方、有理數(shù)混合混合運算的順序進行運算即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算、乘方和絕對值的運算等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練運用各種運算技巧．題型02程序流程圖與有理數(shù)計算【典例1】（2023秋·山西太原·七年級?？计谀┫聢D是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，若輸入的a的值為2，則輸出的結(jié)果應(yīng)為．【答案】0【分析】按照程序流程圖，把代入求解即可．【詳解】解：由題意得，，故答案為：0．【點睛】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖是一個計算程序，若輸入的值為1，則輸出的值應(yīng)為．【答案】4【分析】根據(jù)程序流程圖的流程，列出算式，進行計算即可．【詳解】解：輸入的值為1時，由圖可得：；輸入可得：；∴輸出的值應(yīng)為4；故答案為：4．【點睛】本題考查程序流程圖．按照流程圖的流程準(zhǔn)確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）按下圖的程序計算，如果輸入，則輸出的結(jié)果為．【答案】5【分析】把x=-1代入程序中計算，判斷結(jié)果大于3，輸出即可．【詳解】解：把代入得：，由于第一次所得結(jié)果不滿足大于3的要求，所以再將輸入，得：，滿足大于3的要求；則輸出結(jié)果是5，故答案為：5．【點睛】本題考查了程序框圖和有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)運算法則是解題關(guān)鍵．題型03算“24”點【典例1】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）“點的規(guī)則是四個數(shù)用且只用一次進行加、減、乘、除四則運算，使結(jié)果等”．現(xiàn)在有四個有理數(shù)，，，，運用上述規(guī)則列出算式．【答案】【分析】由“24點”游戲規(guī)則，根據(jù)，，，，列出算式，利用有理數(shù)的混合運算法則計算，其結(jié)果為24，可得出此算式滿足題意．【詳解】解：，按上述規(guī)則寫出的算式為：．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算首先弄清運算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算．【變式1】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）做數(shù)學(xué)“24點”游戲時，抽到的數(shù)是：，3，4，；你列出算式是：（四個數(shù)都必須用上，而且每個數(shù)只能用一次．可以用加、減、乘、除、乘方運算，也可以加括號，列一個綜合算式，使它的結(jié)果為24或）．【答案】【分析】利用加、減、乘、除、乘方運算得出即可．【詳解】解：抽到的數(shù)是：，3，4，，列出的算式是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則．【變式2】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為________；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最?。@兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為________；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法（可加括號），使其運算結(jié)果為24，寫出運算式子及運算過程．（寫出一種即可）【答案】(1)-5和-3，15(2)-5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，也就是必須選擇同號的兩個數(shù)相乘，然后取積最大的兩個卡片即可．（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，也就是必須選擇異號的兩個數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值，然后選擇商最小的兩個卡片即可．（3）把分解因數(shù)，可得到，，，然后找到合適的卡片能夠通過運算得到的因數(shù)即可．【詳解】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，選擇同號的兩個數(shù)相乘則有，積最大為，選擇卡片和卡片；故答案為：-5和-3，15；（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，選擇異號的兩個數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值．則有，，商最小為，所選擇卡片和卡片，故答案為：-5和+3，；（3）【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．題型04有理數(shù)錯題復(fù)原問題【典例1】（2023秋·山東東營·六年級統(tǒng)考期末）課代表發(fā)下作業(yè)本之后，小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)有一個題做錯了，檢查了多遍也沒有找出錯誤的原因，你能幫他糾錯嗎？原題是：計算：這是小剛的計算過程：解：原式

第一步

第二步

第三步．

第四步觀察小剛的計算過程回答下列問題：(1)小剛在進行計算第一步時運用了______律；(2)他在計算中出現(xiàn)了錯誤，你認(rèn)為他在第______步出錯了？(3)請你給出正確的解答過程．【答案】(1)乘法分配(2)二(3)見解析【分析】（1）觀察運算過程可知第一步運用了乘法分配律；（2）觀察運算過程可知第二步運用了除法分配律，而除法沒有分配律，由此即可得到答案；（3）根據(jù)有理數(shù)四則混合計算法則求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，小剛在進行計算第一步時運用了乘法分配律，故答案為：乘法分配；（2）解：由題意得，在第二步的時候，運用了除法的分配律，而除法沒有分配律，從而導(dǎo)致運算結(jié)果錯誤，故答案為：二；（3）解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計算，有理數(shù)乘法分配律，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵，注意除法沒有分配律．【變式1】（2022秋·吉林長春·七年級?？茧A段練習(xí)）在計算時，小明的解法如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：(1)小明的解法是錯誤的，主要錯在第_______步，錯因是___________；(2)請在下面給出正確的解答過程．【答案】(1)一，同級運算沒有按照從左到右的順序依次進行運算(2)見解析【分析】（1）觀察小明的計算過程可以發(fā)現(xiàn)，第一步?jīng)]有按照運算順序計算，所以錯誤；（2）按照有理數(shù)混合運算順序和法則計算即可．【詳解】（1）解：通過觀察小明的計算過程發(fā)現(xiàn)，第一步在計算乘除的同級運算時，沒有按照從左到右的順序依次計算導(dǎo)致錯誤，故答案為：一，同級運算沒有按照從左到右的順序依次進行運算；（2）解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計算，掌握有理數(shù)的混合運算順序和法則是解題的關(guān)鍵．．【變式2】（2022秋·河南駐馬店·七年級?？计谥校╅喿x下列解題過程：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）解答問題：(1)上面解答過程有兩個錯誤，第一處是第_______步，錯誤的原因是______；第二處是第_______步，錯誤的原因是_______．(2)請你正確解答本題．并請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就有理數(shù)的計算過程還需要注意的事項給同學(xué)們提出一條建議．【答案】(1)二；同級運算應(yīng)按照從左到右順序進行；三；同號相除結(jié)果應(yīng)為正(2)；建議：有括號先算括號內(nèi)的（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則即可作答；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可．【詳解】（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則可知：解答過程有兩個錯誤，第一處是第二步，錯誤的原因是同級運算應(yīng)按照從左到右順序進行；第二處是第三步，錯誤的原因是同號相除結(jié)果應(yīng)為正，故答案為：二；同級運算應(yīng)按照從左到右順序進行；三；同號相除結(jié)果應(yīng)為正；（2），建議：有括號先算括號內(nèi)的（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵．題型05含乘方的有理數(shù)混合運算【典例1】（2022秋·陜西西安·七年級西安市東方中學(xué)?？计谀┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥堪凑障扔嬎愠朔胶徒^對值，再計算乘法，最后計算加減法的運算順序求解即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的混合運算法則即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查含有乘方的有理數(shù)的混合運算，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則求解即可．【詳解】原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．【變式3】（2020秋·廣東深圳·七年級?？茧A段練習(xí)）混合運算：(1)．(2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加減；（2）先算乘方，再算除法，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有絕對值，要先做絕對值內(nèi)的運算．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算，注意乘法運算定律的應(yīng)用．題型06新定義型有理數(shù)混合運算【典例1】（2022秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算規(guī)定，試計算：的值．【答案】5【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·河北滄州·?？级＃┤?，是有理數(shù)，定義一種運算“▲”：，(1)計算的值；(2)計算的值；(3)定義的新運算“▲”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程．【答案】(1)8(2)8(3)不成立，見解析【分析】（1）根據(jù)題目所給新定義運算順序和運算法則，進行計算即可；（2）根據(jù)題目所給新定義運算順序和運算法則，進行計算即可；（3）根據(jù)題目所給新定義運算順序和運算法則，分別計算和，再進行比較即可．【詳解】（1）解：由題意得：，（2）解：由題意得，∴；（3）解：不成立，理由如下：∵，，∴，即定義的新運算“▲”對交換律不成立．【點睛】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)四則混合運算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，明確題目所給新定義的運算順序和運算法則．【變式2】（2022秋·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）若我們定義，其中符號“*”是我們規(guī)定的一種運算符號．例如：．依據(jù)以上內(nèi)容，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)38(2)【分析】（1）將、代入，根據(jù)有理數(shù)混合運算順序和法則計算可得；（2）將、代入，根據(jù)有理數(shù)混合運算順序和法則計算可得．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算的順序和法則是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022秋·廣東廣州·七年級校考階段練習(xí)）下面各對數(shù)中，結(jié)果相等的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)乘方的計算法則即可得出答案．【詳解】解∶∵，，∴，∴A選項不符合題意；∵，，∴，∴B選項不符合題意；∵，，∴，∴C選項符合題意；∵，，∴，∴D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查乘方的定義，解題的關(guān)鍵是要牢記互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方相等．2．（2022秋·廣東佛山·七年級佛山市南海區(qū)石門實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列計算過程中，正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)各項計算過程，即可做出判斷．【詳解】解：A、，原計算錯誤，本選項不符合題意；B、，原計算錯誤，本選項不符合題意；C、，原計算錯誤，本選項不符合題意；D、，正確，本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算，注意乘法運算定律的應(yīng)用．3．（2022秋·河南周口·七年級校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)運算題，你認(rèn)為做對的同學(xué)是（

）甲：

乙：丙：

丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁【答案】C【分析】據(jù)甲乙丙丁的式子計算出正確的結(jié)果，從而解答本題即可．【詳解】解：，故甲的做法是錯誤的；，故乙的做法是錯誤的；，故丙的做法正確；，故丁的做法錯誤．故選：C．【點睛】本題考查有理數(shù)混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）定義一種新運算：，如，則的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值【詳解】解：原式，故選：B．【點睛】本題主要考查了新定義運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則，準(zhǔn)確計算．二、填空題5．（2022秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】10【分析】先計算乘法、乘方和絕對值，再算加減即可．【詳解】解：原式．故答案為：10．【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟練掌握混合運算的順序是解答本題的關(guān)鍵．混合運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按從左到右的順序計算．6．（2022秋·河北滄州·七年級統(tǒng)考期中）洪洪同學(xué)在電腦中設(shè)置了一個有理數(shù)的運算程序：輸入數(shù)“”加“★”鍵，再輸入“”，就可以得到運算．按此程序．【答案】8.5【分析】根據(jù)題意列出算式進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：8.5．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準(zhǔn)確計算．7．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校└鶕?jù)如圖的程序計算，若輸入的值為1，則輸出的值為.【答案】4【分析】把代入程序中計算，判斷結(jié)果是否大于0，即可確定出y的值．【詳解】解：由題意得：，∴，∴輸出y的值為4．故答案為：4【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題中給出的計算程序的含義．8．（2023秋·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）我們常用十進制數(shù)，如，我國古代《易經(jīng)》一書記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進制（如表示的數(shù)為），用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是．【答案】67【分析】根據(jù)七進制列式計算即可得．【詳解】解：因為七進制是滿七進一，所以孩子自出生后的天數(shù)是，故答案為：67．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解七進制是解題關(guān)鍵．三、解答題9．（2023秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】20【分析】先算乘方和乘除，再算加減法．【詳解】解：【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則和運算順序．10．（2023春·上海寶山·六年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先算乘方，然后算乘除，最后算加減．【詳解】解：【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)混合運算的運算順序和計算法則是解題關(guān)鍵．11．（2023春·上海松江·六年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【詳解】原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．12．（2023春·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】先根據(jù)平方運算、絕對值運算、計算，再由有理數(shù)加減運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查有理數(shù)加減混合運算，涉及平方運算、絕對值運算、計算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算，加減法運算，乘法分配律即可求解；（2）根據(jù)含有乘方的有理數(shù)運算法則即可求解；（3）根據(jù)含有乘方的有理數(shù)