基于型模糊集的-s模糊建模方法

基于型模糊集的-s模糊建模方法

0模糊集模糊建模在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)過程中，測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免地會(huì)受到噪聲的影響。若從系統(tǒng)測(cè)量的輸入輸出數(shù)據(jù)出發(fā),采用Ⅰ型模糊建模方法,系統(tǒng)的模糊隸屬度一旦確定下來,其數(shù)據(jù)的隸屬度值也就唯一確定。由于存在噪聲,測(cè)量數(shù)據(jù)的模糊隸屬度值與系統(tǒng)的實(shí)際數(shù)據(jù)的模糊隸屬度值可能存在有偏差。這樣得到的模型就不能很好的表征系統(tǒng)的特性。Zadeh在1985年提出了Ⅱ型模糊集理論,相對(duì)于Ⅰ型模糊集,Ⅱ型模糊集的隸屬度函數(shù)由一階隸屬度(primarymembership)和二階隸屬度(secondarymembership)組成,其中二階隸屬度表示一階隸屬度的模糊程度。文獻(xiàn)指出Ⅱ型模糊集處理不確定性信息的能力優(yōu)于Ⅰ型模糊集。文獻(xiàn)指出,在對(duì)過程的模糊描述中模糊度的增加意味著處理不確定信息能力增加。若采用Ⅱ型模糊集描述帶有測(cè)量噪聲的數(shù)據(jù),其模糊隸屬度不再是唯一確定的,這樣就可以減少由于噪聲帶來的不確定性信息的影響。因此本文提出了一種Ⅱ型T-S模糊建模方法對(duì)帶有測(cè)量噪聲的系統(tǒng)建模。文獻(xiàn)提出基于模糊c-均值和高斯混和模型的方法,來獲得Ⅱ型模糊集的前件參數(shù),給出了選取聚類數(shù)目以及確定聚類初始條件的一般方法,然而卻忽略了最先聚類開始時(shí)初始條件的影響。因而本文首先采用改進(jìn)的最小鄰域算法自動(dòng)得到模糊規(guī)則數(shù)和一階隸屬度。接著基于一階隸屬度的結(jié)果和樣本的統(tǒng)計(jì)信息來確定高斯混和模型(Gaussianmixturemodel,GMM)初始參數(shù),進(jìn)而得到二階隸屬度,然后采用正交最小二乘算法得到模糊模型的后件參數(shù)。最后通過仿真示例來說明這種方法的有效性。1模糊模型的建立對(duì)于長度為n的d維測(cè)量數(shù)據(jù)X={x1,x2,…,xn},其中xi=?xi+?ni??xi為系統(tǒng)的實(shí)際數(shù)據(jù),?ni為系統(tǒng)的噪聲?；冖蛐湍：腡-S模糊建模的模型形式如下Ri∶ifx1isA1iand?andxnisAni,thenyi=aoi+a1ix1+a2ix2+?+anixn(1)其中,Ri表示第i條規(guī)則,i=1,…m,xj(1≤j≤n)是系統(tǒng)的輸入變量,yi是系統(tǒng)的輸出值,Aji是輸入變量的模糊集合,aji則是第i個(gè)規(guī)則的后件參數(shù)。要獲得系統(tǒng)的Ⅱ型T-S模糊模型,我們首先要確定Ⅱ型T-S模糊模型結(jié)構(gòu),然后根據(jù)測(cè)量的樣本數(shù)據(jù)確定模糊模型的前件參數(shù)和后件參數(shù)。Ⅱ型模糊集的隸屬度由一階隸屬度和二階隸屬度組成的,二階隸屬度表征一階隸屬度的模糊程度。本文首先采用改進(jìn)的最小鄰域算法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類,自動(dòng)獲取聚類個(gè)數(shù),同時(shí)確定Ⅱ型模糊集的一階隸屬度,其形式為A(1)ji=exp(-(xi-Cji)22σ2ji)(2)其中Cji和σji分別是高斯函數(shù)的中心和方差。接著基于一階隸屬度的結(jié)果和樣本的統(tǒng)計(jì)信息來確定GMM初始參數(shù),繼而通過EM算法迭代得到二階隸屬度,其形式為A(2)ji=Ρ(xi;Cj,Rj)k∑j=1WjΡ(xi;Cj,Rj)(3)其中Cj指每個(gè)模型的中心,Rj是指其相應(yīng)的平方半徑,Wj為高斯函數(shù)的混和權(quán)值。最后利用前件參數(shù)信息,采用正交最小二乘法辨識(shí)規(guī)則后件參數(shù)aji。系統(tǒng)全局輸出可表示為y=n∑i=1miyin∑i=1mi(4)其中,mi=A1i×A2i×…×Ani。下面我們從如何確定模糊模型的前件參數(shù)和后件參數(shù)來分析Ⅱ型T-S模糊建模方法。2模糊模型的參數(shù)分析由式(1)知,Ⅱ型T-S模糊建模問題即為根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)辨識(shí)模糊模型的前件參數(shù)和后件參數(shù)問題。本文采用改進(jìn)的最小鄰域算法和高斯混和模型辨識(shí)模糊模型的前件參數(shù),然后基于正交最小二乘算法辨識(shí)模糊模型的后件參數(shù)。2.1模糊模糊規(guī)則的確定Ⅱ型模糊系統(tǒng)的前件參數(shù)包括確定系統(tǒng)的一階隸屬度和二階隸屬度。本文首先采用改進(jìn)的最小鄰域算法得到一階隸屬度和模糊規(guī)則數(shù),確定式(2)中的參數(shù)。接著基于一階隸屬度的結(jié)果和樣本的統(tǒng)計(jì)信息來確定高斯混和模型(GMM)初始參數(shù),進(jìn)而得到系統(tǒng)的二階隸屬度,確定式(3)中的參數(shù)。2.1.1聚類中心聚類的確定和聚類修正由于大多數(shù)聚類算法,如模糊c-均值算法、K-Medoid算法,均需要用戶事先給定聚類個(gè)數(shù)C,且聚類個(gè)數(shù)C直接影響模糊劃分的有效性,同時(shí)還影響到了求二階隸屬度時(shí)高斯混和模型的個(gè)數(shù)的選取。本文采用文獻(xiàn)提出的二次聚類算法來確定一階隸屬度,首先采用改進(jìn)的最小鄰域算法自動(dòng)獲得聚類個(gè)數(shù)C和初始聚類中心,由于沒有目標(biāo)優(yōu)化,得到的聚類中心點(diǎn)會(huì)有偏差。所以將得到的聚類個(gè)數(shù)和聚類中心點(diǎn)作為模糊c-均值算法中的初始聚類個(gè)數(shù)和初始聚類中心,然后通過迭代對(duì)原來的聚類中心進(jìn)行微調(diào),以提高隸屬度精度。具體算法如下:步驟1將系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)作為整個(gè)聚類樣本,樣本X={x1,x2,…,xn}是長度為n的d維測(cè)量數(shù)據(jù)。計(jì)算所有樣本間的歐式距離dij(i,j=1,2,…,n)及其均值。對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化運(yùn)算。找出與樣本I距離最近的1個(gè)樣本(I為一設(shè)定的常數(shù)),求出這些距離d1i-dli。并且求出dj=1ll∑j=1di,設(shè)Si=did,則Si代表了樣本的區(qū)域密度。步驟2Si代表樣本的區(qū)域密度,這樣確定r*=Si×r。步驟3將第一個(gè)樣本數(shù)據(jù)x1對(duì)作為輸入輸出空間的第一個(gè)聚類,設(shè)類的中心點(diǎn)C1=x1,此時(shí)類的個(gè)數(shù)c=1。步驟4對(duì)于第k對(duì)樣本數(shù)據(jù)xk(xk為d維行向量)對(duì)每個(gè)類中心點(diǎn)Cji(j=1,2…c;i=1,2…d)的距離,并計(jì)算Dj=∥xk-Cj∥=mini<j∥xk-Cj∥。如果Dj>r,表明第k對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)不屬于已有聚類,建立一個(gè)新類。令Cc+1=xk,c=c+1。如果Dj<r*,表明第k對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)屬于已有聚類,調(diào)整此時(shí)這個(gè)類的中心點(diǎn)Cai。如果Xi(k)<Cai,i=1,2,…,d,則Cj=Cj-λDj;如果Xi(k)>Cai,i=1,2,…,d,則Cj=Cj+λDj。λ=λ0/(Nj+1)(λ0的值根據(jù)r*來確定)。步驟5k=k+1,如k<n返回到步驟3。步驟6剔除不正常聚類點(diǎn),算出Cj(j=1,2,…,c)到其他聚類點(diǎn)的范數(shù)值。將大于r*×c的聚類點(diǎn)剔除。步驟7根據(jù)改進(jìn)的最小鄰域算法得到的類別c作為分類個(gè)數(shù),允許誤差Emax,t=1。步驟8將改進(jìn)的最小鄰域算法得到聚類中心點(diǎn)作為模糊c-均值算法的初始中心點(diǎn)Cj,j=1,2,…,c。步驟9按照下式計(jì)算隸屬度μji(t)μji=(1∥xi-Cj∥2)1m-1c∑j=1(1∥xi-Ck∥2)1m-1,j=1,2,?,c,i=1,2,?,n(5)步驟10按照下式修正所有聚類中心Cj(t+1):Cj=Ν∑i=1(μji)mxiΝ∑i=1(μji)m,j=1,2,?,c,i=1,2,?,d(6)步驟11計(jì)算誤差:e=c∑j=1‖Cj(t+1)-Cj(t)‖2。如果e<Emax,則算法結(jié)束;否則t=t+1,然后轉(zhuǎn)到步驟9。模糊規(guī)則的數(shù)目即為聚類的中心點(diǎn)的個(gè)數(shù),規(guī)則中前件部分的一階隸屬函數(shù)可以用高斯函數(shù)表示:A(1)ji=exp(-(xi-Cji)22σ2ji)(7)其中Cji和σji分別是高斯函數(shù)的中心和方差,σji的值通過計(jì)算第j類的輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)與其聚類中心的偏差即可以得到。M為每個(gè)類的樣本的和,N為每個(gè)類所包含的樣本個(gè)數(shù)。Q為每個(gè)類里的樣本的平方和。Μj=∑?xi∈Xjxi,j=1,2,?,c,i=1,2,?,n(8)Qj=∑?xi∈Xjxix′i,j=1,2,?,c,i=1,2,?,n(9)Νj=|Dj|(10)2.1.2em算法估計(jì)高斯混和模型高斯混和模型可以通過最大化由模型產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的概率找到個(gè)體成分密度。這些高斯基函數(shù)的線性組合可以對(duì)任意形狀的密度做出光滑的估計(jì)。文獻(xiàn)采用高斯混和模型估計(jì)一階隸屬度的幅值,即模糊集的二維隸屬度值。同時(shí)采用EM(expectationmaximization)算法來估計(jì)高斯混和模型中的參數(shù)。文獻(xiàn)指出式(3)中的參數(shù)Cj,Rj和Wj的估計(jì)的精度依賴于初始參數(shù)的選取,因此本文采用樣本的統(tǒng)計(jì)信息來確定EM算法的初始參數(shù)。首先用公式(8),(9),(10)得到的矩陣M,Q,N來表征整個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)信息。高斯混和模型的中心Cj的初始值為改進(jìn)的最小鄰域算法的聚類中心,高斯函數(shù)中的混和權(quán)值Wj=Νjk∑j=1Νj。為了避免方差為0所帶來的影響,當(dāng)方差更新時(shí),在每一維加入一個(gè)常數(shù)λ≥0乘以全局方差。每個(gè)模型相應(yīng)的平方半徑Rj=1ΝjQj-1Ν2jΜj(Μj)′+λ∑。EM算法分為E步驟(expectation)和M步驟(maximization)。確定EM算法的初始值之后,EM算法通過以下步驟計(jì)算m+1次迭代。在E步驟確定高斯混和模型中的參數(shù)wj,Cj,Rj,在M步驟更新參數(shù)。假定θm={wj,Cj,Rj}是算法迭代m次的參數(shù)估計(jì)值,(1)集1q1qΡ(m)(j|xi)=W(m)jΡ(xi;C(m)j,R(m)j)k∑j=1W(m)jΡ(xi;C(m)j,R(m)j)j=1,2,?c;i=1,2,?n(11)式中:P(j|xi)為數(shù)據(jù)xi屬于第j類的概率;P(m)(j|xi)表示P(j|xi)的第m次迭代的估計(jì)值。(2)模糊性品質(zhì)模型W(m+1)j=1nn∑i=1Ρ(m)(j|xi)(12)C(m+1)j=n∑i=1Ρ(m)(j|xi)xin∑i=1Ρ(m)(j|xi)(13)R(m+1)j=n∑i=1Ρ(m)(j|xi)(xi-C(m+1)j)(xi-C(m+1)j)Τn∑i=1Ρ(m)(j|xi)(14)則模糊模型的二階隸屬度可表示為A(2)ji=Ρ(xi;Cj,Rj)k∑j=1WjΡ(xi;Cj,Rj)(15)2.2a.認(rèn)定ani由式(1)和式(4),系統(tǒng)的輸出為y=n∑i=1min∑i=1mi(a0i+a1ix1+a2ix2+?+anixn)(16)其中mi=A1i×A2i×…×Ani,因?yàn)锳1i是Ⅱ型模糊隸屬度函數(shù),本文采用文獻(xiàn)中運(yùn)算方法對(duì)前件參數(shù)Ani做取小運(yùn)算,獲得相應(yīng)的mi,然后通過正交最小二乘法對(duì)規(guī)則的后件參數(shù)辨識(shí)。3模擬3.1算法的輸出和輸出誤差計(jì)算考慮一個(gè)雙入單出的非線性系統(tǒng)y=0.2+0.8exp(-x1)+0.4sin(2πx2),其中x2=1-x21。對(duì)于此非線性系統(tǒng),我們?cè)O(shè)定其模型結(jié)構(gòu)為yi=a0i+a1ix1(k)+a2ix1(k-1)+a3ix2(k)+a4ix2(k-1)+a5iy(k-1)(17)定義模型精度評(píng)價(jià)指標(biāo)為ΜSE=1ΝΝ∑n=1[y(n)-d(n)]2(18)為了驗(yàn)證本文方法的有效性,仿真中取x1為的隨機(jī)數(shù)。y在計(jì)算得到的輸出值的基礎(chǔ)上加上由馬爾可夫鏈產(chǎn)生的有色噪聲。將{x1(k),x1(k-1),x2(k),x2(k-1),y(k-1)}的100數(shù)據(jù)為系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)。選取r=0.3,首先采用改進(jìn)的最小鄰域算法得到聚類個(gè)數(shù)為5,即產(chǎn)生5條規(guī)則。通過對(duì)一階隸屬度值的求取,用獲得的樣本統(tǒng)計(jì)值來確定高斯混和模型的初始值,進(jìn)而得到系統(tǒng)的二階隸屬度值,然后通過正交最小二乘法辨識(shí)規(guī)則的后件參數(shù)。由本文提出的方法得到的一階隸屬度中的參數(shù)如下Cji=[0.09610.10610.98680.98480.90040.30620.31620.90250.89630.57390.52560.53560.71880.70820.32370.72700.73690.46740.45300.63270.88170.89150.21950.20210.8665]σji=[0.14010.13780.05620.05790.02260.14420.14160.05470.05900.03920.13520.13380.12250.12540.16680.10310.09960.16530.15890.03920.10640.10110.16270.16720.0226]二階隸屬度的參數(shù)如下Wj=[0.210.190.260.120.22]Cji=[0.10000.11000.98630.98420.89500.30000.31000.90700.90090.58150.52500.53500.71880.70810.33280.71500.72500.48760.47320.62010.88500.89450.21280.19590.8345]圖1表示疊加了有馬爾可夫鏈產(chǎn)生的有色噪聲之后,系統(tǒng)的輸出y。圖2和圖3分別是采用Ⅱ型T-S模糊建模方法得到的系統(tǒng)輸出和輸出誤差曲線。表1是兩種算法的模糊規(guī)則數(shù)與MSE的對(duì)比。由圖我們可以看到,采用Ⅱ型T-S模糊建模方法能夠更好的表征系統(tǒng)在沒有疊加測(cè)量噪聲時(shí)的真實(shí)輸出,建模精度高。3.2本文優(yōu)化的t-s建模算法結(jié)果pH中和過程是具有嚴(yán)重非線性和滯后性的復(fù)雜工業(yè)過程,其建模與控制也是工業(yè)過程控制的難題之一。典型的pH中和過程流入物可以是酸液或堿液,通過反應(yīng)物(相應(yīng)為堿液或酸液)對(duì)其進(jìn)行中和,最后通過流出物來檢測(cè)從反應(yīng)器中所獲得的溶液的pH值?？紤]一弱酸強(qiáng)堿中和過程。采用上一時(shí)刻堿流量及pH值作為模型輸入,在堿流量中加入范圍在[-51.5,+51.5]范圍內(nèi)的變化量,并由此產(chǎn)生300組樣本。然后在堿流量的輸出值上疊加由馬爾可夫鏈產(chǎn)生的有色噪聲。在此基礎(chǔ)上采用本文算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。由本文算法得到模糊規(guī)則數(shù)為3,一階隸屬度的參數(shù)值如下Cji=[480.98767.07617.0963550.80758.01507.9852515.47947