2024屆江蘇省蘇州市常熟中學高三上學期階段性抽測一數(shù)學試題（解析版）VIP

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆江蘇省蘇州市常熟中學高三上學期階段性抽測一數(shù)學試題一、單選題1．已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據待定系數(shù)法求解，即可代入求解.【詳解】設，則，所以，故，故選：C2．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數(shù)有意義列出不等式即可求解.【詳解】的定義域需滿足，解得且，故定義域為故選：C3．已知銳角，滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、，由利用余弦的兩角差的展開式計算可得答案.【詳解】因為為銳角，所以，因為，為銳角，所以，所以，.故選：B.4．權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設，則，當且僅當時等號成立．根據權方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】D【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用權方和不等式即可得解．【詳解】由，得，由權方和不等式可得，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為16．故選：D．5．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】令，所以最大值和最小值分別為，又，故為奇函數(shù)，故的圖象關于原點對稱，故,故選：D6．的內角的對邊分別是，且，邊上的角平分線的長度為，且，則（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【分析】根據題意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，結合面積公式，求得，即可求解.【詳解】由，因為，可得，又由邊上的角平分線，所以，在中，可得，在中，可得,因為，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因為，可得，即，可得，所以.故選：A.

7．已知奇函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足．當時，，則使得成立的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造，求導得到其單調性，得到定義域，判斷出是偶函數(shù)，結合，得到，分和兩種情況，求出不等式解集.【詳解】令，則，故當時，恒成立，故在上單調遞減，又為奇函數(shù)，，故且定義域為，，故為偶函數(shù)，則在單調遞增，且，當時，要想使得，則要，故，當時，要想使得，則要，故，故使得成立的x的取值范圍為.故選：A8．已知函數(shù)，，若，則零點的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，令，則求在零點的個數(shù)，再令得，即求與的圖象在交點的個數(shù)，求出的范圍結合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下，令，則求在零點的個數(shù)，由得，所以，即方程有兩個不相等正根，令，可得，不成立，所以，即求與的圖象在交點的個數(shù)，因為，所以，即，解得，且，可得與的圖象有2個交點，當，且時，與有8個交點，則零點的個數(shù)為8.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是畫出函數(shù)的圖象，令，則求在零點的個數(shù).二、多選題9．已知實數(shù)x，y滿足，則的可能取值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】BC【分析】令，將化為關于y的一元二次方程，結合判別式求出t的范圍，結合選項，即可得答案.【詳解】令，則，故由得，即，由于，故，即得，結合選項可知的可能取值為，故選：BC10．已知函數(shù)的相鄰兩條對稱軸的距離為，，恒成立，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)圖象可由，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模傧蛴移揭苽€單位得到B．函數(shù)關于直線對稱C．函數(shù)，的值域為D．直線是函數(shù)的一條切線【答案】BCD【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據已知條件求出和，利用正弦函數(shù)的性質判斷函數(shù)圖像的平移，函數(shù)的對稱軸和區(qū)間內的值域，利用導數(shù)求曲線的切線.【詳解】，相鄰兩條對稱軸的距離為，則函數(shù)最小正周期，得，，恒成立，，即，，當時，，由，時，，當時，，此時不滿足，所以，，.函數(shù)圖象，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，A選項錯誤；，所以函數(shù)關于直線對稱，B選項正確；時，，當即時，函數(shù)取最大值2，當即時，函數(shù)取最小值-1，所以在的值域為，C選項正確；，，時，，取，有，則曲線在點處的切線方程為，即直線是函數(shù)的一條切線，D選項正確.故選：BCD.11．若定義在上的函數(shù)，滿足是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于直線對稱 B．函數(shù)的最小正周期為4C． D．對于，都有【答案】AC【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性計算即可一一判定選項.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，故A正確；又是奇函數(shù)，所以，且函數(shù)的圖象關于中心對稱，由上可知，則，故，即函數(shù)的一個正周期為8，如令符合題意，但4不是函數(shù)的最小正周期，故B錯誤；由周期性可知，故C正確；若D正確，則，由是偶函數(shù)可知，由條件無法判定函數(shù)值始終為0，故D錯誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，則（

）A．當時，在處的切線方程為B．當時，單調遞增C．當時，有兩個極值點D．若有三個不相等的實根，，，則【答案】ABC【分析】根據導數(shù)的幾何意義求切線方程即可判斷A；當時，即可判斷B選項；當時，有兩個不同的零點，即可判斷C選項；由得到是的一個根，當時，由得，然后根據的奇偶性可得，即可判斷D選項.【詳解】，當時，，，，所以切線方程為，故A正確；令，可得，令，則，令，則，令，則，所以在上單調遞減，上單調遞增，則，即當時，，單調遞增，故B正確；當時，，當時，，，所以當時，與的圖象有兩個不同的交點，即有兩個不同的變號零點，所以時，有兩個極值點，故C正確；因為，所以是的一個實根，當時，由，可得，則直線與函數(shù)的交點的橫坐標為，，設，又，所以為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，所以，所以，故D錯.故選：ABC.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍：①若單調遞增，則；②若單調遞減，則.三、填空題13．已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用導數(shù)恒為非負，即可利用最值求解.【詳解】由得，由于函數(shù)在上單調遞增，故在上恒成立，因此在對任意的恒成立，所以，故答案為：14．已知，則．【答案】【分析】利用誘導公式和余弦二倍角公式計算出答案.【詳解】.故答案為：15．已知函數(shù)，且對于，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分段函數(shù)單調遞減需滿足兩段都為減函數(shù)，且第一段端點縱坐標不小于第二段端點縱坐標，以此列不等式組即可求解.【詳解】因為對于，恒有，所以在R上單調遞減，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：16．已知函數(shù)，若在恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】將不等式整理為，然后構造函數(shù)，得到，再結合得到在上單調遞減，則在上恒成立，分離參變量后根據的范圍得出答案．【詳解】不等式，可整理為，即，令，，，當時，，所以在上單調遞減，又，則當時，，即．令，則，因為，在上恒成立，所以在上單調遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，因為時，，所以．故答案為：．【點睛】本題的解題關鍵是通過同構，得到構造函數(shù)的單調性，從而根據單調性與導數(shù)的關系，得到不等式恒成立問題，再結合恒成立問題的解法即可解出.四、解答題17．命題：函數(shù)在上單調遞減，命題：，恒成立．(1)若命題為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題為真命題是為真命題成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據一元二次型不等式恒成立，結合分類討論和判別式即可求解，（2）根據充分不必要條件，轉化為真子集關系，列不等式即可求解.【詳解】（1）∵命題：，恒成立①當時，成立②當時,,解得，綜上（2）∵為真∴，∴∵為真時為真命題成立的充分不必要條件,所以，∴

∴18．已知函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，若在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據圖象最值可確定，由最小正周期可求得，根據可求得，由此可得；（2）根據三角函數(shù)伸縮變換原則可得，采用整體對應的方式，將整體放入正弦函數(shù)的遞增區(qū)間中，由此可構造不等式組，通過討論的取值可求得結果.【詳解】（1）由圖象可知：，設最小正周期為，則，，解得：，，，解得：，又，，.（2）由題意知：，當時，，在上單調遞增，，解得：，令，解得：；又，，解得：，，又，或，當時，；當時，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.19．已知的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c．請從下面三個條件中任選一個作為已知條件并解答：①，②，③．(1)求A的大小；(2)若為銳角三角形，，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據所選的條件，利用正余弦定理或兩角和的正切公式化簡，可求A的大??；（2）由正弦定理和三角形內角和，結合三角恒等變換得到周長，再由為銳角三角形求得的范圍，從而利用正弦函數(shù)的性質即可得解．【詳解】（1）選①，，由正弦定理得，中，，所以，得，即，∵，則，∴，∴.選②，，由正弦定理得，∴，∵，∴.選③，，有，，∴，∵，∴.（2）為銳角三角形，，，由正弦定理得，∴，，，周長，∵為銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，即周長的取值范圍為.20．已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)對，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，即可求得該函數(shù)的極大值和極小值；（2）由題意可得，由參變量分離法可得，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，該函數(shù)的定義域為，則令，得或。列表如下：x單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減，.（2）解：由題意可得，由（1）可知在單調遞減，∴，∴在有解，，令，，令，單調遞增極大值單調遞減所以，.21．國慶期間，某小區(qū)為了增添節(jié)日氛圍，決定對小區(qū)的健身步道進行裝飾．如圖是一個半徑為1百米，圓心角為的扇形區(qū)域，點C是半徑OB上的一點，點D是圓弧上一點，且．現(xiàn)決定在線段CD，圓弧的一側鋪設燈帶，線段OC的兩側鋪設燈帶，且每百米a元．設，，燈帶的總費用y元．(1)求y關于的函數(shù)解析式；(2)當為何值時，燈帶費用y最大，并求出費用y的最大值．【答案】(1)，(2)當為時，費用y最大，最大值為百元【分析】（1）根據題設，可得，利用正弦定理及弧長公式得到，，，再根據條件即可求出結果；（2）利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出函數(shù)的單調區(qū)間，即可求出結果.【詳解】（1）由題，可得，，，在中，由正弦定理知，，所以，，，又扇形BOD中，，所以，（2）由（1）得令，得到

又因為，所以0y單調遞增極大值單調遞減∴時，（百元）故當為時，費用y最大，最大值為百元．22．已知函數(shù)，其中e是自然常數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若，對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域后，分和兩種情況討論可求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由題得對恒成立，構造函數(shù)，可得在單調遞增，則，然后分和兩種情況討論即可求得結果.【詳解】（1）定義域為，，①時，，∴在上單調遞增，②時，令，∴，令，∴，∴在單調遞減，單調遞增，綜上：時，