上海市上海中學(xué)東校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

上海中學(xué)東校2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2023.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第題每題4分,第7-12題每題5分）1．函數(shù)的定義域?yàn)開____．2．函數(shù)（且）的圖象桓過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．3．若函數(shù)是奇函數(shù)．則實(shí)數(shù)_____．4．已知，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則_____．5．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和滿足，那么_____．6．設(shè)n是正整數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則_____．7．實(shí)于x的不等式的解是．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．8．設(shè)正數(shù)x、y滿足，則的最小值為______．9．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意均有，若當(dāng)時(shí)，，則______．10．在中，，，若，，其中，則的最小值為______．11．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最小值為______．12．若a，，且對(duì)于時(shí)，不等式均成立，則實(shí)數(shù)對(duì)______．二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)13．下列各組不等式中，解集完全相同的是（）A．與 B．與C．與 D．與14．如圖，弧、、、是圓上的四段弧，點(diǎn)P在其中一段上，角以為始邊，為終邊．若，則P所在的圓弧可以是（）A．弧 B．弧 C．弧 D．弧15．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（）16．將函數(shù)，的圖像繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，若曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖形，則的最大值為（）A． B． C． D．三、解答題(共5道大題,其中17題14分,18題14分,19題14分,20題16分,21題18分,共計(jì)76分)

17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)在中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面積．18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范圍．19.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：（，n為正整數(shù)）．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列滿足，，，（，為正整數(shù)），記為的前n項(xiàng)和，比較與的大?。?0.（本題滿分16分.本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第（2）小題滿分6分.第

(3)小題滿分6分)已知雙曲線，、分別是它的左、右焦點(diǎn)，是其左頂點(diǎn)，且雙曲線的離心率．設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第一象限內(nèi)．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線、分別與直線交于M、N兩點(diǎn)，證明為定值；（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．21.（本題滿分18分.本題共有3個(gè)小題,第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分6分,在第(3)小題滿分8分)已知函數(shù)，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)a為正數(shù)且時(shí)，求a的最小值；（3）若對(duì)一切都成立，求a的取值范圍．參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最小值為______．【答案】【解析】不妨設(shè)交點(diǎn)在第一象限,設(shè),,則,,其中

化為,,

化為,,,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為12．若a，，且對(duì)于時(shí)，不等式均成立，則實(shí)數(shù)對(duì)______．【答案】【解析】對(duì)于時(shí),不等式均成立,即恒成立,

令

則表示圓心為,半徑為1的圓在上的圓弧;表示圓心為,半徑為1的圓在上的圓弧,如下所示:其中,,

根據(jù)題意,要滿足題意,其圖象需在圓弧以及圓弧之間,數(shù)形結(jié)合可知:連接后所形成的直線恰好滿足題意,且唯一,

其斜率為,故其方程為,故實(shí)數(shù)對(duì),

為嚴(yán)謹(jǐn),下證直線與圓相切,圓心到直線的距離,其與半徑1相等,故圓與直線相切,即證.故答案為:.二、選擇題13.D14.C15.D16.A15．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（）【答案】D【解析】不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)依次為,,其中,由導(dǎo)函數(shù)圖象可知,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在,上為增函數(shù),從而排除A,C.在處取到極小值,在處取到極大值,又,排除B,故選D.16．將函數(shù)，的圖像繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，若曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖形，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)

當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上遞增

當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上遞減,

可得在處切線的傾斜角為,

因此,要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象,旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為,

也就是說,最大旋轉(zhuǎn)角為

即的最大值為.故選:.三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）證明略(2)20.（本題滿分16分.本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第（2）小題滿分6分.第

(3)小題滿分6分)已知雙曲線，、分別是它的左、右焦點(diǎn)，是其左頂點(diǎn)，且雙曲線的離心率．設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第一象限內(nèi)．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線、分別與直線交于M、N兩點(diǎn)，證明為定值；（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）見解析（3）存在，,【解析】(1)答題意,,解得雙曲線的方程為:;

(2)證明:設(shè)直線的方程為:,,

聯(lián)立雙曲線與直線的方程,消去并整理可得,,,又直線的方程為,代入,解得,可得同理可得,故為定值,即得證.

(3)當(dāng)直線的方程為時(shí),解得,易知此時(shí)為等腰直角三角形，其中,即,也即:,

接下來證明:對(duì)直線!存在斜率的情形也成立,又,則21.（本題滿分18分.本題共有3個(gè)小題,第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分6分,在第(3)小題滿分8分)已知函數(shù)，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)a為正數(shù)且時(shí)，求a的最小值；（3）若對(duì)一切都成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）的最小值為1;（3）【解析】(1)時(shí),,,故，所以在處的切線方程為（2）則

因?yàn)?當(dāng)時(shí),易得在上單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞