飛行控制系統(tǒng)課件：飛行器運(yùn)動(dòng)方程

飛行器運(yùn)動(dòng)方程飛行器運(yùn)動(dòng)方程組飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)飛機(jī)的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)2.1飛行器運(yùn)動(dòng)方程組建立飛行器運(yùn)動(dòng)方程時(shí)作出的假設(shè)條件（Ma<3）:飛行器為剛體且質(zhì)量是常數(shù)；地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系,即假設(shè)地坐標(biāo)為慣性坐標(biāo)；忽略地球曲率,視地面為平面；重力加速度不隨飛行高度而變化；假設(shè)機(jī)體坐標(biāo)系的OXZ平面為飛行器的對(duì)稱平面，飛行器不僅幾何外形對(duì)稱，而且內(nèi)部質(zhì)量分布也對(duì)稱，即慣性積IXY=IZY=0。飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的自由度：對(duì)于飛機(jī)，若將其視為剛體，其在空間的運(yùn)動(dòng)需要六個(gè)自由度來(lái)描述。質(zhì)心的位移（線運(yùn)動(dòng)）：飛行速度的增減、升降和側(cè)移運(yùn)動(dòng)；繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)（角運(yùn)動(dòng)）：俯仰角運(yùn)動(dòng)、偏航角運(yùn)動(dòng)以及滾轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)?？v向運(yùn)動(dòng)（對(duì)稱平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)）：速度的增減、質(zhì)心的升降，繞y軸的俯仰角運(yùn)動(dòng)；橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)（非對(duì)稱平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)）：質(zhì)心的側(cè)向移動(dòng)、繞z軸的偏航角運(yùn)動(dòng)，饒x軸的滾轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)。2.1飛行器運(yùn)動(dòng)方程組飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):飛機(jī)的基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)為等速直線平飛狀態(tài)，其小擾動(dòng)線性化方程是常系數(shù)。飛機(jī)的操縱面有升降舵、副翼和方向舵；飛機(jī)的外形通常是左右對(duì)稱而上下不對(duì)稱的面對(duì)稱形體，垂直尾翼安裝在機(jī)身后上部，便于地面起降。這種布局致使機(jī)體水平轉(zhuǎn)彎的效率很低，所以飛機(jī)一般采用傾斜轉(zhuǎn)彎。飛機(jī)的偏航和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)間的交叉影響顯著。2.1.1動(dòng)力學(xué)方程飛機(jī)動(dòng)力學(xué)方程可由牛頓第二定律導(dǎo)出,該定律的向量形式為:利用前面①和②假設(shè),上式可寫為:根據(jù)理論力學(xué),速度向量對(duì)時(shí)間的變化率為:

可用機(jī)體坐標(biāo)軸系上的分量表示:

i,j和k分別表示沿機(jī)體坐標(biāo)軸系OX,OY,OZ的單位向量.V上的單位向量速度標(biāo)量叉積飛機(jī)相對(duì)于地面坐標(biāo)軸系總角速度向量.2.1.1動(dòng)力學(xué)方程由此可得:展開上式可得:F也可用分量表示為:利用前面一系列式子可得線運(yùn)動(dòng)(重心運(yùn)動(dòng))方程:2.1.1動(dòng)力學(xué)方程下面推導(dǎo)角運(yùn)動(dòng)(繞重心的運(yùn)動(dòng))方程.利用②假設(shè),可寫為:H代表旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量或動(dòng)量矩.單元質(zhì)量dm因角速度所引起的動(dòng)量等于單元質(zhì)量繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的切線速度Vq乘以dm.Vq又可表示成因此,切線速度所引起的動(dòng)量增量為:動(dòng)量矩等于動(dòng)量乘以旋轉(zhuǎn)臂長(zhǎng),寫成向量形式為:對(duì)飛機(jī)的全部質(zhì)量進(jìn)行積分,可得總的動(dòng)量矩:式中:

表示瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心到單元質(zhì)量dm的距離向量.2.1.1動(dòng)力學(xué)方程對(duì)飛機(jī)的全部質(zhì)量進(jìn)行積分,可得總的動(dòng)量矩:式中:所以帶如上式后得:定義:為慣性矩Ix:繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

為慣性積；其他積分定義依此類推.依據(jù)第⑤假設(shè),Ixy=Izy=0,將上式的分量寫為:

可寫成:

2.1.1動(dòng)力學(xué)方程依據(jù)第⑤假設(shè),可寫成:

的分量是:上式推導(dǎo)中假設(shè)飛機(jī)是質(zhì)量剛體,內(nèi)部質(zhì)量不在機(jī)內(nèi)移動(dòng)，則慣性矩和慣性積對(duì)時(shí)間的變化率為零.而:展開后得:

2.1.1動(dòng)力學(xué)方程外力矩

L的分量形式為:利用前面的一系列式子可得角運(yùn)動(dòng)方程:兩個(gè)加框的方程組是描述飛機(jī)非定常運(yùn)動(dòng)的兩組動(dòng)力學(xué)方程組.以上推導(dǎo)是研究了動(dòng)坐標(biāo)軸系(機(jī)體坐標(biāo)軸系)相對(duì)于靜坐標(biāo)軸系(地面坐標(biāo)軸系)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.而各力和力矩項(xiàng)都于飛機(jī)的空間方位(,,,,)和位置有關(guān),上述兩組方程顯然是不夠的.在空間運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)有6個(gè)自由度,每1個(gè)自由度用一個(gè)二階微分方程描述,整個(gè)飛機(jī)的方程就有12階.但是上述兩個(gè)加框的方程組總起來(lái)只有6階,另外6個(gè)一階微分方程可由飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來(lái)補(bǔ)充.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程描述飛機(jī)相對(duì)于地面坐標(biāo)軸系的空間方位.

2.1.1動(dòng)力學(xué)方程(本教材)在慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用牛頓第二定律:飛機(jī)在外合力作用下的線運(yùn)動(dòng)方程為:飛機(jī)在外合力矩作用下的角運(yùn)動(dòng)方程為:選用機(jī)體坐標(biāo)系作為動(dòng)坐標(biāo)系,將在地面坐標(biāo)系中得到的運(yùn)動(dòng)速度V及動(dòng)量矩L向機(jī)體坐標(biāo)軸系上分解,假設(shè)機(jī)體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的速度為V,角速度向量為

,則上式在動(dòng)坐標(biāo)系中表示為:如果將總空氣動(dòng)力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力T向動(dòng)坐標(biāo)系(機(jī)體坐標(biāo)軸系)內(nèi)分解為(FX,FY,FZ),則上式可寫成下列方程組:

2.1.1動(dòng)力學(xué)方程角運(yùn)動(dòng)方程:整理上式可以得到下列方程組:其中:

2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程飛機(jī)相對(duì)于地面坐標(biāo)系的位置,可由機(jī)體坐標(biāo)軸系相對(duì)于地面坐標(biāo)軸系的三個(gè)坐標(biāo)以及這兩個(gè)坐標(biāo)軸系之間的三個(gè)夾角(俯仰角,滾轉(zhuǎn)角,偏航角)來(lái)確定.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立了Vx,Vy,Vz,p,q,r與Xg,Yg,Zg,,,之間的關(guān)系.

機(jī)體坐標(biāo)軸系與地面坐標(biāo)軸系之間的關(guān)系:根據(jù)機(jī)體坐標(biāo)軸系OXYZ和地面坐標(biāo)軸系OXgYgZg之間的幾何關(guān)系,可得方向余弦表(1)

機(jī)體坐標(biāo)地面坐標(biāo)OXOYOZOXgcoscoscossinsin-sincossin

sin+cossincosOYgsincoscos

sin+sinsinsinsinsincos-cos

sin

OZg-sincossincoscos上表說(shuō)明機(jī)體坐標(biāo)軸系OX上的單位向量在地面坐標(biāo)軸系三個(gè)軸上的分量各自為:coscos,sincos和-sin.2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程其次還需建立三個(gè)姿態(tài)角變化率與三個(gè)角速度分量(p,q,r)間的幾何關(guān)系.三個(gè)姿態(tài)角變化率的方位如下::沿水平面內(nèi)與OX軸在水平面上的投影線相垂直,向右為正.:沿OX軸的向量,向前為正.:沿OZ軸的向量,向下為正.為了得到三個(gè)姿態(tài)角變化率與繞機(jī)體軸三個(gè)角速度間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,將三個(gè)姿態(tài)角變化率向機(jī)體軸上投影,得:2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程應(yīng)該指出:在一般情況下并不是互相垂直的正交向量,但(p,q,r)卻互相正交.故:上式表示飛機(jī)三個(gè)姿態(tài)角變化率或繞機(jī)體軸的三個(gè)角速度分量都能合成飛機(jī)總角速度向量.一般情況下與與互相垂直,但與不互相垂直.只有

=0時(shí),與才互相垂直.由上式可解出的表達(dá)式（運(yùn)動(dòng)方程組）:2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程由機(jī)體坐標(biāo)系中的速度分量可得到速度矢量在地面坐標(biāo)系中的各分量（導(dǎo)航方程組）2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

速度坐標(biāo)地面坐標(biāo)OXaOYaOZaOXgcos

coscos

sin

sin-sincoscos

sincos+sin

sin

OYgsin

cossin

sinsin+cos

cossin

sincos-cossin

OZg-sincossincoscos上表與(1)表形式完全相同,若將

,,分別換成

,,,表(1)就成為表(2).速度坐標(biāo)軸系與地面坐標(biāo)軸系之間的關(guān)系:由于氣動(dòng)力,氣動(dòng)力矩都與

,有關(guān),必然涉及速度坐標(biāo)軸系.根據(jù)速度坐標(biāo)軸系OXaYaZa和地面坐標(biāo)軸系OXgYgZg之間的幾何關(guān)系,可得方向余弦表(2)2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程速度坐標(biāo)軸系與機(jī)體坐標(biāo)軸系之間的關(guān)系:根據(jù)速度坐標(biāo)軸系OXaYaZa和機(jī)體坐標(biāo)軸系OXYZ之間的幾何關(guān)系,可得方向余弦表(3)

速度坐標(biāo)機(jī)體坐標(biāo)OXaOYaOZaOXcos

cos-cos

sin-sin

OYsincos

0OZsin

cos-sin

sincos2.1.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程前面各方向余弦表可看作轉(zhuǎn)換矩陣,通過(guò)它們可以從一個(gè)坐標(biāo)軸系轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)軸系.利用表(1)轉(zhuǎn)換矩陣可將機(jī)體坐標(biāo)軸系的變量轉(zhuǎn)換到地面坐標(biāo)軸系上,利用(3)轉(zhuǎn)換矩陣可將速度坐標(biāo)軸系的變量轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)軸系上.若將表(1)轉(zhuǎn)換矩陣用表(3)轉(zhuǎn)換矩陣右乘,得到速度坐標(biāo)軸系和地面坐標(biāo)軸系的轉(zhuǎn)換矩陣,由此可得下列有用的幾何關(guān)系式:2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理力方程組力矩方程組運(yùn)動(dòng)方程組導(dǎo)航方程組2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理前面得出的2組飛機(jī)動(dòng)力學(xué)方程共6個(gè)聯(lián)立的非線性運(yùn)動(dòng)方程式，再加上那些復(fù)雜的結(jié)合關(guān)系，以及氣動(dòng)力、氣動(dòng)力矩等都是運(yùn)動(dòng)參數(shù)的非線性函數(shù)。因此要直接用這些方程解算飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，一般不能用解析法,而只能用數(shù)值積分法求解，即只能利用計(jì)算機(jī)。但是無(wú)論如何飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程都是一組復(fù)雜的非線性微分方程,在研究飛機(jī)的穩(wěn)定性和操縱性時(shí),常根據(jù)小擾動(dòng)原理對(duì)這組方程進(jìn)行線性化處理,以便采用較簡(jiǎn)便的求解方法.飛機(jī)的飛行運(yùn)動(dòng)分為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)和擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。而穩(wěn)定性的關(guān)鍵是擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)能否回到基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)。2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理一般小擾動(dòng)線性化是相對(duì)原點(diǎn)或某點(diǎn)進(jìn)行的.這里的小擾動(dòng)線性化則是相對(duì)于基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的.基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)(又稱未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)):是指在完全理想的條件下,飛機(jī)按照駕駛員或飛行控制系統(tǒng)的意圖按預(yù)定規(guī)律進(jìn)行的運(yùn)動(dòng).擾動(dòng)運(yùn)動(dòng):是指飛機(jī)在外干擾作用下偏離基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),一段時(shí)間內(nèi)違背預(yù)定規(guī)律的運(yùn)動(dòng).外干擾可能來(lái)自于大氣的紊流,發(fā)動(dòng)機(jī)工作情況的改變以及駕駛員的偶然操縱等.它可以是瞬時(shí)的，也可以是持續(xù)性的.若擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)與基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)之間差別甚小,則稱為小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng).由于是小擾動(dòng)，因此，可將那些含有擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)與基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)件差值得高于一階的小量即所謂高階小項(xiàng)略去，方程變?yōu)榫€性方程。首先研究最常見(jiàn)的等速直線平飛狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題?；鶞?zhǔn)運(yùn)動(dòng)就選擇為沒(méi)有傾斜、沒(méi)有側(cè)滑的等速直線平飛運(yùn)動(dòng)。2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理小擾動(dòng)原理:設(shè)運(yùn)動(dòng)方程組中的某一方程為:f(x1,x2,…xn)=0式中變量(x1,x2,…xn)可以是運(yùn)動(dòng)參數(shù)或其導(dǎo)數(shù).變量xi可表示為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)時(shí)參數(shù)x0與偏差量

xi之和,即:xi=x0+xi無(wú)論是基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)還是擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)都應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程f(x1,x2,…xn)=0,即:f(x10,x20,…xn0)=0f(x10+x1

,x20+x2,…xn0+xn)=0將擾動(dòng)方程式的左邊展成泰勒級(jí)數(shù),在小擾動(dòng)假設(shè)下,二階和二階以上的小量可略,則得:從上式中減去基準(zhǔn)方程得:這就是線性化的小擾動(dòng)方程.式中系數(shù)是已知的.2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理選取定常直線無(wú)側(cè)滑飛行為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),得基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)有:根據(jù)小擾動(dòng)原理,擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)可用基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)附加一小擾動(dòng)量來(lái)表示,即:同樣,可將基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)和擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的外力和外力矩表示為:2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理將上述擾動(dòng)各參數(shù)表示式以及擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)外力和外力矩表示式帶入飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程組(前2個(gè)加框的方程組),減去其對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)方程,并略去二階及以上的小擾動(dòng)量,以小擾動(dòng)量為變量的線性化方程:2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理運(yùn)動(dòng)方程的分組前頁(yè)方程組是常系數(shù)線性微分方程,假設(shè)飛機(jī)外形和內(nèi)部質(zhì)量分布對(duì)稱于XsOZs平面而且有基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)的左右對(duì)稱性,那么方程組還可以簡(jiǎn)化.由于存在這種對(duì)稱性,我們將運(yùn)動(dòng)參數(shù)(擾動(dòng)量)分成對(duì)稱的和不對(duì)稱的兩類：前進(jìn)的速度u,俯仰角速度q等運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化時(shí),并沒(méi)有破壞繞飛機(jī)氣流的對(duì)稱性,是對(duì)稱的參數(shù),因而這些參數(shù)的變化引起的氣動(dòng)力和力矩始終處于飛機(jī)對(duì)稱平面(縱向平面)內(nèi).另一類運(yùn)動(dòng)參數(shù)(,p,r,等)是不對(duì)稱的,引起不對(duì)稱的氣動(dòng)力和力矩.對(duì)稱的參數(shù)不會(huì)引起不對(duì)稱的的氣動(dòng)力和力矩,而不對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)參數(shù)除了引起不對(duì)稱的氣動(dòng)力和力矩外，還對(duì)縱向平面的力和力矩(X,Y,M等)有一定影響.2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理運(yùn)動(dòng)方程的分組因此,在基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)對(duì)稱的前提下,縱向平面的力和力矩在基準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)不對(duì)稱運(yùn)動(dòng)參數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)必為零，即：對(duì)前式應(yīng)用上述結(jié)論就可將方程組分成互不相關(guān)的兩組方程組.不論在等式的左邊還是右邊都只含對(duì)稱平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(, q,u等),稱為縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程;幾何關(guān)系式對(duì)基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)線性化,得2.1.3飛機(jī)動(dòng)力方程的討論和線性化處理運(yùn)動(dòng)方程的分組只含不對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(p,r,等),稱為橫側(cè)向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.幾何關(guān)系式對(duì)基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)線性化,得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)只涉及縱向的運(yùn)動(dòng)參數(shù)和氣動(dòng)力,又由于習(xí)慣用速度坐標(biāo)系來(lái)表示空氣動(dòng)力,所以用速度坐標(biāo)系建立縱向運(yùn)動(dòng)一般方程,以此推導(dǎo)縱向小擾動(dòng)線性運(yùn)動(dòng)方程.飛機(jī)縱向受力圖:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)發(fā)動(dòng)機(jī)推力T，方向沿發(fā)動(dòng)機(jī)軸線，與機(jī)身軸線形成發(fā)動(dòng)機(jī)安裝角

T。一般情況下發(fā)動(dòng)機(jī)推力線不一定通過(guò)飛機(jī)重心。重心對(duì)推力線的垂距為ZT，當(dāng)重心在推力線之上ZT為正值時(shí)，推力T對(duì)重心之矩為正；升力L，垂直于飛行速度V，向上為正；阻力D，平行于飛行速度V，向后為正；俯仰力矩Ma（僅指氣動(dòng)力矩），抬頭為正。2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程沿重心軌跡的切向方程:沿重心軌跡的法向方程:繞OY軸轉(zhuǎn)動(dòng)俯仰力矩方程:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際上:飛機(jī)著陸下滑時(shí)飛行速度較小,迎角較大.一般情況如巡航飛行,則速度較快迎角較小.發(fā)動(dòng)機(jī)安裝角

T在一般飛機(jī)上是一個(gè)很小的角度,因此可近似認(rèn)為:cos(+

T)=1;推力遠(yuǎn)小于重力(或升力),即:Tsin(+T)<<G(或L),可以忽略.則前式變?yōu)?2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理首先線性化處理方程組中的力(T,D,L)和力矩(M):發(fā)動(dòng)機(jī)推力T與飛行速度V,空氣密度

以及油門位置

T有關(guān),可表示為:T=T(V,,T).升力L和阻力D與V(包括了空氣壓縮性效應(yīng)),空氣密度

,迎角以及升降舵偏轉(zhuǎn)角e有關(guān),與迎角變化量及q的關(guān)系很小,可忽略不計(jì).e對(duì)阻力的影響也很小,也可忽.因此表示為:L=L(V,,,e);D=D(V,,);氣動(dòng)力矩M

與速度(包括了空氣壓縮性效應(yīng)),空氣密度

,迎角

,升降舵偏轉(zhuǎn)角e還有d/dt和q有關(guān),表示為:M

=M

(V,,,e,,q);2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理以小擾動(dòng)為前提,基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)選擇等速直線平飛.擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)偏離基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)的高度差不會(huì)太大,因而可認(rèn)為空氣密度是常數(shù),由此T,L,D和M*的表達(dá)式為:T=T(V,

T)L=L(V,,e)D=D(V,);M

=M

(V,,e,,q);以上各函數(shù)對(duì)基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)(V0,0,e0,T0)展開泰勒級(jí)數(shù)并保留一階小項(xiàng),得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理式中表示對(duì)基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)求導(dǎo),令:…..前面各式變?yōu)?2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理切向動(dòng)力方程的線性化:切向加速度為:基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)是等速直線平飛,故:又因?yàn)榛鶞?zhǔn)運(yùn)動(dòng)的航跡傾斜角

0=0,故:sin

=sin(

+

0)=,且有:T0-D0=0,則切向動(dòng)力方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程線性化方程為:和

=-將

=-代入上式得:式中V=V/V02.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理(2)法向動(dòng)力方程的線性化:法向加速度為:對(duì)于等速直線平飛的基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)有:再代入

=-,保留一階小量得:將此式和L的泰勒展開式帶入,得法向動(dòng)力方程的線性化方程:基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)有L0-G=0,而cos

=1,則:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向運(yùn)動(dòng)方程的線性化處理歸納(1),(2),(3)三式為以下形式.令:表示微分算子,得:式中各系數(shù)XV,Z

,Mq…俗稱為大導(dǎo)數(shù),(Cm

,CDM,CI

…等氣動(dòng)系數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為小導(dǎo)數(shù)).各大導(dǎo)數(shù)的意義及計(jì)算公式有專門表格列出。2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的特征（1）采用系數(shù)凍結(jié)法將飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)線性化方程組變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性微分方程組。實(shí)際上各系數(shù)在基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)中是變化的，若在飛機(jī)和飛行控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程中，相對(duì)初始值的變化不超過(guò)15-10%，則可認(rèn)為是常系數(shù)。要了解縱向運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，必須解出特征方程的根。特征方程的根當(dāng)外輸入為零，縱向運(yùn)動(dòng)方程為：2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的特征（2）特征方程的根其特征方程為：其中：2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的特征（3）特征方程的根其特征方程為：大量分析表明：升降舵在機(jī)翼之后的飛機(jī)的四個(gè)特征根中有兩個(gè)大根、兩個(gè)小根?？山茖懗蓛蓚€(gè)二次因式之積：s4+a1s3+a2s2+a3s+a4=(s2+As+B)(s2+as+b)A,B,a,b均為待定系數(shù)?？梢杂弥鸩浇品▉?lái)確定其值。2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(1)設(shè)：飛行高度h=11000m，以M=0.9(V0=266m/s)作定常直線平飛.受擾動(dòng)后,飛機(jī)偏離基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).現(xiàn)計(jì)算擾動(dòng)因素消除后,飛機(jī)恢復(fù)到基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)渡過(guò)程.這完全靠飛機(jī)自身穩(wěn)定性,駕駛員沒(méi)有進(jìn)行任何操縱,即:

T=0,e=0

根據(jù)具體飛機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)和大導(dǎo)數(shù)表格,得到線性化方程的系數(shù),并代入線性化方程得:利用前述方法計(jì)算特征方程系數(shù)，可得：a1=1.4751a2=8.9317a3=0.1104a4=0.013782.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(2)利用近似求解方法解出特征方程的根,由

s2+1.4752s+8.9317=0解得兩個(gè)大根(近似解):

1,2=-0.7375j2.896由s2+0.01211s+0.001542=0解得兩個(gè)小根(近似解):

3,4=-0.00607j0.03895根據(jù)起始條件t=0時(shí),V==0,0=2,解得近似解為:由此可畫出擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)渡過(guò)程曲線,見(jiàn)下頁(yè).2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(3)tsVm/s,20406080100

V0

-1

-2

2

1

0-2426-4-6V,,過(guò)渡過(guò)程曲線可以看出:迎角

在擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的初期階段變化劇烈,數(shù)秒后即平緩下來(lái).速度V則緩慢增長(zhǎng),以后又緩慢減小.俯仰角

兼有兩者特點(diǎn),開始階段變化劇烈,以后又緩慢變化.2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(4)兩種擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)及其物理成因:由前分析可以看出:擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)存在兩種模態(tài):短周期運(yùn)動(dòng)模態(tài)(shortperiodmode):周期短,衰減快.其對(duì)應(yīng)特征方程的一對(duì)大共軛復(fù)根.長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)模態(tài)(phugoidmode):周期長(zhǎng),衰減慢.其對(duì)應(yīng)特征方程的一對(duì)小共軛復(fù)根.由此可以得出結(jié)論:在外界瞬時(shí)擾動(dòng)作用下,各運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律正是這兩種典型運(yùn)動(dòng)模態(tài)的迭加.2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(5)兩種擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)及其物理成因:飛機(jī)受到擾動(dòng)后，出現(xiàn)不平衡的外力和外力矩，使飛機(jī)在受擾后的初始瞬間容易產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),而其速度不易改變。由運(yùn)動(dòng)方程知,t=0時(shí)有:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.3縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(6)兩種擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)及其物理成因(1):可見(jiàn):在擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的初始階段,飛機(jī)的角加速度變化得比飛機(jī)速度劇烈得多.一般飛機(jī)都是如此.因?yàn)橐话泔w機(jī)縱向靜穩(wěn)定力矩M

較大,起始迎角0可引起較大的恢復(fù)力矩,相比之下,飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iy并不大,因而在擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)初瞬產(chǎn)生較大的角加速度值;反向的靜穩(wěn)定恢復(fù)力矩又使飛機(jī)向相反方向轉(zhuǎn)動(dòng).于是形成迎角和俯仰角的短周期振蕩.另一方面,飛機(jī)的阻尼力矩Mq較大,因而飛機(jī)短周期振蕩運(yùn)動(dòng)的衰減較快.一般情況下,在擾動(dòng)的前幾秒就基本結(jié)束.飛機(jī)的力矩也基本上恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài).2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(7)兩種擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)及其物理成因(2):起始迎角

0所產(chǎn)生的阻力和俯仰角變化所產(chǎn)生重力分量,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于飛機(jī)質(zhì)量,因而初期線加速度dV/dt很小.但是在力矩基本恢復(fù)平衡之后,作用于飛機(jī)上的外力仍然處于不平衡狀態(tài).飛機(jī)的航跡仍未恢復(fù)到原有水平直線飛行狀態(tài),而是q0.因此,當(dāng)升力大于重力沿航跡的法向分量時(shí),產(chǎn)生向上的法向加速度使航跡上彎,飛機(jī)高度逐漸增加.與此同時(shí)重力沿航跡的切向的分力使飛行速度不斷減小,升力也就不斷減小.當(dāng)升力小于重力的法向分量時(shí),出現(xiàn)向下的法向加速度,航跡便轉(zhuǎn)為向下彎曲,高度逐漸降低.這時(shí)重力的切向分量使飛行速度不斷增大,又使升力在下降過(guò)程中不斷增大,航跡再次上彎.如此反復(fù),就形成飛行速度V和航跡傾斜角q的振蕩運(yùn)動(dòng).一般來(lái)說(shuō),飛機(jī)質(zhì)量較大,而起恢復(fù)作用的氣動(dòng)力ZVV和阻尼作用的力XVV較小,因此振蕩周期較長(zhǎng),衰減較慢,形成長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)模態(tài).此時(shí)飛機(jī)的重心時(shí)升時(shí)降,又稱為浮沉運(yùn)動(dòng).2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的典型示例、擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的兩種模態(tài)(8)綜上所述:飛機(jī)縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)可大致分為兩個(gè)階段’初始階段:是以迎角和俯仰角速度的變化為代表的短周期運(yùn)動(dòng),飛行速度基本不變.以后的階段:是以飛行速度和航跡傾斜角的變化為代表的長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng),飛機(jī)的迎角基本不變.2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)

現(xiàn)在研究駕駛員操縱飛機(jī)時(shí),也就是操縱升降舵

e和油門桿

T時(shí),飛機(jī)的縱向響應(yīng).縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-升降舵偏轉(zhuǎn)為輸入縱向運(yùn)動(dòng)方程令

T=0,并認(rèn)為各變量初始條件為零,經(jīng)拉氏變換式得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-升降舵偏轉(zhuǎn)為輸入(1)以

e為輸入,V為輸出的傳遞函數(shù)可寫為兩個(gè)行列式之比:依據(jù)克萊姆法則（Cramerrule）2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-升降舵偏轉(zhuǎn)為輸入(2)以

e為輸入,

為輸出的傳遞函數(shù):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-升降舵偏轉(zhuǎn)為輸入(3)以

e為輸入,

為輸出的傳遞函數(shù):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)

縱向運(yùn)動(dòng)的初始階段,短周期運(yùn)動(dòng)占主導(dǎo)地位,其過(guò)渡過(guò)程時(shí)間很短,飛行速度變化不大,可以認(rèn)為速度增量

V=0.這樣,縱向運(yùn)動(dòng)方程式第一式(切向力方程)可以刪去,其它兩式當(dāng)V=0時(shí),得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)短周期近似傳遞函數(shù)為(1):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)短周期近似傳遞函數(shù)為(2):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)常規(guī)飛機(jī)的升降舵在距重心較遠(yuǎn)的平尾上,平尾上的舵面小偏轉(zhuǎn)引起的法向力足以產(chǎn)生較大的縱向控制力矩.因此,從工程近似的意義上來(lái)說(shuō),可以認(rèn)為Ze=0,傳遞函數(shù)近一步簡(jiǎn)化為:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)航跡傾斜角增量與和有以下關(guān)系:=-，故:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)的近似傳遞函數(shù):縱向長(zhǎng)周期模態(tài)主要是飛機(jī)質(zhì)心的軌跡運(yùn)動(dòng).與短周期相比,長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的各參數(shù)變化緩慢得多.因此長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)期間,短周期動(dòng)態(tài)過(guò)程已基本結(jié)束,對(duì)短周期模態(tài)起重要作用的微分方程組的第三式基本上處于靜力矩平衡狀態(tài).在簡(jiǎn)化處理時(shí),將第三式中慣性力矩項(xiàng)和阻尼力矩項(xiàng)忽略,即忽略力矩從不平衡到平衡的動(dòng)態(tài)過(guò)程,則飛機(jī)微分方程組簡(jiǎn)化為:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)的近似傳遞函數(shù):顯然,上式已簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng),切認(rèn)為Ze=0,由拉氏變換后求得傳遞函數(shù)為:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)的近似傳遞函數(shù):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)由長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化微分方程組第三式得:將前式代入上式,可得長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)的第三個(gè)傳遞函數(shù):2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-油門桿偏轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)影響(1)操縱油門桿即改變發(fā)動(dòng)機(jī)推力.推力變化對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)方程第一式有直接影響.若考慮一般飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)推力線都通過(guò)重心,或非常接近于通過(guò)通過(guò)重心,則Me0,那么推力變化對(duì)第二,第三式無(wú)影響.因此改變推力時(shí),長(zhǎng)周期模態(tài)的影響將占絕對(duì)優(yōu)勢(shì).令:e=0,且認(rèn)為:MT0,并令:P2=0,以及Mq=M*=0,可得操縱油門桿T的長(zhǎng)周期近似運(yùn)動(dòng)方程組:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)操縱油門桿T的長(zhǎng)周期近似運(yùn)動(dòng)方程組:將上式經(jīng)拉氏變換后可得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)-油門桿偏轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)影響(1)油門桿階躍偏轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)穩(wěn)態(tài)值由終值定理知:某參數(shù)的穩(wěn)態(tài)輸出為:油門桿階躍偏轉(zhuǎn)的拉氏變換為:將上式代入前式得:所以:同理可得:2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)前面三個(gè)穩(wěn)定值得出結(jié)論:油門桿前推發(fā)動(dòng)機(jī)推力加大,但速度和迎角的增量最終值為零,也就是回到了推油門前的狀況;只有為正,即飛機(jī)抬頭.由幾何關(guān)系知:軌跡角=-得:()=()-0=().即飛機(jī)向上爬升.實(shí)際過(guò)程是:增加推力后先是增加速度,隨后動(dòng)壓加大使升力增加,因而軌跡上彎.待航跡傾斜角到達(dá)一定正值后,重力沿軌跡的分力又使速度減小.在長(zhǎng)周期動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后航跡傾斜角

達(dá)到某一穩(wěn)態(tài)值

(),使:T=TT

T0=GsinG即:增加的推力完全用于平衡重力沿軌跡的分力,而速度回原值.此外,由于沒(méi)有偏轉(zhuǎn)升降舵,迎角只能回原值.如果推油門桿的目的是為增加速度而不是向上爬生,那么就應(yīng)該配合速度的增加逐漸推駕駛桿,使升降舵下偏以減小迎角,使L=G,這樣才能達(dá)到加速平飛的目的. 2.2飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)

-2.2.1縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)縱向操縱方面的重要結(jié)論:單純改變油門桿只能在過(guò)渡過(guò)程中改變速度,最終的穩(wěn)態(tài)速度和迎角均不改變,但飛機(jī)軌跡上升(或下滑).如果加大推力是為爬升而不是為加快速度,那么加大油門時(shí)最好相應(yīng)地拉駕駛桿(升降舵上偏以增大迎角)來(lái)加快軌跡向上彎曲,待達(dá)到一定的上升航跡傾斜角后推駕駛桿,使升降舵回到原位.若不動(dòng)駕駛桿,雖然最終飛機(jī)還是要到大爬升狀態(tài),但