專題28 求幾何圖形面積及面積法解題的問題【有答案】

專題28求幾何圖形面積及面積法解題的問題一、幾何圖形面積公式1.三角形的面積:設(shè)三角形底邊長為a，底邊對應(yīng)的高為h，則面積S=ah/22.平行四邊形的面積:設(shè)平行四邊形的底邊長為a，高為h，則面積S=ah3.矩形的面積:設(shè)矩形的長為a，寬為b，則面積S=ab4.正方形的面積:設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，則面積S=5.菱形的面積:設(shè)菱形的底邊長為a，高為h，則面積S=ah若菱形的兩條對角線長分別為m、n，則面積S=mn/2也就是說菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半。6.梯形的面積:設(shè)梯形的上底長為a,下底長為b，高為h，則面積S=（a+b）h/27.圓的面積:設(shè)圓的半徑為r,則面積S=πr28.扇形面積計算公式9．圓柱側(cè)面積和表面積公式（1）圓柱的側(cè)面積公式S側(cè)=2πrh（2）圓柱的表面積公式：S表=2S底+S側(cè)=2πr2+2πrh10.圓錐側(cè)面積公式從右圖中可以看出，圓錐的母線L即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長2πr，這樣，圓錐側(cè)面積計算公式:S圓錐側(cè)=S扇形=πrL注意：有時中考題還經(jīng)?？疾閳A的周長、扇形的弧長的公式的應(yīng)用。（1）圓的周長計算公式為：C=2πr（2）扇形弧長的計算公式為：（3）其他幾何圖形周長容易計算，不直接給出。二、用面積法解題的理論知識1.面積方法：運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。2.面積法解題的特點：把已知量和未知量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。三、面積方法問題主要涉及以下兩部分內(nèi)容1.證明面積相等的理論依據(jù)（1）三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的部分。（2）同底同高或等底等高的兩個三角形面積相等。（3）平行四邊形的對角線把其分成兩個面積相等的部分。（4）同底（等底）的兩個三角形面積的比等于高的比。（5）同高（或等高）的兩個三角形面積的比等于底的比。（6）三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。（7）三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的1/4（8）三角形三邊中點的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的1/4（9）有一個角相等或互補的兩個三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。2.用面積法解幾何問題的解題思路（1）分解法：通常把一個復(fù)雜的圖形，分解成幾個三角形。（2）作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。（3）利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點、中位線等的性質(zhì)。（4）還可以利用面積解決其它問題?！纠}1】（2020?咸寧）如圖，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積為（）A．π2-2 B．π-2 C．【答案】D【解析】由∠C＝45°根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝90°，根據(jù)S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出結(jié)論．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB=90?π×＝π﹣2．【對點練習(xí)】如圖，在?ABCD中，∠B=60°，⊙C的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．6π【答案】C．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以求得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)扇形面積公式即可求得陰影部分的面積．∵在?ABCD中，∠B=60°，⊙C的半徑為3，∴∠C=120°，∴圖中陰影部分的面積是：=3π，【點撥】本題考查扇形面積的計算、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用扇形面積的計算公式解答．【例題2】（2020?重慶）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC的中點為O，分別以點A，C為圓心，以AO的長為半徑畫弧，分別與正方形的邊相交，則圖中的陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】4﹣π．【解析】據(jù)勾股定理求出AC，得到OA、OC的長，根據(jù)正方形的面積公式、扇形面積公式計算，得到答案．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC=AB2∴OA＝OC=2∴圖中的陰影部分的面積＝22-90π×(【對點練習(xí)】（2020銅仁模擬）已知一個菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則這個菱形的面積為cm2．【答案】24．【解析】根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積即可．∵一個菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，∴這個菱形的面積S=×6×8=24（cm2）．【點撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，熟知菱形的面積等于兩對角線乘積的一半是解答此題的關(guān)鍵?！纠}3】（2019?湖南邵陽）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧EF，交AB于點E，交AC于點F．（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無重疊，求這個圓錐的高h．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝CD，則可計算出BD＝6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積＝S△ABC﹣S扇形EAF進行計算；∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AD＝6，∴BC＝2BD＝12，∴由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積S＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理計算這個圓錐的高h．根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝2，這個圓錐的高h＝＝4．【對點練習(xí)】（2019?湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求證：BD⊥BC．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強．（1）作CE⊥AB交AB的延長線于點E，如圖：設(shè)BE＝x，CE＝h在Rt△CEB中：x2+h2＝9①在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②聯(lián)立①②解得：x＝，h＝∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?h＝12；（2）作DF⊥AB，垂足為F∴∠DFA＝∠CEB＝90°∵平行四邊形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAF＝∠CBE又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC∴△ADF≌△BCE（AAS）∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16∴BD＝4∵BC＝3，DC＝5∴CD2＝DB2+BC2∴BD⊥BC．一、選擇題1．（2020?株洲）如圖所示，點A、B、C對應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點A1，則此時線段CA掃過的圖形的面積為（）A．4π B．6 C．43 D．83【答案】D【解析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積．由題意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C＝AC＝4．在Rt△A1BC中，cos∠ACA1=BC∴∠ACA1＝60°．∴扇形ACA1的面積為60×π×4即線段CA掃過的圖形的面積為832．（2020?攀枝花）如圖，直徑AB＝6的半圓，繞B點順時針旋轉(zhuǎn)30°，此時點A到了點A'，則圖中陰影部分的面積是（）A．π2 B．3π4 C．π【答案】D【解析】由半圓A′B面積+扇形ABA′的面積﹣空白處半圓AB的面積即可得出陰影部分的面積．∵半圓AB，繞B點順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴S陰影＝S半圓A′B+S扇形ABA′﹣S半圓AB＝S扇形ABA′=6＝3π，3．（2020?武威）如圖，A是⊙O上一點，BC是直徑，AC＝2，AB＝4，點D在⊙O上且平分BC，則DC的長為（）A．22 B．5 C．25 D．10【答案】D【解析】先根據(jù)圓周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．∵點D在⊙O上且平分BC，∴BD=∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC=22+Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC=4．（2020?泰州）如圖，半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E．若∠CDE為36°，則圖中陰影部分的面積為（）A．10π B．9π C．8π D．6π【答案】A【分析】連接OC，易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得．【解析】連接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四邊形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，∵S扇形OBC=36?π×1∴圖中陰影部分的面積＝10π5．（2020?連云港）10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，A、B、C、D、E、O均是正六邊形的頂點．則點O是下列哪個三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD【答案】D【解析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，到三個頂點的距離相等，進行判斷即可．∵三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，∴從O點出發(fā)，確定點O分別到A，B，C，D，E的距離，只有OA＝OC＝OD，∴點O是△ACD的外心.6．（2020?蘇州）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，過AB的中點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、EA．π﹣1 B．π2-1 C．π-1【答案】B【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CDOE是矩形，連接OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根據(jù)扇形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四邊形CDOE是矩形，連接OC，∵點C是AB的中點，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA=2∴OE＝1，∴圖中陰影部分的面積=90?π×2360-7．（2020?聊城）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，連接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝23，那么圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【分析】連接OD，BC，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等邊三角形，得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】連接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴圖中陰影部分的面積=60?π×(28．（2020?聊城）如圖，有一塊半徑為1m，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為（）A．14m B．34m C．154m 【答案】C【解析】根據(jù)已知條件求得圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得其高即可．設(shè)底面半徑為rm，則2πr=90π×1解得：r=1所以其高為：12-(9．（2020?濟寧）如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．43 B．23 C．2 D．4【答案】B【分析】過點B作BH⊥CD于點H．由點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，則∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】過點B作BH⊥CD于點H．∵點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=1∴∠BDC＝90°+12∠A＝90°則∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝23，∵CD＝2，∴△DBC的面積=12CD?BH=10．（2020?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，OB．若∠B＝35°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．∵AB是⊙O的切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°11．（2020?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，OB，若∠B＝20°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．∵AB是⊙O的切線，A為切點，∴∠A＝90°，∵∠B＝20°，∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°12．（2020?遂寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點O在AB上，經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D，交AB于點E，若CD=2A．4-π2 B．2-π2 【答案】B【分析】連接OD，OH⊥AC于H，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，則四邊形ODCH為矩形，所以O(shè)H＝CD=2，則OA=2OH＝2，接著計算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面積公式，利用圖中陰影部分面積＝S△OBD﹣S扇形【解析】連接OD，過O作OH⊥AC于H，如圖，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O與BC相切于點D，∴OD⊥BC，∴四邊形ODCH為矩形，∴OH＝CD=2在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA=2OH在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴圖中陰影部分面積＝S△OBD﹣S扇形DOE=12×＝2-113．（2020?常德）一個圓錐的底面半徑r＝10，高h＝20，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A．1003π B．2003π C．1005π D．2005π【答案】C【解析】先利用勾股定理計算出母線長，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側(cè)面積．這個圓錐的母線長=102這個圓錐的側(cè)面積=12×2π×10×10514．（2020?黔東南州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為對角線的交點，點E、F分別為BC、AD的中點．以C為圓心，2為半徑作圓弧BD，再分別以E、F為圓心，1為半徑作圓弧BO、OD，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個圓的面積減去以1為半徑的半圓的面積再減去2個以邊長為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個圓的面積，本題得以解決．【解析】由題意可得，陰影部分的面積是：14?π×22-12?π×1二、填空題15．（2020?綏化）已知圓錐的底面圓的半徑是2.5，母線長是9，其側(cè)面展開圖的圓心角是度．【答案】100．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據(jù)扇形的面積公式得到2π?2.5=nπ×9180，再解關(guān)于【解析】設(shè)這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)題意得2π?2.5=nπ×9180，解得即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為100°．16．（2020?徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側(cè)面積等于．【答案】15π．【解析】運用公式s＝πl(wèi)r（其中勾股定理求解得到的母線長l為5）求解．由已知得，母線長l＝5，底面圓的半徑r為3，∴圓錐的側(cè)面積是s＝πl(wèi)r＝5×3×π＝15π．17．（2020?荊門）如圖所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C為AB上一點，∠AOC＝30°，連接BC，過C作OA的垂線交AO于點D，則圖中陰影部分的面積為．【答案】23π-【解析】根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD進行計算．∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，∴OB＝OC＝2，∴△BOC是等邊三角形，∵過C作OA的垂線交AO于點D，∴∠ODC＝90°，∵∠AOC＝30°，∴OD=32OC=3，CD∴圖中陰影部分的面積═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD=60?π×=23π18．（2020?武威）若一個扇形的圓心角為60°，面積為π6cm2，則這個扇形的弧長為cm【答案】π3【解析】首先根據(jù)扇形的面積公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積=12設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，根據(jù)扇形面積公式得；60π?R解得：R＝1，∵扇形的面積=12lR解得：l=119．（2020?涼山州）如圖，點C、D分別是半圓AOB上的三等分點，若陰影部分的面積是32π，則半圓的半徑OA的長為【答案】3．【分析】連接OC、OD，利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，列式計算就可．【解析】連接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵點C，D為半圓的三等分點，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴陰影部分的面積＝S扇形COD，∵陰影部分的面積是32∴60π?r∴r＝3，20．（2020?泰安）如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是．【答案】64π3-8【分析】連接OA，易求得圓O的半徑為8，扇形的圓心角的度數(shù)，然后根據(jù)S陰影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD即可得到結(jié)論．【解析】連接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半徑為8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∵DC⊥BE于點C，∴CD=32OD＝43，OC=1S陰影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD=12×8